III.-Квантовая-механика (1109680), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Отраженный поток равен падающему, т.е. 107 коээеицивнт пгохождвния ф = А~е'"'*+ В~е '"'* при л — э — оо, у1 = Аге'~'* + Взе '~'~ при х — э +со. (25. 5) Поскольку оба эти выражения представляют собой асимптотические формы одного и того же решения линейного дифференциального уравнения, между коэффициентами Ап В~ и Аз, Вэ существует линейная связь.
Пусть Аз = оА~ +,ЗВП где а, Д.— постоянные (вообп1е говоря, комплексные), зависящие от конкретного вида поля П(л). Аналогичное соотношение для Вз можно тогда написать на основании соображений, связанных с вещественностью уравнения Шредингера. В силу последнеи, если ф есть решение данного уравнения Шредингера, то и комплексно сопряженная функция ф' есть решение того же уравнения. Асимптотический вид ф* = А~е '~'*+ В~с'~'* при я — э +со отличается от (25.5) лишь обозначением постоянных коэффици- ентов; поэтому имеем В~ — — аВ~ + )3А~ или Вз = а*В~ + Д*Ап Таким образом, коэффициенты в (25.5) связаны друг с другом соотношениями вида Ав = аА~ + ~Вы Вз = ~Э*А~ + си*Вь (25.6) Условие постоянства потока вдоль оси х приводит для коэффициентов в (25.5) к соотношению 1сд ((А~ (~ — )В~ (~) = Ц()Аэ/~ — )Вз/~).
Выразив здесь Аэ, Вз, через Ам В~ согласно (25.6), получим ~2 ~р~ 2 ~~1 (25. 7) йд С помощью соотношений (25.6) можно показать, что коэффициенты отражения одинаковы (при заданной энергии Е ) 17о) для частиц, движущихся в положительном или отрицательном происходит полное отражение частицы от потенциальной стенки.
Подчеркнем, однако, что и в этом случае вероятность нахождения частицы в области, где Е ( 11, все же отлична от нуля, хотя и быстро затухает с увеличением ас В общем случае произвольного стационарного состояния (с энергией Е ) 17о) асимптотический вид волновой функции как при х — э — оо, так и при х — э +со представляет собой сумму двух волн, распространяющихся в обе стороны оси ас 108 УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА ГЛ. и1 направлении оси х. Действительно, первый случай мы получим, положив в функциях (25.5) В2 = О; при этом В1!!А! = — Д*!!гх*. Во втором случае полагаем А! = О, тогда А2!!В2 = фа*. Соответствуюгцис коэффициенты отражения В! 2 )~3* 2 Аг В1= =~, ! АА2= А! ~а* ' Вг а* откуда Ясно хто В1 = гь2. Величины же В1/А! = — Д*/ст* и А2/В2 = )з,!о* естественно назвать амплитудами отражения соответственно для движения в положительном и отрицательном направлениях.
Эти амплитуды равны по модулю, но могут отличаться фазовым множителем. Задачи 1. Определить коэффициент отражения частицы от прямоугольной потенциальной стенки (рис. 6); энергия частиць! Е > Пе. Р е ш е н и е. Во всей области х ) 0 волновая функция имеет вид (25.1), а в области х < 0— (25.2). Постоянные А и В определяются из условия непрерывности !э и и!)!/дх при х =- 0: 1 Е В =- А, й!(1 — В) = йзА, откуда в й! т йз й! -'Г йз Рис.
6 Коэффипиент отражения (25А) ) При Е =- По (йг = 0) В обращается в единипу, а при Š— ! оо стремится к нулю как В = (Пе(4Е)). 2. Определить коэффициент прохождения частицы через прямоугольный потенциалъный барьер (рис. 7). Р е ш е н и е. Пусть Е > Пе и падающая частица движется слева направо. 'Гогда имеем для волновой функции в различных областях выражения вида Р=е' !*+Ае ь, В! — А,* Р = Се'ь" при х < О, при 0 < х < и, при х ) а ) В предельном случае классической механики коэффициент отражения должен обратитъся в нуль. Между том полученное выражение вовсе не содержит квантовой постоянной. Это кажущееся противоречие разъясняется следующим образом. Классическому пределу соответствует случай, когда дебройлевская длина волны частицы Л й/р мала по сравнению с характеристическими размерами задачи.
т. е. по сравнению с расстояниями, на которых заметно меняется поле о'(х). В рассматриваемом же схематическом примере это расстояние равно нулю (в точке х = 0), так что предельный переход не может быть произведен. 109 225 коэооицивнт пгохождкния (со стороны х > а должна быть только прошедшая волна, распространяющаяся в положительном направлении оси я).
Постоянные А, В, В', С определяются из условий непрерывности ф и Нф/Йт в , Г(я) точках л = О, о. Коэффициент прохождения определяется как В = й~(С~~/й~ = )С(~. Вычисление при- По водит к результату: 4кг кг ~1г 1э)г о Рис. 7 При Е ( Пэ 1з — чисто мнимая величина; соответствующие выражения для В получаются заменой йз на 1мю где бмз = л э): 41~из~ (к~ + м~)~ за~ ам~ + 4й~~мз 3. Определить коэффициент отражения частицы от потенциальной стенки, определяемой формулой о'(х) = ПаД1+ е *) (см. рис.
