III.-Квантовая-механика (1109680), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Таким образом, при симметричной (относительно точки х = 0) потенциальной энергии волновые функции стационарных состояний могут быть либо четными (ф( — х) = ф(х)), 90 ГЛ. и1 УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА либо нечетными (ф( — х) = — гр!'т))!). В частности, волновая функция основного состояния четна: действительно, она не может иметь узлов, а нечетная функция во всяком случае обращается в нуль при х = 0 1гр(0) = — гр(0) = О). Для нормировки волновых функций одномерного движения (в непрерывном спектре) существует простой способ, позволяющий определить нормировочный коэффициент непосредственно по асимптотическому выражению волновой функции для больших значений ~х~.
Рассмотрим волновую функцию движения, инфинитного в одну сторону (х — э +ос). Нормировочный интеграл расходится при х э оо (при х — э — оо функция экспоненциально затухает, так что интеграл быстро сходится). Поэтому при определении нормировочной постоянной можно заменить гр ее асимптотическим значением (для больших х ) О) и производить интегрирование, выбрав в качестве нижнего предела любое конечное значение х, скажем, нуль; это сводится к пренебрежению конечной величиной по сравнению с бесконечно боль!пой. Покажем, что волновая функция, нормированная условием ф'г)!р а!х = б(~ ") = 2лйб(р — р') (21.9) 1 (р импульс частицы на бесконечности), должна иметь асимптотический вид (21.5) с коэффициентом а = 2: г)!р — 2 сов(!сх+ 6) = е'!~От~! + е '!~*т~! 121.10) Поскольку мы не имеем в виду проверять взаимную ортогональность функций, соответствующих различным р, то при подстановке функций (21.10) в нормировочный интеграл считаем импульсы р и р' сколь угодно близкими, поэтому можно положить д = д' (б является, вообще говоря, функцией р).
Далее, в подынтегральном выражении оставляем лишь те члены, которые при р = р' расходятся; другими словами, опускаем члены, содержа- щИЕ МНОжИтЕЛИ Ез'Цк Гк !*. ТаКИМ ОбраЗОМ, ПОЛуЧаЕМ э' э' ! 1 ц ) г + 1 ( )Ы ~ ( ) г е х р р / о о — ОО что в силу (15.7) совпадает с (21.9). ') В этих рассуждениях предпола!ается, что стационарное состояние не вырождено, т. е. не инфинитно в обе стороны.
В противном случае, при изменении знака х две волновые функции, относящиеся к данному уровню энергии, могут преобразовываться друг через друга. Однако в этом случае 91 ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЯМА я 22. Потенциальная яма В качестве простого примера одномерного движения рассмотрим движение в прямоугольной потенциальной лме, т.с. в поле с функцией Г(х), изображенной на рис. 1: С(х) = О при О < х < а, ьГ(х) = бго сЧх) при х < О, х ) а. Заранее очевидно, что при Е < Уе спектр будет дискретным, а 'ис при Е > 5ге имеется непрерывный спектр двукратно вырожденных уровней. В области О < х < а имеем уравнение Шредингера гдл + —,Егд = О (22.1) а х волновые функции стационарных состояний хотя и не обязательно четны или нечетны, но всегда могут быть сделаны таковыми (путем выбора соот- ветствукицих линейных комбинаций исходных функций).
Переход к нормировке на о-функцию от энергии соверптается, согласно (5.14), умножением фр на где е скорость частицы на бесконечности. Таким образом, Заметим, что плотность потока в каждой из двух бегущих волн, на которые разделяется стоячая волна (21.11), равна 1/(2лб).
Таким образом, можно сформулировать следующее правило для нормировки волновой функции инфинитного в одну сторону движения на о-функцию от энергии: представив асимптотическое выражение волновой функции в виде суммы двух бегущих в противоположные стороны плоских волн, надо выбрать нормировочный коэффициент таким образом, чтобы плотность потока в волне, бегущей по направлению к началу координат (или в направлении от начала координат), была равна 1/(2лп).
Аналогичным образом нюжно получить такое же правило для нормировки волновых функций движения, инфинитного в обе стороны. Волновая функция будет нормирована на б-функцию от энергии, если сумма потоков в волнах, бегущих по направлению к началу координат с положительной и отрицательной сторон оси х, равна 1/(2тгй). ГЛ. и1 УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА (штрих означает дифференцирование по х), а в области вне ямы !Р + —,(Š— 1'О)!г = О. (22.2) При х = О, а решения этих уравнений должны переходить друг в друга непрерывно и с непрерывной производной, а при х = = ~:оо решение уравнения (22.2) должно оставаться конечным (для дискретного спектра, Е < 17О обращаться в нуль). При Е < 17О обращающееся на бесконечности в нуль решение уравнения (22.2) есть !(! = со!тэФ.е+ *, 6 (22.3) (знаки — и + в показателе относятся соответственно к областям х ) а и х < 0).
Вероятность )ф)~ нахождения частицы экспоненциально затухает в глубь области, в которой Е < 17(х). Вместо непрерывности ~ и ф' на границе потенциальной ямы удобно потребовать непрерывности ф и логарифмической производной ф'!!ф, Учитывая (22.3), получасы граничное условие в виде ФУФ=~ . (22.
