III.-Квантовая-механика (1109680), страница 16
Текст из файла (страница 16)
86 ГЛ. и1 УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА Приведем здесь некоторые общие теоремы, которые могут быть доказаны на основании вариационного принципа') . Волновая функция у)о нормального состояния не обращается в нуль (или, как говорят, нс имеет узлов) ни при каких конечных значениях координат') . Другими словами, она имеет одинаковый знак во всем пространстве.
Отсюда следует, что волновые функции гуа 1,п > О) других стационарных состояний, ортогональные к учп, непременно имеют узловые точки (если гу„— тоже постоянного знака, то интеграл ) у)оу) гй) не может обратиться в нуль). Далее, из факта отсутствия узлов у узо следует, что нормальный энергетический уровень не может быть вырожденным. Действительно, предположим противное, и пусть у16, 1бо--две различные собственные функции, соответствующие уровню Ьп.
Всякая линейная комбинация сг))6 + с'гуа тоже будет собственной функцией; но, выбирая соответствующим образом постоянные с, с', всегда можно добиться обращения этой функции в нуль в любой заданной точке пространства, т. е. мы получили бы собственную функцию с узлами. Если движение происходит в ограниченной области пространства, то на границе этой области должно быть гу = 0 (см.
918). Для определения уровней энергии нужно найти из вариационного принципа минимум интеграла (20.2) при этом граничном условии. Теорема об отсутствии узлов у волновой функции нормального состояния гласит здесь, что фп не обращается в нуль нигде внутри указанной области. Отметим, что при увеличении размеров области движения все уровни энергии Е„уменыпаются; это следует непосредственно из того, что возрастание области увеличивает круг конкурирующих функций, осуществляющих минимум интеграла, в результате чего минимальное значение интеграла может только уменьшиться. Выражение для состояний дискретного спектра системы частиц может быть ~) Доказательство теорем (сьь также слечующий параграф) о нулях собственных функций можно найти в книгах: М.
А.Лаврентьев и Л. А. Люстерние. Курс вариациоиного исчисления. Мз Гостехиздат, 1950. Гл. 1Х; Р. Курант, Д. Гольберга. Методы математической физики. — Мз Гостехиздат, 1951. Т. 1, гл. Ч1. Эта теорема (как и дальнейшие следствия из нее), вообще говоря, несправедлива для волновых функций систем, состоящих из нескольких тождественных частиц (см. конец 5 63). овщвв авойатвА одномвгного Лвяжьния преобразовано к другому виду, более удобному для фактического варьирования.
В первом члене подынтегрального выражения пилпем Щ,лг = глгл,(лУл7Я вЂ” (л7,ф) . Интеграл от л1лт„ф~7„ф) по Лг~ преобразуется в интеграл по бесконечно удаленной замкнутой поверхности, и поскольку на бесконечности волновые функции состояний дискретного спектра обращаются в нуль достаточно быстро, то этот интеграл исчезает. Таким образом, )»Игал = 1 ~Е (г»)' »Г»~ лл. (ггл) а я 21. Общие свойства одномерного движения Если потенциальная энергия частицы зависит только от одной координаты х, то волновую функцию можно искать в виде произведения функции у, х на функцию только т.
Из них первая определяется уравнением 1Иредингсра свободного движения, а вторая — одномерным уравнением Шредингера + г л~ ~ (х)1»' (21.1) К таким же одномерным уравнениям приводится, очевидно, задача о движении в поле с потенциальной энергией У(х,у, х) = = Ул(х) + Уг(у) + Гз(з), разбивая>щейся на сумму функций, каждая из которых зависит только от одной из координат. В ~ 22-24 мы рассмотрим ряд конкретных примеров такого «одномерного» движения.
Здесь же мы предварительно выясним некоторые общие его свойства. Прежде всего покажем, что в одномерной задаче все энергетические уровни дискретного спектра не вырождены. Для доказательства предположим противное, и пусть лул и фз- две различные собственные функции, соответствующие одному и тому же значению энергии. Поскольку обе они удовлетворяют одному и тому же уравнению (21.1), то имеем — = — ",(à — Е) =— фл' в»и Лги аг 6г или ф~л~фз — угл ф~~' — — 0 (плтрих означает дифференцирование по х). Интегрируя это соотногпсние, находим ФлФ2 Фллуз = соп81.
