III.-Квантовая-механика (1109680), страница 14
Текст из файла (страница 14)
В част- ности, гамильтониан для одной частицы, находящейся во внеш- нем поле, =р й' Н = — +17(х,гу,я) = — — Ь+Н(х,у, ), (17.5) 2ги 2т ггг — = — — ААФ + Н(х, у, я)Ф. . ар а' дг 2т (17.6) Уравнение же (10.2), определяюгцее стационарныс состояния, принимает вид Аг — Ьг)2 + [Š— 17(х, у, я)]2)2 = О. 2т (17. 7) Уравнения (17.6), (17.7) были установлены Шредингером в 1926 г. и называются уравнениями Шредингера. Для свободной частицы уравнение (17.7) имеет вид й2 — Ьф+Щ=О. 2т (17.
8) Это уравнение имеет конечные во всем пространстве решения при любом положительном значении энергии Е. Для состояний с определенными направлениями движения этими решениями являются собственные функции оператора импульса, причем ) Это утверждение не является, конечно, логическим следствием основных принципов квантовой механики и должно рассматриваться как следствие опытных данных. где 17(х, у, я) потенциальная энергия частицы во внешнем поле. Подстановка выражений (17.2)- (17.5) в общее уравнение (8.1) дает волновые уравнения для соответствуюпцгх систем. Выпипгем здесь волновое уравнение для частицы во внешнем поле 76 УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА ГЛ.
П! Е = р2!г2т,. Полные (зависягцие от времени) волновые функции таких стационарных состояний имеют вид Ф = сопв$ схр( — — (Е1 — рг)). 6 (17.9) Каждая такая функция-" плоеная волна —. описывает состояние, в котором частица обладает определенными энергией Е и импульсом р. Частота этой волны равна Е(6! а ео волновой вектор 1с = рг!6; соответствуюшую длину волны Л = 2к6ггр называют дебройлевекой длиной волны частицы ') . Энергетический спектр свободно движущейся частицы оказывается, таким образом, непрерывным, простираясь от нуля до +ос. Каждое из этих собственных значений (за исключением только значения Е = 0) вырождено, причем вырождение бесконечной кратности.
Действительно, каждому отличному от нуля значению Е соответствует бесконечное множество собственных функций (17.9), отличающихся направлениями вектора р при одинаковой его абсолютной величине. Проследим, каким образом происходит в уравнении Шредингера предельный переход к классической механике, рассматривая для простоты всего одну частицу во внешнем поле. Подставив в уравнение Шредингера (17.6) предельное выражение (6.1) волновой функции гр = ае' г ", получим, произведя дифференцирования! дБ, да а 2 г6 г6 6 а — — 16 — + — ( !7Я) — — аААЯ вЂ” — уЯЧ'а — — гаа + С'а = О.
д! д! 2гп 2т гп 2гп В этом уравнении имеются чисто вещественные и чисто мнимые члены (напомнив!, что Я и а вещественны); приравнивая те и другис в отдельности нулю, получим два уравнения: 6! — + — ("гЯ) +с7 — ' !Да=О, д! 2т 2!па — + — ЬЯ+ — г!73~7а = О. д! 2п! т Пренебрегая в первом из этих уравнений членом, содержащим 62, получим дБ+ 1 (гуя) +с!'=О, (17.10) т. е., как и следовало, классическое уравнение Гамильтона -Якоби для действия Я частицы.
Мы видим, кстати, что при 6 — ! 0 ') Понятие о волне, связанной с частицей, было впервые введено дедройлем (Ь. ЙВВговйе) в 1924 г. 77 218 ООНОВНЫЕ СВОЙОТВА УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА классическая механика справедлива с точностью до величин первого 1а не нулевого) порядка по 6 включительно. Второе из полученных уравнений после умножения на 2а может быть переписано в виде д 2 — + с))у(а — ) = О. 117. 11) Это уравнение имеет наглядный физический смысл; а есть плотность вероятности нахождения частицы в том или ином месте пространства (~Ф~ = и ); ЧЯ)пл = р/т есть классическая скорость тг частицы.
Поэтому уравнение 117.11) есть не что иное, как уравнение непрерывности, показывающее, что плотность вероятности «перемещаетсяь по законам классической механики с классической скоростью АГ в каждой точке. Задача Найти закон преобразования волновой функции при преобразовании Галилея. Р е ш е н и е.Произведем преобразование над волновой функцией свободного движения частицы 1плоской волной). Поскольку всякая функция Ф может быть разложена по плоским волнам, то тем самым будет найден закон преобразования и для произвольной волновой функции. Плоские волны в системах отсчета К и К 1К движется относительно К со скоростью Ъ'): Ф1г,г) =- Ф 1г,г) ехр [ — ~ тЪг' т / 1а '1 2 ) = Ф'(г — Ъ йг) ехр [ — (тЪГà — 1)] .
11) В таком виде зта формула уже не содержит величин, характеризующих сво- бодное движение частицы, н устанавливает искомый обп1ллй закон преобра- зования волновой функции произвольного состояния частицы. Для систеыы частиц в показателе экспоненты в 11) должна стоять сумма по частицам. 8 18. Основные свойства уравнения Шредингера Условия, которым должны удовлетворять решения уравнения Шредингера, имеют весьма общий характер. Прежде всего волновая функция должна быть однозначной и непрерывной во Ф1г,1) .= сопле ехр)л1рг — Ег)/6), Ф 1г, 1) = сопзс ехр)«1р г — Е 1)/6), причем г =- г'+Ъlй а импульсы и энергии частицы в обеих системах связаны друг с другом формулами р = р'+ тЪ', Е = Е'+ Ъ'р' т гп г" 72 1см.
