III.-Квантовая-механика (1109680), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Найти волновые функции состояний линейного осциллятора, минимизирующих соотношение неопределенностей, т.е. состояний, в которых средние квадратичные флуктуации координаты и импульса в волновом пакете связаны равенством брбх = 6/2 (Е. Ясйгодтрег, 1926) ') . Р е ш е н и е. Искомые волновые функции должны иметь вид 1 ) .рх (х — х) )2/4~3 )2/2 ' Р ) 6 4(б Их координатная зависимость в каждый данньгй момент времени соответствует формуле (16.8), причем х = х11) и р = р11) = тяф средние значения координаты и импульса; согласно (19.3) для линейного осциллятора (сГ = ть2~х /2) имеем р = — тызх, а потому и для средних значений р =- — та2 х илн х4-щ х=О, (2) т. е. функция х11) удовлетворяет классическому уравнению движения.
Постоянный коэффициент в (1) определяется условием нормировки ~Ф~ дх = 1; помимо этого множителя йг может содержать еще фазовый множитель с зависящей от времени фазой 22(1). Неизвестные постоянная ах и функция 12(1) определяются подстановкой (1) в волновое уравнение 6' д'Ф ппэ х . дФ 2 Ф = гй —.
2ти дх2 2 д1 ) Эти состояния называют когерентапыми. 622 линейный Ос!1иллятог С учетом 12) подстановка дает ( 2 ) ( бг 41хх)4) + [ 2вг 61хт)4 + 41хл)2 (4) ) Ср. вычисления в задаче 1 2 41. Отсюда находим 1от) =- 6,112пггг) и затем — '2 2 — 2 22 = — 1х — ы х ) -~ —, 22 = — Рх + — й 26 2' 26 2 Таким образом, окончательно При т .= О, р = 0 эта функция переходит в уге1т)е '"112 волновую функцию основного состояния осциллятора.
Средняя энергия осциллятора в когерентном состоянии — рг тьг хй р пкл х 61л 2' 12 Е=— — -1- —: — йы (й г- — (; 21и 2 2т 2 2 ~, 2( введенная здесь величина и есть среднее «число квантов» йгг в данном состоянии. Мы видим,что когерентное состояние полностью определяется заданием той или иной зависимости т11), удовлетворяющей классическому уравнению 12). Общий вид такой зависимости можно записать в виде тлых, гр — 1 . 2 =ае ', ~а~ =-п. ч' 2пгйгг Функция 13) может быть разложена по волновым функциям стационарных состояний осциллятора 4с .=- ~ а„Ф, Ф„(х,с) = 4)1„1х) ехр ) — 2 (и + — ) 221) .
2) =с Коэффициенты этого разложения ) 16) Отсюда вероятность осциллятору находиться в п-м состоянии Яг =~а ! =Е =Е 17) и! т. е. дается известным распределением Пуассона. 4. Определить уровни энергии для частицы, движущейся в поле с потенциальной энергией (рис. 3; РЬ. Могзе, 1929). Р е ш е н н е, Спектр положительньгх собственных значений энергий— непрерывен 1причем уровни не вырождены), а спектр отрицательных значений — дискретен. Уравнение Шредингера гласит; 102 гл. ш УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА Вводим новую переменную 2~2тА е ой 1пробегаюшую значения от 0 до +со) и обозначения 1рассматриваем дискретный спектр, так что Е < О) у' — 2гпЕ у'2тА 1 1) э=, л= — (к ->— ой ой 'х 2 Тогда уравнение Шредингера приобретает вид 1, / 1 и+э-1112 з''1 з- — г)г -1- ~ — — -Р—, ~ Ф = О.
О. При б -э со функция ао ведет себя асимптотичсски как сссзг, а при б — г 0 функция Оу пропорциональна б '. Из соображений конечности должно быть выбрано решение, ведущее себя как с Езг при б -э со и как С' при С -э О. Делаем подстановку гл = е б го1С) и получаем для и уравнение бог -Р 12а+ 1 — б)ш + пю =- О, 12) которое должно быть решено при услови— А ях: ш конечно при б = О.
