III.-Квантовая-механика (1109680), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Тогда п„определяет число узлов радиальной части волновой функции при конечных значениях г (не считая точки г = 0). Число п„называют радиальным квантовым числом. Число 1 при движении в центрально-симметричном поле иногда называют авимутальным квантовым, числом, а т - магнитным квантовым числом. Для обозначения состояний с различными значениями момента 1 частицы существует общепринятая символика; состояния обозначаются буквами латинского алфавита со следующим соответствием: 0 1 2 3 4 5 6 7 (32. 13) в р а У я 6 1 к. Нормальным состоянием при движении частицы в центрально-симметричном поле всегда является г-состояние; действительно, при 1 ф 0 угловая часть волновой функции во всяком случае имеет узлы, между тем как волновая функция нормального состояния не должна иметь узлов вовсе. Можно также утверждать, что наименьшее возможное при заданном 1 собственное значение энергии растет с увеличением 1.
Это следует уже из того, что наличие момента связано с добавлением в гамильтониане существенно положительного члена 62Ц1 + 1)/(2тг2), растущего с увеличением 1. Определим вид радиальной функции вблизи начала координат. При этом будем считать,что 1пп О' Ягг = О. (32.14) Р— >О Ищеги Л(г) в виде степенного ряда по г, оставляя при малых г только первый член разложения; другими словами, ищем Л(г) в виде Л = сонэк г'.
Подставляя это в уравнение — (г~ — ) — У(Е + 1)Л = О, Йт Й получающееся из (32.8) умножением последнего на г2 и переходом к г — > О, найдем г(в+1) = Р(1+1). Отсюда в = 1 или в = — (1+ 1). 140 движение В центРАльнО-симметРи лнОм пОле ГЛ порпиональны Г .
тлл — сонэк.г . (32.15) Вероятность частице находиться на расстоянии от центра между т и г + дг определяется величиной Г ~В ~ и поэтому пропорциональна г~йтЦ. 1л4ы видим, что она тем быстрее обращается в нуль в начале координат, чем больше значение!. 3 33. Сферические волны Плоская волна ~р — — сопв1 ехр~ — рг) ~6 описывает стационарное состояние, в котором свободная ча- стица обладает определенным импульсом р (и энергией Е = р~,12пл). Рассмотрим теперь такие стационарные состояния свободной частицы, в которых она обладает, наряду с энергией, определенными величиной и проекцией момента.
Вместо энергии нам будет удобно ввести волновой вектор р ъ/2тЕ гл гл (33.1) Волновая функция состояния с моментом 1 и его проекцией т имеет вид фы = Льл(г)У~ (лл, у), (33.2) где радиальная функция определяется уравнением (33.3) (уравнение (32.8) без У(г)). Волновые функции ~ит, относя- щиеся к непрерывному (по Й) спектру, удовлетворяют условиям нормировки и взаимной ортогональности; л' е' — е 'л л)л~л 4ит Г1Р" = Анб 'б( ) ° Взаимная ортогонвльность при различных 1, 1' и т, т' обеспечивается угловыми функциями.
Радиальные же функции должны Решение с з = — (1+ 1) не удовлетворяет необходимым условиям; оно обращается в бесконечность при г = 0 (напомним, что 1 > 0). Таким образом, остается решение с з = 1, т.е. вблизи начала координат волновые функции состояний с данным 1 про- СФЕРИ 1ЕСКИЕ ВОЛНЫ б ыть нормированы условием 2 твйн1Ямт(т = Б( ) = 2-тд()с' — )«). (33.4) о Если нормировать волновые функции не «по шкале )«/2я», а «по шкале энергии», т.
