III.-Квантовая-механика (1109680), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Первый из этих уровней (уровни с 1 = 0) является в то же время самым глубоким нз всех вообще уровней энергии, т. е, соответствует нормальному состоянию частицы. При слишком малой глубине 1ГВ потенциальной ямы уровни отрицательной энергии вообще отсутствуют, частица не может «удержаться» ямой. Это легко видеть из уравнения (2) с помощью следующего графического построения. Корни уравнения вида хешх = ох изображаются точками пересечения прямой у = Ох кривыми у = х сбпх, причем мы должны рассматривать только те точки пересечения, в которых — эшх сгйх < 0: соответствующие участки кривых у = х Рйпх изображены на рис. 9 сплошной ли- Рис.
9 нией. Мы видим, что при слишком болыпих О (малых Пе) таких точек пересечения вообще нет. Первая такая точка появляется, когда прямая у = Ох занимает показанное на рис. 9 положение, т.е. при а=2/л, и находится при х=л/2. Полагая О=6/ч'2тазП, х=йа, получаем отсюда для мннимвльной глубины ямы, при которой появляется первый отрицательный уровень, По ы = л 6 Д8п2а ). (3) Эта величина тем бо.пьшс, чем меньше радиус ямы а. Положение первого уровня Е2 в момент его появления определяется из 6а = л/2 н равно Е2 = О, как и естественно было ожидать. По эсере дальнейшего увеличения глубины ямы нормальный уровень Ег тоже понижается.
При малой разности 23 =- = Пе/Пе,ь, — 1 это понижение происходит по закону — Ег = (л Г'10)оа, ьЬ (4) 2. Определить порядок расположения уровней энергии с различными значениями момента 1 в очень глубокой (11е » 6~/ша ) сферической потенциальной яме ( Иг. Е1эаэвег, 1933). 146 двигкение В центРАльнО-ОимметРН"1ИОм пОле ГЛ Ч Р е ш е н и е. Условно на границе ямы требует, при 17с — 1 оо, обраще- ния г)г в нуль 1сы. 3 22). Написав радиальную волновую функцию внутри ямы в виде (33.10), получим уравнение 71э11гйа) = О, корни которого определяют положение уровней над дном ямы 117з — )Е) =- йгк',12пг) при различных значениях 1.
Порядок их расположения, начиная от основного состояния, оказывается следующим: 1з, 1р, 111, 2в, 17", 2р, 18, 211, Пц Зз, 21,... Цифра перед буквой нумерует в порядке возрастающей последовательности уровни содинаковым 1 ). 3. Определить последовательность, в которой появляются уровни с раз- личными 1 по мере возрастания глубины ямы 17о. Р е ш е н и е. В момент своего первого появления новый уровень имеет энергию Е = О. Соответствующая волновая функция в области вне ямы, обращающаяся в нуль при г — 1 оо, есть Е1 = сопев т О+О 1решение урав- нения 133.3) с к = 0). Из непрерывности й1 и й1 на границе ямы следует, в частности, непрерывность производной (г й1), откуда в данном случае 1-1 1 получается следующее условие для волновой функции внутри ямы: (г Е1) =0 прн т=а. Оно эквивалентно ) условию обращения в нуль функции Е1 .1, и, вви- ду (33.10), получаем уравнение 1' а 71 11г ) — А12тбо) = 0; 1,3 при 1 = 0 функцию 71 Пг надо заменить на соз.
Отсюда получается следу- ющая последовательность появления новых уровней при увеличении 17з1 1в, 1р, 111, 2в, 11, 2р, 18, 211, Зз, 1а, 21,... Отметим, что отличия от порядка расположения уровней в глубокой яме появляются лишь для сравнительно высоких уровней. 4. Определить уровни энергии пространственного осциллятора (частица в поле Г = (1/2)гааг г ), кратности их вырождения и возможные значения г г орбитального момента в соответствующих стационарных состояниях.
