III.-Квантовая-механика (1109680), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Перейдем теперь к отысканию собственных значений квадрата момента и покажем, каким образом можно найти эти значения, исходя из одних только правил коммутации (26.8). Обознеигим через фм волновые функции стационарных состояний с одинаковым значением квадрата Ь, относящихся к одному вырожденному уровню энергии и отличающихся зна ~ением ЛХ') . Прежде всего замечаем, что поскольку оба направления оси з физически эквивалентны, то для каждого возможного положительного значения ЛХ = ~ЛХ~ существует такое же отрицательное ЛХ = — ~ЛХ~.
Обозначим через Ь (целое положительное число или нуль) нагибольшее возможное (при заданном Ь~) значение ~ЛХ~. Самый факт существования такого верхнего предела следует из того, что разность 1. — Х, = Х + Х„есть оператор существенно положительной физической величины Ь + Ь„, ') Это обстоятельство является частным случаем указанной в З 10 общей теоремы о вырождении уровней при наличии по крайней мере двух сохраняющихся величин с нскоммутирующими операторами. Здесь такими величинами являются компоненты момента. ) Здесь подразумевается, что нот никакого дополнительного вырождения, приводящего к одинаковости значений энергии при различных значениях квадрата момента.
Это справедливо для дискретного спектра (за исключением случая так называемого еслучайного вырождснияь в кулоновом поле, см. З 36) н, вообще говоря, несправедливо для энергетических уровней непрерывного спектра. Однако и при наличии дополнительного вырождения всегда можно выбрать собственныс функции так, чтобы они соответствовали состояниям с определенными значениями 1 и из них затем выбрать состояния с одинаковыми значениями Е и Ь~. Математически это выражается в том, что матрицы коммутативных операторов всегда можно привести одновременно к диагональному нилу.
В дальнейшем мы будем в аналогичных случаях для краткости говорить так, как если бы никакого дополнительного вырождония не было, имея в виду, что получаемые результаты в действительности, согласно сказанному, от этого предположения не зависят.
ООВОТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ МОМЕНТА и потому его собственные зна ~ения не могут быть отрицательными. Применив оператор Х,Хз- к собственной функции фм оператора Х, и воспользовавшись правилами коммутации (26.12), получим Х,Х Хм = (ЛХ~1)Х~~м. (27. 6) Отсюда видно, что функция Х фм есть (с точностью до нормировочной постоянной) собственная функция, соответствующая значению ЛХ ~ 1 величины Ь, фм., ~ = сопв1 Х< ~Ат, фм 1 = сопе1 Х.
фм. (27.7) Если в первом из этих равенств положить ЛХ = Х, то должно быть тождественно (27.8) поскольку состояний с ЛХ ) Х, по определению, нет. Применяя к этому равенству оператор Х и воспользовавшись равенством (26.13), получим Ь Ьт~ (~в Д Х)~, 0 Но поскольку ~м — общие собственные функции операторов 1 ~ и Х„то Ь Рь =Х Фс, Х.ФЕ = Х Фс, ХАг, = ХФь так что полученное уравнение дает Ь~ = Х(Х + 1). (27.9) Формулой (27.9) определяк>тся искомые собственные зна1ения квадрата момента; число Ь пробегает все целые положительные значения, включая значение нуль.
При заданном значении числа Х компонента Ь, = ЛХ момента может иметь значения (27. 10) т.е. всего 2Х + 1 различных значений. Уровень энергии, соответствуюгций моменту Х, таким образом, (2Х + 1)-кратно вырожден; об этом вырождении обычно говорят как о вырождении по направлениям момента. Состояние с равным нулю моментом, Ь = 0 (при этом все его три компоненты равны нулю), не вырождено.
Отметим, что волновая функция такого состояния сферически-симметрична; это ясно уже из того, что ее изменение при любом бесконечно малом повороте, даваемое выражением Ь Х обращается в данном случае в нуль. 129 гл. Г" мОмент нгяпкльсл Мы будем часто говорить для краткости, как зто принято, о «моменте Ь» системы, подразумевая при этом момент с квадратом, равным Ь(Ь + 1); о я-компоненте жс момента говорят обычно просто как о епроекции момента».
Момент одной частицы будем обозначать малой буквой 1, т. е. будем писать для нее формулу (27.9) в виде 12 = 1(1+ 1). (27.11) Вычислим матричные элементы величин Х и Хи в представлении, в котором, наряду с энергией, диагональны 1 и Ь, 2 (М. Воти, гг'. Негзепбегд, Р.,Хотс1ап, 1926). Заметим, что поскольку операторы Х„ХЕ коммутативны с гамильтонианом, то их матрицы диагональны по отношению к энергии, т.е. все матричные элементы для переходов между состояниями с различной энергией (и различными моментами Х) равны нулю.
