III.-Квантовая-механика (1109680), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Следовательно, должны быть и два состояния ф с этим значением ЛХ; одно ) И ряд других величин, которые вместе с четырьмя указанными образуют полную систему. Эти остальные величины не играют роли в дальнейших рассуждениях, и для краткости выражений мы о них не говорим вовсе, называя условно полной систему четырех указанных величин. М = М1 + М2 ° (31. Ц Для операторов же квадратов моментов такого простого соотноп1ения нет и для вывода их «закона сложения» рассуждаем следуюп1им образом.
Если выбрать в качестве полной системы физических величин величины Ь12, 122, Ь1„Ь2,'), то каждое состояние будет определяться значениями чисел Ь1, Ь2, ЛХ1, ЛХ2. При заданных Ь1 и Ь2 числа М1, ЛХ2 пробегают соответственно по (2Ь1+ Ц и (2Ь2 + Ц значений, так что всего имеется (2Ь1 + Ц(2Ь2 + Ц различных состояний с одинаковыми Ь1, Ь2. Волновые функции состояний в этом описании обозначим как со~,,ьзйй зле. Вместо четырех указанных величин в качестве полной систегиы гиожно выбрать четыре величины Ь1, 12, Ь, Ь,.
Тог- 2 2 2 да каждое состояние будет характеризоваться значениями чисел Ь1, Ь2, Ь, М (соответствующие волновыс функции обозначим как гЛь,ь,ьм). При заданных Ь1 и 12 должно быть, разумеется, по-прежнему (2Ь1+ Ц(2Ь2+ Ц различных состояний, т.
е. при заданных Ь1, Ь2 пара чисел Ь, ЛХ может пробегать (2Ь1+Ц(2Ь2+Ц пар значений. Эти значения можно определить следующими рассуждениями. Складывая друг с другом различные допустимые значения ЛХ1 и ЛХ2, получим соответствующие значения ЛХ: МОМЕНТ ИМПУЛЬСА ГЛ. Г" из них есть состояние с Ь = Ь1 + Ь2 (и ЛХ = Ь вЂ” 1), а другое— с Ь = Ь1+ Ь2 — 1 (причем ЛХ = Ь). Для значения ЛХ = Хч + Ь2 — 2 есть три различных состояния,р. Это значит, что наряду со значениями Ь = Ь1+ Ь2, Ь = Ь1+ Ь2 — 1 возможно также и значение 1.
= Хч + Ь2 — 2. Эти рассуждения можно продолжать в таком же виде, пока при уменьшении ЛХ на 1 увеличивается на 1 число состояний с заданным значением ЛХ. Легко сообразить, что это будет иметь место до тех пор, пока М не достигнет значения Д вЂ” Ь2~. При дальнейшем уменьшении ЛХ число состояний перестанет возрастать, оставаясь равным 2Ь2 + 1 (если Ь2 < Хч). Это значит, что ~Ь1 — 1.2~ есть наименьшее возможное значение Ь, Таким образом, мы приходим к результату, что при заданных Ь1 и 1.2 число Ь может пробегать значения Ь = Ь1 + Ь2, Ь1 + Ь.
— 1,..., ~Ь1 — Ь2~, (31.2) всего 2Ь2 + 1 (считая, что Ь2 < Ь1) различных значений. Легко проверить, что получается действительно (2ХО + 1) х х(2Ь2+1) различных значений пары чисел ЛХ, Ь. При этом существенно отметить, что (если отвлечься от 2Ь+ 1 различных значений М при заданном 1 ) каждому из возможных значений Ь (31.2) соответствует всего по одному состоянию. Этот результат можно наглядно изобразить с помощью так называемой векторной модели.
Если ввести два вектора Ьм Ь2 с длинами Ь1 и Ь2, то значения Ь изобразятся как целочисленные длины векторов Ь, получающихся в результате векторного сложения Ь1 и Ь2, наиболыпее (Ь1+ Ь2) значение Ь получается при параллельных, а наименьшее (~Ь1 — Ь2~) --. при антипараллельных Ь1 и Ь2, В состояниях с определенными значениями моментов Ьм ь2 и полного момента Ь имеют определенные значения также и скалярные произведения Ь11 2, 1 Ьм 1Д 2. Легко найти эти значения.
