III.-Квантовая-механика (1109680), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Случай н = 2 будет рассмотрен особо в ~ 35. Далее, исследуем характер энергетического спектра в зависимости от поведения поля на больших расстояниях. Предположим, что при г — + оо потенциальная энергия, будучи отрицательной! стремится к нулю по степенному закону (18.2) 1в этой формуле теперь Г велико). рассмотрим волновой пакет, «заполнякпций» шаровой слой большого радиуса то и толщины Ь! « Го.
Тогда снова порядок величины кинетической энергии бУДет йз!!т(ЬГ)з, а потенЦиальной; — ст!!Го». БУДем Увеличивать Го, увеличивая одновременно и Ьг (так, чтобы Ьг росло пропорционально го). Если л < 2, то при достаточно болыпих го сумма 62/т(ЬГ)2 — !т/го» станет отрицательной. Отсюда следует, что существуют стационарные состояния с отрицательной энергией, в которых частица может с заметной вероятностью находиться на больших расстояниях от начала координат. Но это означает, что существуют сколь угодно малые по абсолютной величине отрицательные уровни энергии (надо помнить, что в области пространства, где 11 > Е, волновые функции быстро затухают).
Таким образом, в рассматриваемом случае дискретный спектр содержит бесконечное множество уровней, которые сгугцаются по направлению к уровню Е = О. Если жс на бесконечности поле спадает! как — 1(т' с в > 2, то сколь угодно малых по абсолютной величине отрицательных уровней нет. Дискретный спектр кончается уровнем с отличным от нуля абсолютным значеннее!, так что общее число уровней конечно. Уравнение Шредингера для волновых функций гд стационарных состояний, как и накладываемые на его решения условия,-- вещественно. Поэтому его решения всегда могут быть выбраны вещественными') .
Что касается собственных функций невы- ) Это не справедливо для систем, находящихся в магнитном поле. 81 з19 плотность потока рожденных значений энергии, то они автоматически оказываются вещественными с точностью до несущественного фазового множителя. В самом деле, ф* удовлетворяет тому же уравнению, что и гр, и потому тоже есть собственная функция для того же значения энергии; поэтому если это значение не вырождено, то ф и 9з* должны быть по существу одинаковыми, т.е. могут отличаться лишь постоянным множителем (с модулем, равным единице).
Волновые же функции, соответствующие одному и тому же вырожденному уровню энергии, не обязательно вещественны, но путем соответствующего выбора их линейных комбинаций всегда можно получить набор вещественных функций. Полные же (зависягцие от времени) волновые функции гР определяются уравнением, в коэффициенты которого входит 1. Это уравнение, однако, сохраняет свой вид, если в нем заменить | на — 1 и одновременно перейти к комплексно сопряженному') .
Поэтому можно всегда выбрать функции Ф такими, чтобы Ф и 1р* отличались только знаком у времени. Как известно, уравнения классической механики не меняются при обращении времени, т. е. при изменении его знака. В квантовой механикс симметрия по отношению к обоим направлениям времени выражается, как мы видим, в неизменности волнового уравнения при изменении знака 1 и одновременной замене гр на Ф*. Надо, однако, помнить, что эта симметрия относится здесь только к уравнениям, но не к самому понятию измерения, играющему фундаментальную роль в квантовой механике (как об этом подробно шла речь в 9 7).
9 19. Плотность потока В классической механике скорость частицы и связана с ее импульсом соотношением р = тч. В квантовой механике, как и следовало ожидать, такая же связь имеет место между соответствующими операторами. В этом легко убедиться, вычислив оператор у = г по общему правилу дифференцирования операторов по времени (9.2): 1 й = — (Нг — гН). 6 Воспользовавшись выражением (17.5) для Й и формулой (16.5), )Предполагается,что потенциальная энергия У не зависит явно от времени — система либо замкнута, либо находится в постоянном (не магнитном) поле.
ГЛ. и1 УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА получим у = р/т. (19.1) Такие же соотношения будут, очевидно, иметь место и между собственными значениями скорости и импульса и между их средними значениями в любом состоянии. Скорость, как и импульс частицы, не может иметь определенного значения одновременно с ее координатами. Но скорость, умноженная на бесконечно малый элемент времени Ж, определяет смещение частицы за время М.
Поэтому факт несуществования скорости одновременно с координатами означает, что если частица находится в определенной точке пространства в некоторый момент времени, то она не будет иметь определенного положения уже в следующий бесконечно близкий момент времени. Отметим полезную формулу для оператора 1 производной по времегш от некоторой величины 1(г), являющейся функцией радиуса-вектора частицы.
Имея в виду, что 1 коммутативно с 11(г), находим ~=-'(Й~ — ~Й) = * ф2~ я2) й 2тй а с помощью (16А) имеем р ~ = р(~р — 16~7Д), ~р = (р~+ гЧ7~)р и находим искомое выражение (19.2) 2т Далее, найдем оператор ускорения. Имеем у = — (Йу — чй) = — (Йр — рй) = — (11р — рбГ). й тй тй Воспользовавшись формулой (16.4), находим (19.3) Это операторное уравнение по форме в точности совпадает с уравнением движения (уравнением Ньютона) классической механики. Интеграл ) ~Ф~2 дЪ", взятый по некоторому конечному объему 1Г, представляет собой вероятность нахождения частицы в этом объеме. Вычислим производную от этой величины по времени. Имеем — ' 1 Р ~ аУ = 1 (Р ~~ ~ Р ~ ) юг = -„' ~ э Р Р" — Р В Р) аг.
