III.-Квантовая-механика (1109680), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Волновые функции указанных состояний будут иметь вид Гр)е*~те'Р~ "г~. Если отсчитывать угол х от оси з, разложение можно записать в виде (в данном случае рз — — 0), откуда Я (р) = — 1 ехр11(крсовсг — пиз))<йх = 1,7,(гср), 2гу е где з' (х) —. функция Бесселя. При йр» 1 для Г2 справедливо асимптотическое выражение: й 35. Падение частицы на центр Для выяснения некоторых особенностей квантовомеханичсского движения полезно изучить случай, не имеющий, правда, непосредственного физического смысла, -движение частицы в поле с потенциальной энергией, обращающейся в некоторой точке (начале координат) в бесконечность по закону ЬГ1г) — — 1з',1г2 1)1 ) О); вид поля вдали от начала координат нас не будет интересовать.
Мы видели в 218, что этот случай как раз промежуточный между теми, когда имеются обычные стационарные 151 235 ПАДЕНИЕ ЧАСТИЦЫ НА ЦЕНТЕ состояния, и случаями, когда происходит «падение» частицы в начало координат. Вблизи начала координат уравнение Шредингера в рассматриваемом случае будет следующим; Лд+ Л1+ ~Л вЂ” О т г (35.1) (Л(г) радиальная часть волновой функции), где введена постоянная 2 ( + ) (35.2) Е(э+1)+ У=О с двумя корнями )г г /г Е1= +1/ /~ Е2= ~/ 7.
(35.3) 2 (/4 2 ~/4 Для дальнейшего исследования удобно поступить следующим образо»1. Выделим вокруг начала координат малую область радиуса ге и заменим функцию — 1(г2 в этой области постоянной величиной — О'ге2. Определив волновые функции в таком «обрезанном» поле, мы затем посмотрим, что получается при переходе к пределу ге — ~ О. Предположим сначала, что у < 114. Тогда Н1 и е2-- вещественныс отрицательные числа, причем Е1 > Е2. При г > ге общее решение уравнения Шредингера имеет вид (речь идет везде о малых т ) Л = Аг" + Вг" (35.4) (А, В постоянные).
При т < го реп1енис уравнения Л" +-'Л'+ 2Л=О, "о конечное в начале координат, имеет вид Л С ""ь" г (35.5) РО При г = ге функция Л и ее производная Л' должны быть непрерывными функциями. Удобно написать одно из условий в виде и опущены все члены более низкого порядка по 1(г; значение энергии Е предполагается конечным, и потому соответствующий член в уравнении тоже опущен. Ищем Л в виде Л г', тогда получаем для е квадратное уравнение 152 движение В центРАльнО-ОимметРичнОм пОле ГЛ Ч условия непрерывности логарифмической производной от тВ. Это приводит к уравнению Айн + Цт01 + В(эг + 1)ГВ~ Ато + Ото = Йебра йто или А(э1 4 1)та~ + Ври + 1)то~ Решенное относительно отношения В/А, это уравнение дает выражение вида А — = сопв1 т„'' (35.6) Пусть теперь у > 1/4. Тогда в1 и вэ комплексны: в4 = — — + $~('~ — —, аз = Вм 2 у' 4 Повторяя предыдущие рассуждения, снова придем к равенству (35.6), которое при подстановке значений В4 и Вз дает в А — = сопвФ то~ Т (35.8) При то — ~ О это выражение не стремится ни к какому определен- ному пределу, так что прямой переход к пределу то — ~ О невозмо- жен.
С учетом (35.8) общий вид вегцественного решения может быть написан следующим образом; В = сопв1 — соз~ у — — 1п — +сопз1). (35.9) Рття ~/ 4 то Эта функция обладает нулями, число которых неограниченно растет с уменьшением то. Поскольку, с одной стороны, выражение (35.9) справедливо для волновой функции (при достаточно малых т) при любом конечном значении энергии В частицы, а, с другой стороны, волновая функция нормального состояния совсем не должна иметь нулей, то мы приходим к выводу, что Переходя теперь к пределу то — ~ О, находим, что В/А — ~ О (напоминаем, что В1 ) эз). Таким образом, из двух расходящихся в начале координат решений уравнения Шредингера (35.1) должно быть выбрано то, которое обращается в бесконечность менее быстро: В=А, (35.7) 153 з35 НАдение НАстицы нА центг «нормальное состояние» частицы в рассматриваемом поле соответствует энергии Е = — со.