Для вычисления Ь2Ь2 пишем 1 = Ь2 + Ь2 или, возводя в квадрат и перенося члены, 2 2 2 2Ь Ь =Ь вЂ” Ь,— Ь. Заменяя операторы в правой части равенства их собственными значениями, получим собственное значение оператора в левой части равенства Ь,Ь2 = -'),Ь(Ь + 1) — Ь,(Ь, + 1) — Ь2(Ь2 + 1)). (31.3) 2 Аналогичным образом найдем ЬЬ1 = СЦЬ+ 1) Г Ь~(Ь1+ 1) Ь2(Ь2+ 1Н (31 4) 2 слОжение мОментОВ 135 Выясним теперь правило слоэнжния четностей.
Волновая функция Ф системы, состоящей из двух независимых частей, представляет собой произведение волновых функций Ф1 и Фз этих частей. Ясно поэтому, что если обе последние обладают одинаковой четностью (т. е. обе меняют или обе не меняют свой знак при изменении знака всех координат), то волновая функция всей системы будет четной. Напротив, если Ф1 и Фз обладают различной четностью, то функция Ф будет нечетной.
Эти утверждения можно выразить равенством Р = Р1РЕ, (31.5) где Р четность системы в целом, а Ры Ре четности ее частей. Это правило, разумеется, непосредственно обобщается на случай системы, состоящей из произвольного числа невзаимодействующих частей. В частности, если речь идет о системе частиц, находящихся в центрально-симметричном поле (причем взаимодействие частиц друг с другом можно считать слабым), то четность состояния системы в целом Р ( )йт~,т, (31. 6) (см. (30.7)). Подчеркнем, что здесь в показателе стоит алгебраическая сумма моментов частиц, вообще говоря, отличная от их «векторной суммы» т. е.
момента 7 системы. Если замкнутая система распадается на части (под влиянием действующих в ней самой сил), то ее полные момент и четность должны сохраняться. Это обстоятельство может сделать невозможным распад системы, даже если он возможен в энергетическом отношении.
Рассмотрим, например, атом, находящийся в четном состоянии с моментом 7 = О, причем энергетически он мог бы распасться на свободный электрон и ион в нечетном состоянии с тем же моментом 7 = О. Легко видеть, что фактически такой распад не может произойти (будет, как говорят, запрещен). Действительно, в силу закона сохранения момента свободный электрон должен был бы тоже обладать равным нулю моментом и потому находиться в четном состоянии (Р = ( — 1) = +1), но в этом случае состояние системы ион+свободный электрон было бы нечетным, между тем как первоначальное состояние атома было четным. ГЛАВА Ъ' ДВИЖЕНИЕ В ЦЕНТРАЛЬНО-СИММЕТРИттНОМ ПОЛЕ я 32. Движение в центрально-симметричном поле Задача о движении двух взаимодействующих друг с другом частиц в квантовой механике может быть сведена к задаче об одной частице, аналогично тому, как зто может быть сделано в классической механике.
Гамильтониан двух частиц (с массами т1, т2), взаимодействующих по закону У(г) (г — — расстояние между частицами), имеет вид 6~ лг Н = — ~-'~1 — 1-'~2 + о'1~ ), 2ти, 2тпг (32.1) где сг1, сг2--. операторы Лапласа по координатам частиц. Вве- дем вместо радиусов-векторов частиц г2 и г1 новые переменные Киг; г=г2 — г1 К= (32.2) тгг~ -т тттг г вектор взаимного расстояния, а К вЂ” радиус-вектор центра инерпии частиц. Простое вычисление приводит к результату; 6г 6' Н=— Ан — — 2У + тт'(г) 2(тт Е тпг) 2тп (32.3) ьгут+ —,[Š— Г1(г))ут = О. (32.4) (сгн и тз операторы Лапласа соответственно по компонентам векторов К.
и г; тт + т2 полная масса системы; т = ттт1т2/(т1 + тз) приведенная масса). Таким образом, гамильтониан распадается на сумму двух независимых частей. Соответственно атому, можно искать ф(г1,г2) в виде произведения у(К)ф(г), где функция у(К) описывает движение центра инерции (как свободное движение частицы с массой т1+ т2), а ф(г) описывает относительное движение частиц (как движение частицы массы т в центрально-симметричном поле 11 = Н(г)).