а при б -э со Рис. 3 пг обращается в бесконечность не быст- рее конечной степени б. Уравнение 12) есть уравнение вырожденной гипергеометрической функции 1см. з и математических дополнений) го = Е( — п,2е -Р 1,б). Решение, удовлетворяющее требуемому условию, получается при целом неотрицательном п )причем функция Е сводится к полиному). Согласно определениям 11) получаем, следовательно, для уровней энергии значения — Е„=- А ~1 — (п+ — )~ где и пробегает целые положительные значения, начиная от нуля и до наибольшего значения, при котором еще уГ2тА 1 > п1-— ой 2 1так что параметр в, в соответствии с его определением, положителен). Таким образом, дискретный спектр содержит ограниченный ряд уровней.
Если уг2ГВА 1 ой 2 то дискретный спектр вообще отсутствует. 5. То же при 11 = г 1Рис. 4). с'о ей~ пх Р е ш е н и с. Спектр положительных энергий непрерывен, а отрицательных — дискретен; рассматриваем последний. Уравнение Шредингера А'ф 2т ( Ио ) 1ОЗ движение В одногодном поле Делаем замену переменной б =- 1Ь ох и, вводя обозна |ения получаем Г(х) — [(1 — б ) — ] + [з(з+ 1) — ] Е =- О. Это — уравнение обобщенных функций Лежандра. Приводим его к гипергеоъеетричестому виду подстановкой Ф = (1 — б')".
Ы) 1 и временной заменой переменной — (1 — б) = и: 2 — па Рис. 4 г Е„= — — (1 -г 2п) Е 1 т Игиеется конечное число уровней, определяемое условием е > О, т. е. и < и. О 24. Движение в однородном поле Рассмотрим движение частицы в однородном внешнем поле. Направление поля выберем в качестве оси х, и пусть Г есть сила, действующая в поле на частицу: в электрическом поле напряженности Е эта сила равна Е = еЕ, где е заряд частицы.
Потенциальная энергия частицы в однородном поле имеет вид Г = — Ех + сопв1; выбирая постоянную так, чтобы было бг = О при х = О, имеем 11 = — Гх. Уравнение Шредингера рассматриваемой задачи имеет вид г + г (Е+~ )т' (24. 1) Поскольку сг стремится к +ос при х — у — сс и с1 — у — ос при х — > сс, то заранее очевидно, что уровни энергии образуют непрерывный спектр, заполняющий весь интервал значений от — ос до +со.
Все эти собственные значения не вырождены и и(1 — и)ю -> (е 4- 1)(1 — 2и)ш — (е — е)(г+ з+ 1)п) = О. Решение, конечное при б = 1 (т. е. при х = со), есть ф = (1 — б )'~ Е(е — и, е Е и + 1, е + 1, (1 — б),12). Для того чтобы т оставалось конечным и при б = — — 1(т.е. при х .= — со), должно быть е — з = — и, где п = О, 1,2,... (тогда Е есть полиноги степени и, конечный при б = — 1). Таким образом, уровни зноргии определяются условием з — е = и, откуда 104 ГЛ. и1 УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА соответствуют движению, финитному со стороны и = — со и инфинитному в направлении х — ~ +со. Введем вместо координаты х безразмерную переменную ( = (и+ — ) (, ) .
(24.2) Тогда уравнение (24.1) принимает вид здл + Сзр = О. (24.3) Это уравнение вовсе не содержит параметра энергии. Поэтому, получив его решение, удовлетворяющее необходимым условиям конечности, мы тем самым получим собственную функцию для произвольных значений энергии. Решение уравнсний (24.3), консчнос при всех х, имеет вид (см. 2 Ь математических дополнений) ф(~) = АФ( — (), (24.4) где Ф(~) = — сов~ — + и~) ди о есть так называемая функция Эйри, а А -- нормировочный множитель, который мы определим ниже.
