III.-Квантовая-механика (1109680), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Соответствующие решения представляют собой так называемые присоединенные полиномы Лежандра Р,'"(сов 0) (см. 3 с математических дополнений). Нормируя решение условием (28.2), получим') Оьа = ( — 1) г~ 'Р~ (совд). (28.5) 2 (1 -Ь гп)! Здесь предполагается, что т > О. Для отрицательных т опре- делим Оьв соотношением (28.6) О, ~ = (-Ц-Ой т.
е. О~ с ш ( 0 дается формулой (28.5), в которой надо написать ~т~ вместо т и опустить множитель ( — 1) ') Выбор фазового множитоля, разумеется, не определяется условием нормировки. Определение, которым мы будем пользоваться в атой книге, наиболее естественно с точки зрения общей теории сложения моментов: оно отличается от обычно применяемого множителем ю' . Преимущества такого ч выбора будут очевидны из примеч. на с. 273, 527, 533. 123 СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ МОМЕНТА з 1/2 1, (В,,р) =( 1)~ +~ ~)72,' 21+'~' ~ ')'~ Р ~(„.В),г™~, ц ~-у~ (28.7) В частности, 1ю = г г~ Р~(сок д). Г22 т 1 (28.8) Очевидно, что функции, отличающиеся знаком т, связаны друг с другом соотношениями ( — Ц' (28.9) При 1 = 0 (так что и т = 0) шаровая функция сводится к постоянной.
Другими словами, волновые функции состояний частицы с равным нулю моментом зависят только от г, т.е. обладают полной шаровой симметрией-- в соответствии со сделанным в 2 27 общим утверждением. При заданном т значения 1, начинаюгциеся с ~т~, нумеруют последовательные собственные значения величины 1 в по- 2 рядке их возрастания. Поэтому на основании общей теоремы о нулях собственных функций Я 21) мы приходим к выводу, что функция Ог обращается в нуль при 1 — ~гп~ различных значениях угла д; другими словами, она имеет в качестве узловых линий 1 — ~т~ «кругов ~пиротгг шара. Что касается полных угловых функций, то, если выбрать их с вещественными множителями совтгр или гйпту вместо етй ~т'), они будут иметь в качестве узловых линий еше ~пг~ «меридианных круговгц общее число узловых линий будет, таким образом, равно 1. Наконец, покажем, каким образом можно вычислить функции Оь„матричным методом.
Это делается аналогично тому, как были вычислены в 2 23 волновые функции осциллятора. Исходим из равенства (27.8) 1«1'и = О. Воспользовавшись выражением (26.15) для оператора 1т и подставляя уп = еп" Оп(д), уг2.г ) Каждая такая функция соответствует состоянию, в котором 2„не имеет определенного значения, а может иметь, с равной вероятностью, значения кггг. Таким образом, собственные функции момента оказываются, с математической точки зрения, определенным образом нормированными сферическими функциями.
Выпишем, для удобства дальнейших ссылок, полное их выражение, учитывающее все указанные определения: 124 МОМЕНТ ИМПУЛЬСА ГЛ. 1У получаем для Оп уравнение ЖЕЗЛ вЂ” 1с18д О„= 0, 4В откуда Ол = сопзФ . з1п д. Определив постоянную из условия нор- мировки,получим Он=( — г) ~ — зш д. / (21 -~- 1)! 1 2 2'1! Далее, используя (27.12), пишем 1 — 11,тт1 — (1 — )т,т-~-111т— (28.10) Повторное применение этой формулы дает 0 т).
у " ~7 — ту и 0 + т)! ЬУ12Т)! Вычисление правой части равенства легко производится с помощью выражения (26.15) для оператора 1, согласно которому 1 'р' (д)е'"'~~) = ей )~зш д (1 з1п™д). ассад я 29. Матричные элементы векторов Рассмотрим снова замкнутую систему частиц'), и пусть 1 есть любая характеризующая ее скалярная физическая величина., а 1' соответствующий этой величине оператор. Всякий ) Все результаты этого параграфа справедливы и дли частицы в центрально-симметричном поле (вообп1е всегда, когда имеет место сохранение полного момента системы). Повторное применение этой формулы дает 1 тен"О = е'т" з)п тд, (з1п~д О ). — и - И,О.В) -- и Наконец, используя зти соотношения и выражение (28.10) для Оп, получим формулу 01 (д) = ( — 4)' ~ ' ')',, ьйп2' д, (28.Щ 2 11 — т)! 2'1! сйп д (асов 0)' совпадающую с (28.5).
