III.-Квантовая-механика (1109680), страница 13
Текст из файла (страница 13)
функция нормирована на «одну частицу в единичном объемек Это совпадение, разумеется, не случайно — ср. ниже примечание на с. 221. 616 ИМПУЛЬС Подобно тому как оператор р соответствует импульсу, определяя его собственныс функции в координатном представлении, можно ввести оператор г координат частипы в импульсном представлении. Он должен быть определен так, чтобы среднее значение координат могло быть записано в виде дз г = а*(р)га(р) ", (15.11) (2ИЛ)г С другой стороны, это жс среднее значение определяется по волновой функции ф(г) выражением г = ф*гф сЛ~. Подставив ф(г) в виде (15.9) и интегрируя по частям, имеем Ф()= -(Р)" „,„,.=/" '„„",ю,, С помощью этого выражения и учитывая (15.10), находим г = 1г*(г)Ж )е1р™ЙЪ' = / вайа (р) да ) . л д~р 1 .
„да(р) д~р 2 д (2 Л)3 / д (2 Л)з Сравнив с (15.11), мы видим, что оператор радиуса-вектора в импульсном представлении имеет вид г =16 —. (15. 12) др Оператор жс импульса в этом представлении сводится к умножению на р. Наконец, выведем формулу, выражающую через р оператор параллельного переноса в пространстве на любое конечное (а не только бесконечно малое) расстояние а. По определению такого оператора (обозначим его через Т ) должно быть Тиф(г) = т1(г+ а). Разлагая функцию ф(г+ а) в ряд Тэйлора, имеем ф(г + а) = ф(г) + а +... д~(г) или, введя оператор р = -1617: 2 ф(г+ а) = ~1+ — ар+ — ( — ар) +...~ф(г).
Выражение стоящее в квадратных скобках, представляет собои Т„= ехр ( — ар) . (15.13) Это и есть искомый оператор конечного смещения. 70 ГЛ. П ЭНЕРГИЯ И ИМПУЛЪС 9 16. Соотношения неопределенности Выведем правила коммутации между операторами импульса и координат. Поскольку результат последовательного дифференцирования по одной из переменных х, у, л и умножения на другую из них не зависит от порядка этих операций, то р,у — ур, = О, рея — яре = 0 (16.1) и аналогично для рю р,. Для вывода правила коммутации р с х пишем (р х — хр )г)г = — 16 — (хг)1) + гбх — = — гбф. д дй дт дх Мы видим, что результат воздействия оператора р х — хр, сводится к умножению функции на — 1б; то же самое относится, конечно, к коммутации рл с р и р, с ж Таким образом, имеем') р т — хрв = — 1б, р„у — ур., = — гб, р,з — зр, = — 1б.
(16.2) Все соотношения (16.1) и (16.2) можно записать вместе в виде р,хв — хйр, = — 1ббгы 4,Й = х,у,з. (16.3) Прежде чем перейти к выяснению физического смысла этих соотношений и следствий из них„напишем две полезные для дальнейшего формулы. Пусть Г(г) — некоторая функция координат, тогда р7" (г) — 7" (г)р = — гб177". (16.4) Действительно, (Рà — Гр)ср = — гб1Ч(~1)1) — 1 Уг)11 = — гбф'У1. Аналогичное соотношение имеет место для коммутатора г с функцией оператора импульса: Г(р)г — гГ(р) = — гб —. дГ (16.5) др Его можно вывести так же как (16.4), если производить вычисления в импульсном представлении, воспользовавшись для операторов координат выражением (15.12).
Соотношения (16.1) и (16.2) показывают, что координата частицы вдоль одной из осей может иметь определенное значение одновременно с компонентами импульса по двум другим осям; координата же и компонента импульса вдоль одной и той же оси 1 ) Этн соотношения, открытые в матричной форме Гейзенбергом в 1925 г., послужили отправной точкой в создании квантовой механики. СООТНОШЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ 71 не существуют одновременно. В частности, частица не может находиться в определенной точке пространства и в то же время иметь определенный импульс р. Предположим, что частица находится в некоторой конечной области пространства, размеры которой вдоль трех осей порядка величины Ьх, Ьу, Ьх.
Пусть, далее, среднее значение импульса частицы есть ро. Математически это означает, что волновая функция имеет вид )() = и(г)е'РР"~", где и(г) --функция, заметно отличная от нуля только в указанной области пространства. Разложим функцию )д по собственным функциям оператора импульса (т. е. в интеграл Фурье).
Коэффициенты а(р) этого разложения определяются интегралами (15.10) от функций вида и(г)ейп" ")")". Для того чтобы такой интеграл был заметно отличен от нуля, периоды осциллирующего множителя ей — ) 7' должны быть не малыми по сравнению с размерами Ьх, Ьу, Ь области, в которой отлична от нуля функция и(г). Это значит, что а(р) будет заметно отличным от нуля лишь для значений р таких, что (ро — р,)Ьх/6 ~ 1,... Поскольку )а(р) ~з определяет вероятность различных значений импульса, то интервалы значений р„рю р„в которых а(р) отлично от нуля, не что иное, как те интервалы значений, в которых могут оказаться компоненты импульса частицы в рассматриваемом состоянии. Обозначая эти интервалы через Ьр„Ьрю Ьр„имеем, таким образом, Ьр Ьх 6, Крейгу 6, Ьр Ьх 6.
(16.6) Эти соотношения неонределенностпи были установлены Рейзен- бергом в 1927 г. Мы видим, что чем с большей точностью известна координата частицы (т.е. чем меньше съх), тем болыпе неопределенность,Ьр, в значении компоненты импульса вдоль той же оси, и наоборот. В частности если частица находится в некоторой строго определенной точке пространства (Ьх = Ьу = Ье = О), то Ьр = Ьре — — Ьр, = Ос.