Но во всяком состоянии дискретного спектра частица находится, в основном, в области пространства, в которой Е > Г. Поэтому при Е » — оо частица находится в бесконечно малой области вокруг начала координат, т.е.происходит «падение» частицы на центр. «Критическое» поле Г,р, при котором становится возможным падение частицы на центр, соответствует значению у=1/4. Наименьшее значение коэффициента при — 1/г получается, когда 1 = О, т.е. (35.10) Из формулы (35.3) (для в1) видно, что допускаемое решение уравнения Шредингера (вблизи точки, где У 1/гз) расходится при т — » 0 не быстрее чем 1~,~т. Если поле обращается при г — » 0 в бесконечность медленнее чем 1/г~, то в уравнении Шредингера в области вблизи начала координат можно вовсе пренебречь 1'1(г) по сравнению с остальными членами, и мы получим те же решения, что и для свободного движения, т.
е. гд г~ (см 3' ЗЗ). Наконец, если поле обращается в бесконечность быстрее чем 1/г2 (как — 1(г' с з > 2 ), то волновая функция вблизи начала координат пропорциональна г'~~ (см. задачу к З 49). Во всех этих случаях произведение г1д обращается при г = 0 в нуль. Далее, исследуем свойства решений уравнения Шредингера в поле, спадающем на больтпих расстояниях по закону бг — — фг2 при произвольном его виде на малых расстояниях. Предположим сначала, что у ( 1/4.
Легко видеть, что в этом случае может существовать лишь конечное число отрицательных уровней энергии') . Действительно, при энергии Е = 0 уравнение Шредингера на больших расстояниях имеет вид (35.1) с общим регпением (35.4). Но функция (35.4) не имеет (при г ф 0) нулей: поэтому все нули искомой радиальной волновой функции лежат на конечных расстояниях от начала координат и их число, во всяком случае, конечно. Другими словами, порядковый номер уровня Е = О, за»1ыкающего дискретный спектр, конечен.
Если же ч > 1/4, то дискретный спектр содержит бесконечное число отрицательных уровней энергии. Действительно, волновая функция состояния с Е = 0 имеет на больших расстояниях вид (35.9) с бесконечным числоег нулей, так что ее порядковый номер во всяком случае бесконечен. 1 ) Предполагается, что при малых г поле таково, что падения частицы не происходит. 154 ДВИ2КЕНИЕ В ЦЕНТРАЛЬНО-ОИММЕТРИ .1НОМ ПОЛЕ ГЛ 1' Наконец, пусть поле 17 = — ~~г во всем пространстве.
Тогда пРи У > 1т4 пРоисходит падение частицы. Если же У ( 1тт4, то отрицательные уровни энергии отсутствуют вовсе. Действительно, волновая функция состояния с Е = 0 будет во всем пространстве вида (35.7): она нс имеет вовсс нулей на конечных расстояниях, т.е. соответствует наиболее низкому (пртт данном 1) уровню энергии.
9 36. Движение в кулоновом поле (сферические координаты) Очень важныкт случаем движения в центрально-симметричном поле является движение в кулоновом поле (Гт положительная постоянная). Мы будем рассматривать сначала кулоново притяжение, соответственно чему будем писать 17 = — сто г. Из общих соображений заранее очевидно, что спектр отрицательных собственных значений энергии будет дискретным (с бесконечным числом уровней), а спектр положительных энергий — — непрерывным. Уравнение (32.8) для радиальных функций имеет вид Гт Г тт Г Если речь идет об относительном движении двух притягивающихся частиц, то под т надо подразумевать их приведенную массу.
В вычислениях, связанных с кулоновым полем, удобно пользоваться вместо обычных особыми единицами для измерения всех величин, которые мы будем называть кулоновыми единица; ми. Именно, в качестве единиц измерения массы, длины и времени выберем соответственно а2 тп то Все остальные единицы выводятся отсюда; так, единицей энергии будет тт22тт62. Ниже в этом и следующем параграфах мы везде (гдс это нс оговорено особо) пользуемся этими единицами') .
1, — 22 ) Если т = 9,11. 10 Г есть масса электрона, а о = е (е — заряд элек- 2 трона), то кулоновы единицы совпадают с так называемыми атвомнмми 155 336 кулонОВО пОле (соеРическне кООРдинлтьо Уравнение (36.1) в новых единицах принимает вид Й ге)г г гl Дискретный спектр. Введем вместо параметра Е и переменной г новые величины; 1 2г п=, р= —. (36.3) При отрицательных энергиях и есть вещественное положительное число.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