125 МАТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРОВ скаляр инвариантен по отношению к повороту системы координат. Поэтому скалярный оператор Х не меняется под влиянием операции поворота, т. е. коммутирует с оператором поворота. Но мы знаем, что оператор бесконечно малого поворота с точностью до постоянного множителя совпадает с оператором момента, так что ~Х, 1.1 = О. Из коммутативности Х с оператором момента следует, что матрица величины Х по отношению к переходам между состояниями с определенными значениями Л и ЛХ диагональна по этим индексам. Более того, поскольку задание числа ЛХ определяет лишь ориентацию системы по отношению к координатным осям, а значение скалярной величины от этой ориентации вообще не зависит, то можно утверждать, что матричные элементы (и'Х М)Я~пХ М) не зависят от значения ЛХ (буквой п условно обозначена совокупность всех остальных, помимо Ь и ЛХ, квантовых чисел, определяющих состояние системы).
Формальное доказательство этого утверждения можно получить, воспользовавшись коммутативностью операторов Х и Х,; ХХ,, — 1.Д= О. (29.2) Напишем матричный элемент этого равенства для перехода п, Ь, ЛХ вЂ” т и', Ь, ЛХ + 1. Учитывая, что матрица величины Хт имеет только элементы с и, Хч М + и, Хч М + 1, находим (и', Хч ЛХ + 1 фп, Хч М + 1) (и, Хч М + 1(Х д ~п, ХО ЛХ) = = (и', Л, ЛХ + 1)Х Д~п', Хч М) (и', Хч ЛХфп, Хч ЛХ), и поскольку матричные элементы Х Р не зависят от индекса п, то (и', Л, ЛХ+ 1)Х~п, ХО ЛХ+ 1) = (и', ХО ЛХ~Х~Н, Ь, ЛХ), (29.3) откуда следует, что вообще все (п', ХО ЛХ~.Яп, Хч М) с различными ЛХ 1и одинаковыми остальными индексами) равны между собой. Если применить этот результат к самому гамильтониану, то мы получим известную уже нам независимость энергии стационарных состояний от ЛХ, т.е. (2Ь + 1)-кратное вырождение энергетических уровней.
Пусть, далее, А--некоторая векторная физическая величина, характеризующая замкнутую систему. При повороте системы координат (в частности, бесконечно малом повороте, т.е. МОМЕНТ ИМПУЛЬСА ГЛ. ~У при воздействии оператора момента) компоненты вектора преобразуются друг через друга. Поэтому и в результате коммутирования операторов Х, с операторами А, должны получиться вновь компоненты того же вектора А,. Какие именно можно найти, замечая, что в частном случае, когда А есть радиус-вектор частицы, должны получиться формулы (26.4). Таким образом, находим правила коммутации: 1'ХОАЬ) =1е гяАЬ (29.4) Эти соотношения позволяют получить ряд результатов относительно формы матриц компонент вектора А (ЛХ. Борн, В. Гейзенберг, П.
Иордан, 1926). Прежде всего оказывается возможным найти привала отбора, определяющие, для каких переходов матричные элементы могут быть отличны от нуля. Мы, однако, не станем приводить здесь соответствующих, довольно громоздких, вычислений, поскольку в дальнейшем выяснится Я 107), что эти правила являк>тся в действительности непосредственным следствием общих трансформационных свойств векторных величин и могут быть получены из них по существу без всяких вычислений. Здесь жс мы приведем эти правила без вывода.
Матричные элементы всех компонент вектора могут быть отличны от нуля только для таких переходов, в которых момент Б меняется не более чем на единицу: Б — >Ых1. (29 6) Кроме того, имеет место дополнительное правило отбора, запрещающее переходы между всякими двумя состояниями с Б = 0; это правило является очевидным следствием полной сферической симметрии состояний с равным нулю моментом. Правила отбора по проекции момента ЛХ различны для разных компонент вектора.
Именно, могут быть отличны от нуля матричные элементы для переходов со следующими изменениями значения ЛХ: ЛХ +ЛХ+1 для А =А +гАю ЛХ вЂ” ~ ЛХ вЂ” 1 для А = А, — гАю (29.6) ЛХ вЂ” э ЛХ для А,. Далее, оказывается возможным определить в общем виде зависимость матричных элементов вектора от числа ЛХ.