Это значит, что все значения импульса при этом равновероятны. Наоборот, если частица имеет строго определенный импульс р, то равновероятны все ее положения в пространстве (это видно и непосредственно из волновой функции (15.8), квадрат модуля которой не зависит вовсе от координат) . Если характеризовать неопределенности координат и импульсов средними квадратичными флуктуациями гл. и ЭНЕРГИЯ И ИМПУЛЪС то можно дать точную оценку наименьшего возможного значения их произвсдения (Н. )4'еу)).
Рассмотрим одномерный случай — пакет с волновой функцией 2)г(х), зависящей только от одной координаты;прсдположим для простоты, что средние значения х и ре в этом состоянии равны нулю. Исходим из очевидного неравенства г,б 2 ах~+ — дх > О, бх где а произвольная вещественная постоянная. При вычислении этого интеграла замечаем, что 2~~~2 1 (б )2 2 Г (х 2))+хг)г* — ) дх = 1 х дх = — 1 ~ф~ дх = — 1, бх г)х бх Г ~г — ~~ "~~.= — ', ~~ р~~~.= — ',(у,.Р, и получаем о (бх ) — а+, >О. 2 2 (бг*)' Для того чтобы этот квадратичный (по а) трехчлен был положительным при любых значениях сг, его дискриминант должен быть отрипательным.
Отсюда получаем неравенство дхдр > 6/2. (16.7) Наимсныпее возможное значение произведения равно 6/2. Это значение достигается в волновых пакетах, описываемых функциями вида (2Я)н~ъ'бх 16 4(бх)2 где рс и бх постоянные. Вероятности различных значений координаты в таком состоянии 1 х 2 у'2ябх ( 2(бх)2) т.е. распределены вокруг начала координат (среднее значение х = О) по закону Гаусса со средней квадратичной флуктуацией бх. Волновая функция в импульсном представлении 73 СООТНСЭШЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ Вычисление интеграла приводит к выражению вида а(р ) = сопв1 ехр( —, ).
Распределение вероятностей значений импульса, ~а(р ) ~2, тоже является гауссовым вокруг среднего р = рс и со средней квадратичной флуктуацией др = 6,126ш, так что произведение др бл имеет как раз значение 6/2. Наконец, выведем еще одно полезное соотношение. Пусть 1 и д -- две физические величины, операторы которых удовлетворяют правилу коммутации Я вЂ” д~ = — г6с, (16.9) где с.--оператор некоторой физической величины с. В правой части равенства введен множитель 6 в соответствии с тем, что в классическом пределе (т. е.
при 6 — ь О) все вообще операторы физических величин сводятся к умножению на эти величины и коммутативны друг с другом. Таким образом, в «квазиклассическом» случае можно в первом приближении правую часть равенства (16.9) считать равной нулю. В следующем же приближении можно заменить оператор с оператором простого умножения на величину с. Тогда получится Я вЂ” Ку" = — 16с. Это равенство в точности аналогично соотношению р х — шр = — т6 с той лишь разницей, что вместо постоянной 6 в нем стоит величина 6с').
В связи с этим по аналогии с соотношением ахтар, 6 мы приходим к выводу, что в квазиклассическом случае для величин 1, д имеет место соотношение неопределенности Ь~Ьд 6с. (166 О) В частности, если одной из величин является энергия (у = Н), а оператор другой (д) не зависит явно от времени, то, согласно (9.2), с = К и соотношение неопределенности в квазиклассическом случае (1661) ') Классическая величина с есть скобка Пуассона величин 1' и и 1сьь нримеч. на с.
46). ГЛАВА П1 .х'РАВНКНИК ШРКДИНГКРА я 17. Ъ'равнение Шредингера Вид волнового уравнения физической системы определяется ес гамильтонианом, приобретающим в силу этого фундаментальное значение во всем математическом аппарате квантовой механики. Вид гамильтониана свободной частицы устанавливается уже общими требованиями, связанными с однородностью и изотропией пространства и принципом относительности Галилея.
В классической механике эти требования приводят к квадратичной зависимости энергии частицы от ее импульса: К = рз/2пз,, где постоянная т называется массой частицы (см. 1, ~ 4). В квантовой механике те же требования приводят к такому же соотношению для собственных значений энергии и импульса --. одновременно измеримых сохраняющихся (для свободной частицы) величин.
Но для того чтобы соотношение Е = р2/2т имело место для всех собственных значений энергии и импульса, оно должно быть справедливым и для их операторов: (17. 1) Подставив сюда (15.2), получим гамильтониан свободно движущейся частицы в виде (17.2) где Ь = д /дт + д /др + д /дз - оператор Лапласа.
Гамильтониан системы невзаимодействующих частиц равен сумме гамильтонианов каждой из них; ~2 (17.3) а где индекс а нумерует частицы; Ь оператор Лапласа, в котором дифференцирование производится по координатам а-й частицы. 75 УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА В классической (нерелятивистской) механике взаимодействие частиц описывается аддитивным членом в функции Гамильтона потенциальной энергией взаимодействия Гг(гм г2,... ), являющейся функцией координат частиц. Прибавлением такой же функции к гамильтониану системы описывается и взаимодействие частиц в квантовой механике'): й~ х — ~ Гх„ Н = — — ~ —" + 17(гмг2,...); 2 гл а (17.4) первый член можно рассматривать как оператор кинетической энергии, второй — как оператор потенциальной энергии.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