е. условием т Кн1КЕ1 ггт = 5(Е' — Е), о то, согласно общей формуле (5.) 4), / 1 Щ 172 1 Г 77и = ~7н~ — — ) = -~/ 1ты. (33.5) 2Е ПЕ 6 )/ 2ЕЕ При 1 = О уравнение (33.3) можно написать в виде 11г — г(гньа) + й тала = О' его решение, конечное при т = О и нормированное условием (33.4) (ср. (21.9)), есть 2 8!п Ит ьо = (33.5) Для решения уравнения (33.3) с 1 ф О делаем подстановку: Л ЛХ„ (33.7) Для Хм будем иметь уравнение л 2(1» Ц, 2 Хм+ Хь1+~ Хы =О т Если продифференцировать это уравнение по т, то получим Рл 2(1-'т 1) и ( 2 2(1-т 1)1 Ъс! + Хм+ ~й г ~ХЫ т т Подстановкой Х~ы — — тХ» 1.11 оно приводится к виду л 2(1 + 2) 1 Хь,1»1 + Хц1-»1 + е Хц1-»1 = О т действительно совпадающему с тем, которому должна удовлетворять функция Хь1Ф1 Таким образом, последовательные функции Хм связаны друг с другом соотношением 1 1 Х«,1 е! Х1ь (33.8) 142 ДВИ1КЕНИЕ В ЦЕНТРАЛЬНО-СИММЕТРИ 1НОМ ПОЛЕ ГЛ а потому 1'1 11 1~ Хм = (- — ) Хье, 1.
11Г 1)1 2Г ( 11 ) а1п1сг (33.9) (множитель Й введен для нормировки — см, ниже; множитель ( — 1)'-- из соображений удобства). Функции (33.9) могут быть выражены через функции Бесселя полуцелого порядка: Лм~ = ~ Л~ 1~2ЯГ) = 2КЯЯТ)' 1' 2тй (33.10) вводимые в этой связи функции 21 (х) п1-~1/2 (х) (33.11) называют сферическими функциями Бесселя' ) . Для получения асимптотичсского выражения радиальной функции (33.9) на больших расстояниях замечаем, что член, наименее быстро убывающий с г при г — > ОО, получается при 1-кратном дифференцировании синуса. Поскольку каждое дифференцирование, — 1111Г1Г1 синуса прибавляет член — л/2 в его аргументе, то получаем следующее асимптотическое выражение: 2 . 1' я11 ЛЬ1 — — 31п(йг — — ). Г 2 (33.12) Нормировку функций Лм можно производить по их асимптотическим выражениям, как это было объяснено в 3 21.
Сравнив асимптотическую формулу (33.12) с нормированной функцией Вьо (33.6), видим, что функции 1ты с выбраиньпл в (33.9) коэффициентом действительно нормированы должным образом. ) Первые несколько функций 111 а1п х уе = х а1пх сов х 11 х' х Г 3 11 . Зсовх 11 .= ( — е — — ) в1пх— х х х' В литературе встречается также определение функций 11, отличающееся от (33.1П множителем х.
где сьо = 114е определяется формулой (33.6) (это выражение может быть, разумеется, умножено еще на произвольную постоянную). Таким образом, окончательно находим следуюп1ее выражение для радиальных функций свободного движения частицы; 143 ~зз СФЕРИ 1ЕСКИЕ ВОЛНЫ Вблизи начала координат (малые г) находим, разложив вйп Ит в ряд и сохранив только член, дающий после диффереицироваиий наиболее низкую степень г'): 2к'т' Вм- г (21+ Ц!! (33.13) в согласии с общим результатом 132.15). В некоторых задачах (в теории рассеяния) приходится рассматривать волновые функции, ие удовлетворяющие обычным условиям конечности, а соответствующие потоку частиц, вылетающих из центра или, напротив, падающих иа него. Волновая функция, описывающая такой поток частиц с моментом 1 = О, получится, если взять вместо стоячей сферической волны (33.6) решение в виде расходящейся 1В ) или сходящейся (г1 е) сферической волны: ДЗ: 1вг (33.14) В общем случае для отличного от нуля момента 1 получим решение уравнения (33.3) в виде (33.