5); энергия частицы Е > Гс. Р е ш е н и е. Уравнение Шредингера гласит; ~+ — (Š— " )б =о Мы должны найти решение, которое при х — Э -~-со имеет вид ф = сопзс.е* '*. Вводим новую переменную (пробегающую значения от — сс до 0) и ищем решение в виде Ф=-Г"'" М, где ш(() стремится к постоянной при ( -э 0 1т.е. при т -э со). Для ш® получаем уравнение гипергеометрического типа (' 21 1 г 61 — с)ш -~- ~ 1 — — кэ ) (1 — с)ш + — э(кг — йг)ш = О, о о имеющее решением гипергеометрическую функцию ~1 1 21 . = Г ~' (й, йэ), ~й, й,), й, 1,б] (постоянный множитель не пишем).
При б — э 0 эта функция стремится к 1, т.е. удовлетворяет поставленному условию. Асимптотический вид функции б при б — э — оо (т. е. х — э — оо) есть ) ээ~' )С ( — Я) би ь01' э- Сг( — б) ~э~эьПГ') = = ( — 1) '~ [С~е' '*+ С е ') См, формулу (е,б), в каждом из двух слагаемых которой надо брать лишь первый член разложения, т. е. заменить гипергеометрические функции от 1/з единицей.
ГЛ. П! УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА где Г( — (2ггга)1гг)Г( — (2ггга)кг -'Г 1) Г( — (багга) (й! + йг))Г( — (г!а)(й! + йг) + 1) Г((2г/а)вг)Г( — (2ггга)вг + 1) Г((г,га) (й! — ЬДГ( Яа) (Ь! — Йг) + 1) Искомый коэффициент отражения есть Л = !СгггСг!~! вычисление с помощью известной формулы Г(х)Г(1 — х) =- шп лх приводит к результату; ( в1г((я!аигг! ггг)) ) В= ( Вц(я!га)(й! + Аг)) ) При Е = (уе (1сг = 0) В обращается в единицу, а при Š— ! со стреьгится к нулю по формуле В = ( ) — ехр ( — — ъ'2тЕ) . При предельном переходе к классической механике В обращается, как и следовало,в нуль.
4. Определить коэффициент прохождения 1г(х) частицы через потенциальный барьер, определяемый формулой С(*) = с1г ах Рис. 8 (рис. 8); энергия частицы Е < 77е. Р е ш е н и е. Уравнение Шредингера для этой задачи получается из рассмотренного в задаче 5 З 23 примера изменением знака Пе, причем энергию Е считаем теперь положительной.
Тем же способом получаем решение гв г)г=-(1 — 8 ) 2аЕ( — — в,— +в+1,— +1, ), (1) а гг а 2 где б = ФЬах, А. = — уг2тЕ, в = — — 1+ 1— 1 ) 8т17е '1 гйг )' Это регпение уже удовлетворяет условию, чтобы при х — ! со (т. е. при б — ! 1, (1 — б) Гв 2е г*) волновая функция содержала только прошедшую волну ( е™х). Асимптотический вид волновой функции при х — ! — со (б — г — 1) находится путем преобразования гипергеометрической функции с помощью формулы (е.7) ! ,ь, Г(гйгга)Г(1 — гй!га),в, Г( — гв/а)Г(1 — гй,га) г)г е '* — — — — — — --~-е' '— (2) Г( — в)Г(1-~- в) Г( — вега — в)Г( — ггг/а -~- в -~- Ц 225 коэс ьицивнт пгохождкния Вычислив квадрат модуля отношения коэффициентов в этой функции, получим следующее выражение цчя коэффгщиента прохождения Р = 1 — В: г х~ эй 8тс1о при <1, йг г Ьг з" г х 1 8тПо „г яй эй а 8тПо прн г г >1.
йг г Ьг 7~й,йг к 8тсго 1 Первая из этих формул относится также и к случаю Ус < О, т.е. когда частица проходит не над потенциальным барьером, а над потенциальной ямой. Интересно, что при этом В =- 1, если 1+ (8т~Ус~/6~а ) = (2п+ 1) т.е. прн определенных значениях глубины ямы ~Ус~ проходящие над ней частицы не отражаются. Это видно уже из выражения (2), в котором при целом положительном .г член с е 'ь* вообще отсутствует. 5.
Определить закон обращения в нуль коэффициента прохождения при Š— г О, считая, что потенциальная энергия У(х) быстро убывает на рассто- яниях ~х~ >> а, где а — характерный размер области взаимодействия. Р е ш е н и е. В области расстояний Ь~х~ << 1 можно пренебречь энерги- ей Е в уравнении Шредингера. Если при этом ~х~ >> а, то можно пренебречь и потенциальной энергией,и уравнение сводится к йг аг ) — — =О, 2т Нх~ решение которого мы запишем как 1Ь = аг + Ьгх, х < О, гР = аг + Ьгх, х > О. (1) Решая уравнение на расстояниях ~х~ а, можно найти связь между аы Ьг и аг, Ьг.
Эта связь линейна и имеет вид а, = раг + рЬг, Ьг = иаг + тЬг. (2) Коэффициенты р, р, и, т вещественны и не зависят от энергии, так как энер- гия уже не входит в уравнение ) . Решение (1) должно совпадать с первыми двумя членами разложения функций (25.1), (25.2) по степеням х, откуда аг =1+В, Ьг=гк(1 — В), аз=А, Ьг=гЬА. Подставляя эти выражения в (2) и решая уравнения относительно А, находим прн малых й: А 2гй/и, откуда 4йг  —. Е.
и Таким образом, коэффициент прохождения обращается в нуль пропорционально энергии частицы. В примерах, рассмотренных в задачах 2 и 4, это общее соотношение, разумеется, выполняется. 1 ) В силу постоянства потока они удовлетворяют соотношению рт — ри=1. ГЛАВА 1Ъ' МОМЕНТ ИМНЪ'ЛЬСА й 26. Момент импульса В ~ 15 при выводе закона сохранения импульса мы воспользовались однородностью пространства по отношению к замкнутой системе частиц.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