219 ПЛОЧ'КОСТЬ ПОТОКА Подставив сюда аг Н = Н* = — — 2А + сг'(х, у, в) 2т и использовав тождество ФЬФ* — Ф*га Ф = Мч(ьгеФ* — Ф*17Ф), получим а / ~Ф~2 Д / ~ Л; Ж/ где 1 обозначает вектор') = — (Ф игаса Ф* — Ф' атЫ Ф) = — (Фр'Ф*+ Ф'рФ). (19.4) 2т 2т Интеграл от с11т2 может быть преобразован, согласно теоре- ме Гаусса, в интеграл по замкнутой поверхности, окружающей объем 1т: — ~Ф~2сЛ: = — 1Ж. (19.5) д!Ф!г д1 + йи,1 = О, (19.6) аналогичному классическому уравнению непрерывности. Волновая функция свободного движения плоская волна (17.9) может быть пронормирована так, чтобы она описывала поток частиц с равной единице плотностью (поток, в котором через единичную площадку его поперечного сечения проходит в среднем по одной частице в единицу времени). Такая функция 1 1 г Ф = — ехр ~ — — 1Е1 — рг)], а (19.7) где и — скорость частицы.
Действительно, подставив ее в (19.4), получим 1 = р/ти, т. с. единичный вектор в направлении дви- жения. ) если представить Ф в виде ~ф)е', то ф~ Кгас1О. и (19.4 а) Отсюда видно, что вектор 1 может быть назван вектором плотности потока вероятности или просто плотностью потоки. Интеграл от этого вектора по поверхности есть вероятность того, что в течение единицы времени частица пересечет эту поверхность. Вектор 1 и плотность вероятности ~ Ф ~ удовлетворяют уравнению 84 ГЛ. П! УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА Полезно показать, каким образом непосредственно из уравнения Шредингера следует взаимная ортогональность волновых функций состояний с различной энергией.
Пусть юг и 4„две такие функции; они удовлетворяют уравнениям ~г Мг~ггп + ~ГФт = ЕтФт1 2т — — Ьф„* + Щ„* = Е„г)г„*. Умножим первое из них на ~„*, а второе на ф. и вычтем почленно друг из друга; это дает (Е„-Е„)У ~„= ~ Ц Ь~„*-Ф„*~~ )= ~ О ~И ~Р„*-Ф„:У~ ). Если теперь проинтегрировать обе части уравнения по всему пространству, то правая часть, будучи преобразована по теореме Гаусса, обратится в нуль, и мы получим Ят Еп) ФтФп ~~~ откуда, ввиду предполагаемого Е ~ Е„следует искомое соотношение ортогональности я 20. Вариационный принцип Уравнение Шредингера в общем виде Йф = Ег)г может быть получено из вариационного принципа б ~*(Й вЂ” Еф (6~ = О.
(20.1) Ввиду комплексности ф варьирование по ф и юг* можно произ- водить независимо. Варьируя по юг*,имеем д~~*(Й вЂ” Е) 4 дд = О, откуда, ввиду произвольности Юга*, получаем искомое уравнение Й1Р = Еф. Варьирование по 1Р не дает ничего нового. Действительно, варьируя по ф и воспользовавщись эрмитовостью 85 220 ВАРИАЦИОННЫЙ ПРИНЦИП оператора Й, .имеем откуда получается комплексно сопряженное уравнение Й*гр* = = Еф*. Вариационный принцип (20.1) требует безусловного экстремума интеграла. Его можно представить в другом виде, рассматривая Е как множитель Лагранжа в задаче об условном экстремуме б 4"Йгрг6~ = 0 (20.2) при дополнительном условии (20.
3) Минимальное (при дополнительном условии (20.3)) значение интеграла (20.2) представляет собой первое из собственных значений энергии, т. е. энергию Ее нормального состояния. Осуществляющая этот минимум функция ф есть соответственно волновая функция фе нормального состояния') . Волновые же функции гр„(п > 0) следующих стационарных состояний соответствуют лишь экстремуму, а не истинному минимуму интеграла. Для того чтобы получить из условия минимальности интеграла (20.2) волновую функцию гр1 и энергию Е1 следующего после нормального состояния, надо допускать в качестве конкурирующих функций гр только те, которые удовлетворяют не только условию нормировки (20.3), но и условию ортогональности к волновой функции где нормального состояния ( г)нре дд = О. Вообще, если известны волновые функции фе,гры..., у)„1 первых п состояний (состояния расположены в порядке возрастания их энергий), то волновая функция следующего состояния осуществляет минимум интеграла (20.2) при дополнительных условиях: ') Ниже в этом параграфе мы будем считать волновые функции ф вещественными, каковыми их всегда можно выбрать (если нет магнитного поля).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