Уравнение Шредингора для движения частицы в центрально-симметричном поле имеет вид 137 232 ДВИ'КЕНИЕ В ЦЕНТРАЛЬНО-СИММЕТРИЧНОМ ПОЛЕ Воспользовавшись известным выражением для оператора Ла- пласа в сферических координатах, напишем это уравнение в виде + —, [ — (ьйп Π— ) +,, ] + —, ~Š— 11 (т)) гг = О. (32.5) Если ввести сюда оператор (26.16) квадрата момента, то мы по- лучим ') 2 ( )+ зт) + ОФ т' ( ' ) При движении в центрально-симметричном поле момент импульса сохраняется. Будем рассматривать стационарные состояния с определенныкги значениями момента 1 и его проекций т.
Заданием значений 1 и т определяется угловая зависимость волновых функций. Соответственно этому, ищем репгения уравнения (32.6) в виде ф = Л(т)У~ (д,~р), (32.7) где У)„,(0, ~р) сферические функции. Поскольку 1 У~ 2 1(1+ 1)У), то для «радиальной функцииа Л(т) получаем уравнение —,— '')т — ) — Л+ —., [Š— Пт))Л = О. (32.8) 1 д / 2ПЛг 111+1) 2т дт Нт й2 Это уравнение не содержит вовсе значения 1, = т, что соответствует известному уже нам (21+ 1)-кратному вырождению уровней по направлениям момента. Займемся исследованием радиальной части волновых функций.
Подстановкой х)т) т (32.9) 1 ) Если ввести оператор радиальной компоненты импульса р„в виде 1д . /д 11 р ф = — 16 — — (тф) = —.И ) — .~- — ) уу, т дт Удт т) то гамильтониан запишется в виде совпадающегя по форме с классической фу нкцией Гамильтона в сферических координатах. 138 ДВИ2КЕНИЕ В ЦЕНТРАЛЬНО-СИММЕТРИ ТНОМ ПОЛЕ ГЛ уравнение (32.8) приводится к виду 2 + ~ —,(Š— У) — ., ]1~ = О. (32.10) Если потенциальная энергия 0"(т) везде конечна, то должна быть конечной во всем пространстве, включая начало координат, также и волновая функция ф, а следовательно, и ее радиальная часть ЛЯ. Отсюда следует, что Х(т) должна обращаться при т = 0 в нуль: П~(т) = о'(т) +— лг 20 2т т (32.12) равной сумме энергии 12'(т) и члена 22~0 + 1) 52~2 2тлт~ 2тт~ который можно назвать центробежной энергией.
Таким образом, зада та о движении в центрально-симметричном поле сводится к задаче об одномерном движении в области, ограниченной с одной стороны (граничное условие при т = О). «Одномерный характера имеет также и условие нормировки для функций;~, определяющееся интегралом ~Д~зтз лт = ~ ~з Г1т. о о При одномерном движении в ограниченной с одной стороны области уровни энергии не вырождены Я 21). Поэтому можно сказать, что заданием значения энергии решение уравнения (32.10), т. е. радиальная часть волновой функции, определяется полностью. Имея также в виду, что угловая часть волновой функции полностью определяется значениями 1 и т, мы приходим к выводу, что при движении в центрально-симметричном поле волновая функция полностью определяется значениями Е, 1, т. Другими словами, энергия, квадрат момента и его проекция составляют вместе полный набор физических величин для такого движения.
1~(0) = 0. (32.11) В действительности это условие сохраняется (см. ~35) также и для поля, обращающегося при т — ~ 0 в бесконечность. Уравнение (32.10) по форме совпадает с уравнением Шредингера для одномерного движения в поле с потенциальной энергией 139 232 ДВИ>КЕНИЕ В ЦЕНТРАЛЬНО-СИММЕТРИЧНОМ ПОЛЕ Сведение задачи о движении в центрально-симметричном поле к одномерному позволяет применить осцилляционную теорему Я 21). Расположим собственные значения энергии (дискретного спектра) при заданном 1 в порядке возрастания, перенумеровав их порядковыми номерами и„, причем наиболее низкому уровню приписывается номер п„= О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