Р е ш е н и е. Уравнение П1редингера лля частицы в поле П= (1/2)гаммах х 1х -1у -1г ) допускает разделение переменных, приводящее к трем уравг г г пениям типа линейного осциллятора. Поэтому уровни энергии Е = Бсз(пг-~ пг -1 пз -> 3,12) =' йаг(п-~ 3/2). ') Такое обозначение принято для уровней частиц в ядре 13 118). ) Согласно 133.7),(33.8) имеем 1г ~К1)' г ~Е1 эг. Поскольку уравнение 133.3) не меняется при замене 1 на — 1 — 1, имеем также 1г1э1Е )г „1э1Л Наконец, поскольку функции й 1 и й1 1 удовлетворяют одному и тому же уравнению, получаем окончательно 1г1т1 О )1 г1Э1 О что и использовано в тексте.
147 РАзложение плОскОЙ ВОлны Кратность вырождения и-го уровня равна числу способов, которыми и мо- жет быть представлено в виде суммы трех целых неотрицательных чисел ); оно равно '1и ~- 1)1и -ь 2) 2 Волновыс функции стационарных состояний У а2г2'1 6 ,„г в = сопвг ехр ~ — ††) Н ,(ох)Н 2(ау)Н ,)ог)., 15) 2 ) где О =- ~/тм,~6 1т — масса частицы). При изменении знака координа- ты полипом Нв умножается на ( — 1)".
Поэтому чстность функции 15) есть ( — 1)"'+"2+ ' = 1 — 1)", составляя линейные комбинации этих функций с заданной суммой и1 + иг + ив = и, можно образовать функции ( от 5 ( и — 1 3 г 25 2)2 1 = сопзс г ехр ( — —.) 11 (Вгр)Р— — —,1 т —,и г ), (6) где Н вЂ” вырожденная гипергеометрическая функция, )т~ = О, 1,...,1, а 1 пробегает значения 0,2,..., и для четных и, и 1, 3,..., и, — для нечетных и, последнее очевидно из сопоставления четности ( — 1)" функций 15) и четно- сти ( — 1) функций 16), которые должны быть одинаковыми.
Этим опреде- ляются возможные значения орбитального момента, соответствующие рас- сматриваемым уровням энергии. Последовательность уровней пространственного осциллятора 1В тех же обозначениях, что и в задачах 2, 3), следовательно, такова: 11в), 11р), 1111,2в), 111,2р), (16,26,3в),..., где в скобки заключены взаимно вырожденные состояния г 3 34. Разложение плоской волны Рассмотрим свободную частицу, движупгуюся с определенным импульсом р = йй в положительном направлении оси х.
Волновая функция такой частицы имеет вид 2)1 = сопз1.е' '. Разложим эту функцию по волновым функциям фы свободного движения с определенными моментами. Поскольку в рассматриваемом состоянии энергия имеет определенное значение Е = *к~ау'2гп, то ясно, что в искомое разложение войдут только функции с тем же к. Далее, поскольку функция е'ь обладает аксиальной сигиметрией вокруг оси з, то в ее разложение могут 1 ) Другими словами, зто есть число способов, которыми и одинаковых шаров могут быть разложены по трем ящикам.
г ) Обратим внимание на взаимное вырождение уровней с различными моментами 1; см. по этому поводу примеч. на с. 164. 148 ЛВижение В центРАльнО-ОимметРН»нОм пОле ГЛ е'~' = ~~~ а~Щ0 = ~~~ а~йы1~0, ~=0 С=о где аю- постоянные. Подставив выражения (28.8) и 133.9) для функций Ущ и Лм,получим 1 д 'ВПЬ. е'~' = ~~~ С~Р~(саад)( — ) ( — — ) (л = тсовд), где С~.