При ( — ! — со функция зр(~) стремится к нулю экспонснциально. Асимптотическое выражение, определяющее зд(~) при больших по абсолютной величине отрицательных значениях ~, имеет вид (см. (Ь.4)) ~в= '„.-р( — 'к~'") (24.5) При больших же положительных значениях ~ асимптотическое выражение функции !)!(Г) будет следующим (см. (Ь.5) ') ): ф® =,, вш( — ~~7~+ — ). (24.6) Согласно общему правилу (5.4) нормировки собственных функций непрерывного спектра, приведем функции (24.4) к нормированному на о-функцию от энергии виду !"(О !"Ю 1и = ЙЕ' — ~). (24. 7) ') Отметим, забегая вперед, что асимптотические выражения (24.6) и (24.6) как раз соответствуют квазиклассическим выражениям волновой функции в классически недоступной и доступной областях Я 47). 105 кОэФФициент пгохождения В ~21 был указан простой способ определения нормировоч- ного коэффициента с помощью асимптотического выражения волновых функций.
Следуя этому способу, представляем функ- цию 124.6) в виде суммы двух бегущих волн: ф(~)44(ехР14(())+ехР~1(~))) Плотность потока, вычллсленная для каждого из этих двух чле- нов. есть "„,) = л1 — '(Е АР )( „,) = А'"",'„ Приравняв ее 1,1(2лгй), находим А2 )4Л А= 4ДГиейеп 124.8) Задача Определить волновые функции в импульсном представлении для частицы в однородном поле. Р е ш е н и е. Гамильтониан в импульсном представлении р" Н = — — — 45à —, 2ш ар так что уравнение Шредингера для волновой функции а(р) имеет внд аа /р — ЛГ4à — + ~ — — — Е) а = О. 44р 4,2тп Решив это уравнение, получим искомые функции ае(р) =.
ехр( — Г (Ер — — ) ~. Этв функции нормированы условием ае1р)ае (р) 4р —.— 61Е' — Е). 1* 5 25. Коэффициент прохождения Рассмотрим движение частиц в поле изображенного на рис. 5 типа: 14'1х) монотонно возрастает от одного постоянного предела 14А' = 0 при х — л — оо) до другого 1ОГ = бо при х — л +ос). Согласно классической механике частица с энергией Е ( бго, движущаяся в таком поле слева направо, дойдя до потенциальной стенки, отражается от нее, начиная двигаться в обратном 1Об гл. ш УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА направлении; если же Е > Ц>, то частица продолжает двигаться в прежнем направлении с умсныпенной скоростью. В квантовой механике возникает новое явление— даже при Е > 1ро частица может отразиться от потенциальной стенки. Вероятность отражения должна вычисляться в принципе следующим обе разом Пусть частица движется слева направо.
При больших положительных значениях х волновая функция должна описывать частицу, прошедшую «над стенкой» и движущуюся в положительном направлении оси х, т. с. должна иметь асимптотический вид р *: Р - ~УХ'*, Р = — рРР 2(А' — РР (254) 1 (А — постоянная).
Найдя решение уравнения Шредингера р удовлетворяющее этому предельному условию, вычисляем асимптотическое выражение при х — Р— оо; оно является линейной комбинацией двух решений уравнения свободного движения, т. е. имеет вид при х — Р— оо: цр — енн + Ве '~'*, й1 = — ъГ2тЕ. (25.2) 1 6 Первый член соответствует падающей на стенку частице (предполагаем р)р нормированной таким образом, чтобы коэффициент при этом члене был равен единице); второй же член изображает отраженную от стенки частипу.
Плотность потока в падающей волне пропорциональна А1р в отраженной: е1 ~В~~, а в проп|едшей: 12~А~~. Определим коэффициент пророожденил Р частицы как отношение плотности потока в прошедшей волне к плотности потока в падающей: Р = — ')А)~. (25.3) Аналогично можно определить коэффициент отражен я Л как отношение плотности отраженного потока к падающему; очевидно, что В = 1 — Р: Л = (В!а = 1 — — „''(А(' (25.4) (это соотношение между А и В выполняется автоматически в силу постоянства потока вдоль оси и). Если частица движется слева направо с энергией Е ( 51о, то Йв чисто мнимо и волновая функция экспоненциально затухает при и — э +со.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