Таким образом, достаточно рассмотреть матричные элементы для переходов внутри группы состояний с различными зна ~ениями ЛХ, соответствующих одному вырожденному уровню энергии. Из формул (27.7) видно, что в матрице оператора Хт отличны от нуля только элементы, соответствующие переходам М вЂ” 1 — » ЛХ, а в матрице оператора Х -- элементы с М вЂ” » М вЂ” 1.
Учитывая это, находим диагональные матричные элементы в обеих частях равенства (26.13) и получаем ') Х (Х + 1) = (М~7, ~ЛХ вЂ” 1) (М вЂ” 1~7 ~ЛХ) + ЛХ2 — ЛХ, Замечая, что в силу зрмитовости операторов Х„ХЕ (ЛХ вЂ” 1~Х, ~ЛХ) = (ЛХ~Х,,~ЛХ вЂ” 1)*, переписываем это равенство в виде ~(М~Х ~М 1)~2 7 гХ + 1) Мг)рХ ) ) (Х ЛХ-+ 1)(Х + М) откуда') (М)Х,,~,М вЂ” 1)=(М вЂ” ЦХ, ~М)= (Х,+М)~Х,-ЛХ+1).
(27.12) Для отличных ос нуля матричных элементов самих Ь и Ья отсюда имеем (М~Х ~М вЂ” 1) = (ЛХ вЂ” ЦХ ~ЛХ) = — (Х+М)1Х,— М+1), (27 12) (М)Х, ~М вЂ” 1) = — (М вЂ” ЦЛ„~М) = — — ' 2 ') В обозначениях матричных элементов мы опускаем для краткости все индексы, по которым они диагональны (в том числе индекс Ь). ) Выбор знака в этой формуле согласован с выбором фазовых множителей в собственных функциях момента.
121 ООВственные Функции мОментА 8 28. Собственные функции момента Заданием значений 1 и т волновая функция частицы не определяется полностью. Это видно уже из того, что выражения для операторов этих величин в сферических координатах содержат только углы 0 и р, так что их собственные функции могут содержать произвольный, зависящий от г множитель. Мы будем рассматривать здесь только характерную для собственных функций момента угловую часть волной функции.
Обозначим ее как У~ (О, у) и нормируем условиеъп (до = в1п 0 п06р -. элемент телесного угла). Как показывают дальнейшие вычисления, задача об определении общих собственных функций операторов 1 и 1, допускает разделение переменных 0 и ~р, и эти функции можно искать в виде = Ф (~)О, (0), (28.1) где Ф (~р) собственные функции оператора 1А, определяемые формулой (27.3). Поскольку функции Ф~ уже нормированы условием (27.4), то Оь„, должны быть нормированы согласно условию )ОьВ)~ з1п080 = 1. (28.2) о Функции У~ с различными 1 или т автоматически оказываются взаимно ортогональными: У~,*,У) в1п080йр = бп б (28.3) о о Обратим внимание на отсутствие диагональных элементов в матрицах величин Ь,, Лу.
Поскольку диагональный матричный элемент дает среднее значение величины в соответствующем состоянии, то это значит, что в состояниях с определенными значениями л, средние значения Х, = Ху — — О. таким образом, если имеет определенное значение проекция момента на какое-либо направление в пространстве, то в этом же направлении лежит и весь вектор Ь. гл.
Г МОМЕНТ ИМПУЛЬСА как собственные функции операторов момента, соответствующие различным собственным значениям. В отдельности ортогональны также и функции Ф (~р) (см. (27.4)) как собственные функции оператора 1„соответствующие различным его собственным значениям ш. Функции же О~ (О) сами по себе не являются собственными функциями какоголибо из операторов момента; они взаимно ортогональны при различных 1, но не при различных т,. Наиболее прямой способ вычисления искомых функций есть непосредственное решение задачи об отыскании собственных функций оператора 1, написанного в сферических координатах (формула (26.16)). Уравнение 1 гВ = 12гВ гласит: — (з1п 0 — ) +,, + 1(1 + 1) В = О.
сйпВ дВ дВ сйп 0 д|ре Подставив в зто уравнение ф в виде (28.1), получим для функции Оьп уравнение — (в1пд ' ' ) —, О~ +1(1+ 1)0~ = О. (28.4) Это уравнение хорошо известно из теории гпаровых функций. Оно имеет решения, удовлетворяющие условиям конечности и однозначности, при целых положительных значениях 1 > ~т~, в согласии с полученными выше матричным методом собственными значениями момента.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