1, З 8). Подставив зти выражения в Ф, получим 78 ГЛ. П1 УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА всем пространстве. Требование непрерывности сохраняется и в тех случаях, когда само поле 1!'(х,у, е) имеет поверхности разрыва. На такой поверхности должны оставаться непрерывными как волновая функция, так и се производные. Непрерывность последних, однако, не имеет места, если за некоторой поверхностью потенциальная энергия б! обращается в бесконечность.
В область пространства, где 17 = оо, частица вообще не может проникнуть, т. е. в этой области должно быть везде д! = О. Непрерывность ф требует, чтобы на границе этой области ф обращалось в нуль; производные же от !д в этом случае испытывают, вообще говоря, скачок. Если поле 17(х, р, е) нигде не обращается в бесконечность, то волновая функция тоже должна быть конечной во всем пространстве. Это же условие должно соблюдаться и в тех случаях, когда 17 обращается в некоторой точке в бесконечность, но не слишком быстро как 1/г' с а < 2 (см.
также ~ 35). Пусть 17ш!В есть минимальное значение функции 17(х!у,е). Поскольку гамильтониан частицы есть сумь!а двух членов— операторов кинетической Т и потенциальной 17 энергий, то среднее значение энергии в произвольном состоянии равно сумме Е = Т + Г.
Но так как все собственные значения оператора Т (совпадающего с гамильтонианом свободной частицы) положительны, то и среднее значение Т > О. Имея также в виду очевидное неравенство 17 > 17 Вн найдем, что и Е > 17 ы, Поскольку это неравенство имеет место для любого состояния, то ясно, что оно справедливо и для всех собственных значений энергии (18.1) Е„> 17 а! Рассмотрим частицу, движущуюся в силовом поле, исчезающем на бесконечности; функцию 17(х, у, е), как обычно принято, определим так! чтобы на бесконечности она обращалась в нуль. Легко видеть, что спектр отрицательных собственных значений энергии будет тогда дискретным, т.е.
все состояния с Е < 0 в исчезающем на бесконечности поле являются связанными. Действительно, в стационарных состояниях непрерывного спектра, соответствующих инфинитному движению, частица находится на бесконечности (см. ~ 10). Но на достаточно болыпих расстояниях наличием поля можно пренебречь, и движение частицы может рассматриваться как свободное; при свободном же движении энергия может быть только положительной.
Напротив, положительные собственные значения образуют непрерывный спектр и соответствуют инфинитному движению; при Е > 0 уравнение Шредингера, вообще говоря, не имеет 218 ОонОВные сВОйстВА уРАВнения шРединГеРА (в рассматриваемом поле) решений, для которых бы интеграл )'~ф~~сЛ1 сходился'). Обратим внимание на то, что в квантовой механике при финитном движении частица может находиться и в тех областях пространства, в которых Е < сг, вероятность ~~~ нахождения частицы хотя и стремится быстро к нулю в глубь такой области, но на всех конечных расстояниях все же отлична от нуля.
В этом отношении имеется принципиальное отличие от классической механики, в которой частица вообще не может проникнуть в область, где сг > Е. В классической механике невозможность проникновения в эту область связана с тем, что при Е ( О" кинетическая энергия была бы отрицательной, т.е. скорость — мнимой. В квантовой механике собственные значения кинетической энергии тоже положительны; тем не менее мы не приходим здесь к противоречию, так как если процессом измерения частица локализуется в некоторой определенной точке пространства, то в результате этого жс процесса состояние частицы нарушается таким образом, что она вообгце перестает обладать какой-либо определенной кинетической энергией.
Если во всем пространстве бг(х, у, е) > О (причем на бесконечности У вЂ” Р О), то в силу неравенства (18.1) имеем Е„> О. Поскольку, с другой стороны, при Е > О спектр должен быть непрерывным, то отсюда следует, что в рассматриваемом случае дискретный спектр вообще отсутствует, т. е. возможно только инфинитное движение частицы. Предположим, что 11 в некоторой точке (которую выберем в качестве начала координат) обращается в — оо по закону Г = — сг/г', сг > О.
(18.2) Рассмотрим волновую функцию, конечную в некоторой малой области (радиуса го) вокруг начала координат и равную нулю вне ее. Неопределенность в значениях координат частицы в таком волновом пакете порядка го, поэтому неопределенность в значении импульса гу(ГО. Среднее значение кинетической энеРгии в этом состоЯнии поРЯДка величины 6 (тто, а сРеДнее 2 2 значение потенциальной энергии порядка — сг/го. Предположим сначала, что я > 2.
Тогда сумма Б2(тате — сг/ге при достаточно малых Ге принимает сколь угодно большие по абсолютной величине отрицательные значения. Но если средняя энергия может принимать такие значения, то это во всяком случае означает, что существуют отрицательныс собственные значения энергии, 1) С чисто математической точки зрения надо, однако, оговориться, что при некоторых видах функции 11(х, у, я) (не имеющих физическогО значения) из непрерывного спектра может выпадать дискретный набор значений. 80 ГЛ. и1 УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА сколь угодно большие по абсолютной величине.
Уровням энергии с большим ~Е~ соответствует движение частицы в очень малой области пространства вокруг начала координат. «Нормальное» состояние будет соответствовать частице, находящейся в самом начале координат, т.е. произойдет «падение» частицы в точку г = О. Если же н < 2, то энергия не может принимать сколь угодно больших по абсолютной величине отрицательных значений. Диагональный спектр начинается с некоторого конечного отрицательного значения. Падения частицы на центр в этом случае не происходит. Обратим внимание на то, что в классической механике падение частицы на центр в принципе возможно во всяком поле притяжения (т. е, при любом положительном л).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