другие постоянные. Эти постоянные удобно определить, сравнив коэффициенты при (т сов и)" в разложениях обеих частей равенства по степеням т. В правой части равенства такой член имеется только в и-м слагаемом; при 1 ) п разложение радиальной функции начинается с более высоких степеней т, а при п ) 1 полипом Р~(соей) содержит более низкие степени созд. Член с сов~0 в Р~(говд) имеет коэффициент (21)!/2~(Л)» (см. формулу (0.1)). Пользуясь также формулой (33.13), найдем интересующий нас член разложения правой части равенства (2О! (1»т соВ д)' 2'(л)~1 3... (21 -ь П В левой части равенств соответствующий (в разложении ех р ( г ь сов д) ) член есть (Ит соВ 0) ' й Приравнивая обе величины, найдем С~ = ( — т)~121+ 1).
Таким образом, окончательно получаем искомое разложение т ~ 1 4 ~»1ВЬ. е'~» = ~~~ ( — г) (21+ 1)Р~(созд)( — ) ( — — ) . (34.1) 1=0 На болыпих расстояниях оно принимает асимптотическую форму е'" — ~1~(21+ 1)Р~(говд) В)п(кт — — 1). (34.2) Ет 2/ 1=0 В (34.1) ось В выбрана в направлении волнового вектора плоской волны )с. Это разложение можно записать и в более войти только функции, не зависящие от угла у, т.е. функции с т = О. Таким образом, должно быть: РАзложение плОскОЙ ВОлны общем виде, не предполагающем определенного выбора координатных осей.
Для этого надо воспользоваться теоремой сложения шаровых функций 1см. 1с.11)), выразив с ее помощью полиномы Р11сов д) через шаровые функции от направлений К и г (угол между которыми и есть и'): е1~ 4я'~~> '~~ «'у'11йтЯ*,„( — )У1~( — ). (34.3) Функции 11(йг) 1определенные согласно 133.11)) зависят только от произведения кг, и тем самым ясно видна симметрия формулы по отношению к векторам К и г 1у которой из двух шаровых функций стоит знак комплексного сопряжения- безразлично).
Нормируем волновую функцию е1~' на равную единице плотность потока вероятности, т. е. так чтобы она соответствовала потоку частиц (параллельному оси в), через единицу площади сечения которого в единицу времени проходит одна частица. Такая функция есть 134.4) 1п-- скорость частиц; см. 119.7)).
Умножая обе части равенства 134.1) на,~ туй6 и вводя в правой его части нормированные функции ф~~1 — — В~~1(г)1~ 10, у), получим Квадрат модуля коэффициента при ф„, 1или «1й ) в этом разложении определяет, согласно общим правилам, вероятность того, что частица в падающем на центр (или расходящемся из центра) потоке будет обладать моментом 1 (относительно начала координат). Поскольку волновая функция е'~'/;~с соответствует потоку частиц с равной единице плотностью, то эта «вероятность» обладает размерностью квадрата длины; она может быть наглядно истолкована как величина «прицельной площади» 1в плоскости лй), на которук1 должна попасть падающая частица, в случае если ее момент равен 1. Обозна ~ая эту величину через п1, имеем о1 = —,121+ 1).
(34.5) 150 движение В центРАльно-ОимметРН знОм пОле ГЛ Ч При болыпих значениях г сумма прицельных площадей по ин- тервалу Ы значений 1 (такогиу, что 1 « А1г « 1) равна При подстановке классического выражения для момента Ц = рр (где р — так называемое прицельное расстояние) это выражение переходит в 2згрЬр, что совпадает с классическим выражением. Это обстоятельство не случайно: мы увидим в дальнейшем, что при больших значениях 1 движение квазиклассично 12 49). Задача Разложить плоскую волну по волновым функциям состояний с определенными значениями проекции т момента на ось у и проекцией р„импульса на ту же ось. Р е ю е н и е. Введем цилиндрическую систему координат у, р, |р с осью вдоль оси у.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