(21.2) 88 ГЛ. и1 УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА Поскольку на бесконечности гр1 = г1)2 = О, то сопз1 должна быть равной нулю, так что Ф1Ф2 гр24'1 = 0 или ф1~/ф1 = ф2/ф2. интегрируя еще раз, получим ф1 = сонэк.ф2, т. е. обе функции по существу совпадают. Для волновых функций гг„(л) дискретного спектра может быть высказана следуюгцая (так называемая осцилллционнал) теорема; функция г) „(х), соответствующая и+ 1-му по величине собственному значению Е„, обращается в нуль (при конечных значениях х) п раз'). Будем считать, что функция о'(л) стремится при х — 1 шоо к конечным пределам (но отнюдь не должна быть монотонной функцией). Предел бг(+ос) примем за начало отсчета энергии (т.е.
положим сг'(+ос) = 0), а 11( — оо) обозначим через ауге и будем считать, что Ь~ ) О. Дискретный спектр лежит в области таких значений энергии, при которых частица не может уйти на бесконечность; для этого энергия должна быть меныпе обоих пределов 11(+ос), т. е. должна быть отрицательной: В<0, (21.3) при атолл, конечно, во всяком случае должно быть Е > 1У;„, т. е.
функция У(х) должна иметь по крайней мере один минимум с о",„1В < О. Рассмотриъг теперь область положительных значений энергии, меньших чем ого'. О < Е < бге. (21. 4) В этой области спектр будет непрерывным, а движение частицы в соответствугощих стационарных состояниях. инфинитным, причем частица уходит в сторону х = +ос. Легко видеть, что все собственные значения энергии в этой части спектра тоже не вырождепы. Для этого достаточно заметить, что для приведенного выше (для дискретного спектра) доказательства достаточно, чтобы функции г))1, ф2 обрап1ались в нуль хотя бы на одной из бесконечностей (в данном случае они обращаются в нуль при х — 1 — оо).
При достаточно больших положительных значениях х в уравнснии ШрЕдингЕра (21.1) мОжнО прЕнЕбрЕчь сУ(Ш): ') Если частица может находиться лигль на ограниченном отрезке оси х, то надо говорить о нулях функции 1г„(л) внутри этого отрезка. овщяв свойств«одномвгного движения Это уравнение имеет вещественные решения вида стоячей плоской волны 4~ = а соз(йх + д), (21.5) где а, б -.
постоянные, а «волновой вектор» Й = р/6 = ~/2шЕ/6. Этой формулой определяется асимптотический вид (при х » +ос) волновых функций невырожденных уровней энергии на участке (21.4) непрерывного спектра. При больших отрицательных значениях х уравнение Шредингера принимает вид ф" — —,(Уа — Е)ф = О. Решение, не обращающееся при х э — оо в бесконечность, есть Это есть асимптотический вид волновой функции при х — ~ — оо. Таким образом, волновая функция экспоненциально затухает в глубь области, где Е ( Ьо. Наконец,при Е>Го (21.7) спектр будет непрерывным, а движение инфинитным в обе стороны.
В этой части спектра все уровни двукратно вырождены. Это следует из того, что соответствующие волновые функции определяются уравнением второго порядка (21.1), причем оба независимых решения этого уравнения удовлетворяют должным условиям на бесконечности (между тем как, например, в предыдущем случае одно из решений обращалось при х — » — оо в бесконечность и потому должно было быть отброшено). Асимптотический вид волновой функции при х » +ос есть ф = а~е' *+ а»е ' * (21.
8) и аналогично для х » — оо. Член с е'~* соответствует частице, движущейся вправо, а член с е * частице, движущейся влево. Предположим, что функция Г(х) четная (У( — х) = У(х)). Тогда при изменении знака координаты уравнение Шредингера (21.1) не меняется. Отсюда следует, что если у (х) есть некоторое решение этого уравнения, то ф( — х) тоже есть решение, совпадающее с Ч'(х) с точностью до постоянного множителя: ф( — х) = сф(х). Меняя знак х еще раз, получим ф(х) = с ф(х), откуда с = х1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