4) Мы не станем останавливаться здесь на определении уровней энергии в яме произвольной глубины 17О (см, задачу 2) и разберем полностью только предельный случай бесконечно высоких стенок (17Π— ~ оо). При 17О = оо движение происходит лишь на ограниченном точками х = О, а отрезке, и, как было указано в ~ 18, граничное условие в этих точках ч! = О.
(22.5) (Легко видеть, что это условие получается и из общего условия (22.4). Действительно, при 17Π— + со имеем также и Рà — ! оо и потому !р'/!д — ! со; поскольку !Р! не может обращаться в бесконечность, то отсюда следует !д = 0.) Ищем решение уравнения (22.1) внутри ямы в виде ф = сэ1п(йх+ д), Й = (22.6) Условие !д = 0 при х = 0 дает о = О, после чего то же условие при х = а дает эш 1са = О, откуда йа = пх (и целые положительные числа, начиная с единицы')) или влв (22.7) 2та ) При п = О получилось бы тождественно !!! =- О. 93 222 ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЯМА Этим определяются уровни энергии частицы в потенциальной яме.
Нормированные волновые функции стационарных состояний 2))в = — Ьйи — т (22.8) На основании этих результатов можно непосредственно написать уровни энергии для частицы в прямоугольном епотенциальном ящике», т. е. для трехмерного движения в поле с потенциальной энергией 12' = О при О < т < а, О < у < (2, О < е < с и Ог = Оо вне этой области. Именно, зти уровни представляются суммами 262 2 2 2 2пг а е~ с а соответствующие волновые функции произведениями 2)2вгвзвв = — гйп 'т зш 'у зш % (22.10) Отметим, что энергия основного состояния оказывается, согласно (22.7) или (22.9), порядка Ео 62,1т(2, где 1 линейные размеры области движения частицы. Этот результат находится в соответствии с соотношениями неопределенности: при неопределенности координаты 1 неопределенность импульса, а с нею и порядок величины самого импульса 6/1; соответствующая энергия (6/1) /пг.
Задачи 1. Определить распределение вероятности различньгх значений импульса для нормального состояния частицы, находящейся в бесконечно глубокой прямоугольной потенциальной яме. Р е ш е н и е. Коэффициенты а(р) разложения функции у22 (22.8) по собственным функциям импульса равны а(р) = /югр42 Йл = — ~ зш ( — х) ехр( — 2 — )4л. о Вычислив интеграл и возведя его модуль в квадрат, получим искомое распределение вероятностей 4р 4лйза 2 рв 2лй (р а — л~г2~) 26 2. Определить уровни энергии для потенциальной ямы, изображенной на рис.
2. Р е ш е н и е. Дискретным является спектр энергий Е < Уы который мы и рассматриваем. В области х < О волновая функция Ф=, "",,=(»2)Л (О, Ц, 94 УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА ГЛ. П! а в области х ) а э = ', = )~)й) )г)г! е). Внутри ямы (О < х < а) ищем ))) в виде ))) = сз1П1)сх ' б), 6 = ъГ2тЕ)6. Условие непрерывности ))),)))) на границах ямы дает уравнения 1)1х) )Г2т ~) 6' 2гп 6сзй!)ай ~- б) =- — иг = — — Пг — 1г, 6' Рис.
2 нли 66 66 япб = ., яп(ка1-б) =-— У) 2лК~~ У) 2тУг Исключая б, получим трансцендентное уравнение 66 . 66 йа =- пгг — агсяп — агсяп (1) у 2тиЦ А) 2тГ~ (где и = 1, 2, 3,, а значения эгсяп берутся между О и х))2), корни которого определяют уровни энергии Е = 6~6~/2т. Для каждого и имеется, вообще говоря, один корень: значения и нумеруют уровни в порядке их возрастания. Поскольку аргумент у эхсяп не может превышать 1, то ясно, что значения 6 могут лежать только в интервале между О и у)2тЬ~,)6. Левая часть уравнения (Ц есть монотонно возрастающая, а правая — монотонно убывающая функции 6.
Поэтому для существования корня уравнения )1) необходимо, чтобы при й = у) 2тб))))6 правая часть была моньшс левой. В частности, неравенство у) 2тбг! х . ! )г'! а ? — — агсяп 12) получающееся при и = 1, есть условие того, чтобы в яме существовал по крайней мере один уровень энергии. Мы видим, что при данных П! ~ Пг всегда существуют настолько малые значения ширины а ямы, при которых не будет существовать ни одного дискретного уровня энергии.При П! = О)г условие (2), очевидно, всегда выполняется. При о)! = ог = бо (симметричная яма) уравнение (1) сводится к 66 пж-Йа ахеян (2) у)2пгПе 2 Вводя переменную б = йа,)2, получим при нечетном и уравнение 6 )' 2 соэ( = хэ(, у =— а~( тПо' причем должны браться те корни этого уравнения, для которых ейб > О.
При четном и получим уравнение япб = луб, (5) 95 линейный Осциллятог причем надо брать корни, для которых сн( < О. По корням этих двух уравнений определяются уровни энергии Е = гугб~/та, число уровней (при т ~ О) конечно. В частности, для мелкой ямы, в которой Но « бг/таг, имеем у » 1, и уравнение (б) не имеет корней вовсе.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