15) Эти функции могут быть выражены через функции 1"аикеля (33.16) (первого и второго рода соответственно для знаков + и -). Асимптотическое выражение функции (33.15) В„, — — ехр ~~1(йг — — ) ~ . Вблизи же начала координат оиа имеет вид (33.17) (21 — Ц!! "й=" 1с (33.18) 1 ) Знак !1Означает произведение всех чисел одинаковой четности до данного включительно. 1 И '1~ е1п'кг у1 11 '1~ 1 'Осг) НЫ ( — Ц'й '+' ( )' =( )-' г Ж г ~1. 11г г(21+ Ц! (21 Е Ц!! Таким образом, вблизи начала координат функции ттм имеют вид 144 движение В центРмльнО-ОимметРичнОм пОле Гл г Нормируем эти функции так, чтобы они соответствовали испусканию (или поглощению) в единицу времени одной частицы.
Для этого заметим, что на болыпих расстояниях сферическая волна в каждом небольшом участке может рассматриваться как плоская и плотность потока в ней равна у = Напр*, где и = 1сй/гп скорость частиц. Нормировка определяется условием у у' с1г' = 1, где интегрирование производится по сферической поверхности большого радиуса г, т. е. ) у'г2 с1о = 1, где до элемент телесного угла. Оставляя нормировку угловых функций прежней, мы должны, следовательно, положить коэффициент А в радиальной функции равным А= — = Г. (33.19) АУР У' е6 Асимптотическое выражение, аналогичное (33.12), имеет место не только для радиальной части волновой функции свободного движения, но и при движении (с положительной энергией) в любом поле, достаточно быстро убывающем с расстоянием') . На больших расстояниях можно пренебречь в уравнении Шредингера как полем, так и центробежной энергией, и остается приближенное уравнение — 1с~Л.
= О. — +' и= г 4г Общее решение этого уравнения 2 в1щя — Ьг/2+ б~) (33. 20) где б — постоянная (фазоввгй сдвиг), а общий множитель выбран в соответствии с нормировкой волновой функции впо шкале й,12л ') . Постоянная фаза Б~ определяется граничным условием (конечность Лм при г + О), при котором должно решаться точное уравнение Шредингера, и не может быть вычислена в общем виде. Фазы д~ являются, разумеется, функциями как от 1, так и от й и представляют собой сугцественную характеристику собственных функций непрерывного спектра. Задачи 1. Определить уровни энергии для движения частицы с молтентогн 1 = О в сферической прямоугольной потенциальной яме: 11Я = — бге при г ( а, ГУЯ =- О при г > а.
') Как будет показано в З 124, поле должно убывать быстрее, чем 1/г. в) т1лен — И/2 в аргументе синуса прибавлен для того, чтобы в отсутствие поля 6~ = О. Поскольку обгций знак волновой функции несуществен, фазы б1 определены с точностью до гп (а не 2кп); поэтому их значения всегда могут быть приведены к интервалу между О и к. 145 333 СФЕРИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ Р е ш е н и е.
При 1 = 0 волновые функции зависят только от г. Внутри ямы уравнение Шредингера имеет вид — — 1г22) 4- 6 2Г =- О, 1 Д 2 г г1г~ Решение, конечное при г = О, ~4 = А(з1п Иг)(г. При г > а имеем уравнение 1 6 2 1 — — 1ггр) — Рг 26 = О, хг = — ~2п~~Е~. г 3г 6 Решение, обращающееся в нуль на бесконечности, 2Г = А'е "")г. Условие непрерывности логарифмической производной от г2Г при г=а дает Йсгййа = — Рг = —,/2чпБ~~62 — й~, (1) или .'у.— ~ З7~и (2) Этим уравнением определяются, неявным образом, искомые уровни энергии (должны быть взяты те корни уравнения, для которых с18 6а < О, как это следует из (1)).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