Эти важные, часто используемые формулы мы приведем здесь тоже без вывода, поскольку и онн являются в действительности частным случаем более общих (относящихся к любым тензорным величинам) соотношений, которые будут получены в ~ 107. 127 МАТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРОВ Отличные от нуля матричные элементы величины А, опре- деляются следующими формулами: ( 'ьм$ ~,$ ьм)= ( 'АЗ ц~$ ь), Хгь ) (ипХМ~А,~п, Х,— 1, ЛХ)= (и'Х,ЦАЦич Ь вЂ” 1), (29.7) ( ' Х, 1 М~А,~ ХМ) = ~' ( и, Х, — 1ЦАЦпХ). б(2Х, — Ц(27 -Г Ц Здесь символ (и'Х,'ЦА)ЦпХ) (и'Ь'ЦАЦпХ) = (пХ ЦАЦп'Х')*, (29.8) непосредственно следующими из эрмитовости оператора А,.
Через те же приведенные элементы выражаются матричные элементы величин А и Ат. Отличные от нуля матричные элементы А равны (и', Хч ЛХ вЂ” 1)А ~п,Х,М) = <и'Х,ЦАЦиХ,), (и',Хч ЛХ вЂ” 1(А ~из 7 — 1,ЛХ) = (и'Х ЦАЦи, Х вЂ” 1), (29.9) (п', Х,— 1, М вЂ” 1~А ~пХМ) = — (и', Х вЂ” 1ЦАЦпЬ). ь12б — Ц(2Ь+Ц Матричные элементы Аь не требуют особых формул, поскольку в силу вещественности Ае и Ав имеем (ппХ,'М'~А ДпХМ) = (пХЛХ~А ~п'Х,'М')*. ) Появление в формулах (29.7), (29.9) зависящих от Ь знаменателей соответствует общим обозначениям, введенным в Ц 107.
Целесообразность этих знаменателей проявляется, в частности, в простом виде, который принимает формула (29.12) для матричных элементов скалярного произведения двух векторов. Символ приведенного матричного элеъ1ента надо понимать как единое целое (в отличие от того, что было сказано в связи с символом матричного элемента (11.17)). обозначает так называемые приведенные матричные,элемен- тьч --величины, не зависящие от квантового числа ЛХ') . Они связаны друг с другом соотношениями 128 ГЛ. 1У МОМЕНТ ИМПУЛЬСА Отметим формулу, выражающую матричные элементы скаляра АВ чсрсз приведенные матричные элементы двух векторных величин А и В. Вычисление удобно производить, представив оператор АВ в виде АВ =-(А,.В.
+А В,)+А,В,. (29.11) 2 Матрица величины АВ (как и всякого скаляра) диагональна по 7 и ЛХ. Вычисление с помощью (29.7) — (29.9) приводит к результату: (п'1М~АВ~п7М) = ~~~ (п'А ЦАЦплг" л)(плг ЛЦВЦп7), (29.12) где 7л пробегает значения Ы ~ 1. Выпишем, для справок, приведенные матричные элементы для самого вектора 1. Из сравнения формул (29.9) и (27.12) находим (ЦЦР) = (7 — 1ЦЦ7,) = (ЦЦ.б — 1) = О. (29.13) Часто встречающейся в применениях величиной является единичный вектор и в направлении радиуса-вектора частицы; найдем его приведенные матричные элементы. Для этого достаточно вычислить, например, матричные элементы от п, = сов д при равной нулю проекции момента; т = О.
Имеем (1 — 1,0~п,~10) = О~ 10созд Ощз1пддд о с функциями Оус из (28.11). Вычисление интеграла приводит к результату ') О Е-''Ь ~в~ —,-'з-тгя —,С Матричные же элементы для переходов 1 — 1 1 равны нулю (как и для всякого полярного вектора, относящегося к отдельной частице — см. ниже (30.8)). Сравнение с (29.7) дает теперь (1 — 1ЦпЦ1) = — (1ЦпЦ1 — 1) = гуг1, (1ЦпЦ1) = О. (29.14) ') Вычисление осуществляется Π— И-кратным интегрированием по частям но Нсокд. Обнгую формулу для интегралов такого вида — см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
