III.-Квантовая-механика (1109680), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Наличие новой сохраняющейся величины, не измеримой одновременно с другими сохраняющимися величинами, приводит (3 10) к дополнительному вырождению уровней, —. это и есть специфическое для кулонова поля «случайное» вырождение дискретных уровней энергии.
Происхождение этого вырождения можно сформулировать также и в терминах той повышенной симметрии (1ю сравнению с симметрией по отношению к пространственным вращениям), которой обладает кулонова задача в квантовой механике (В. А. «Рок., 1935). Для этого замечаем, что для состояний дискретного спектра с фиксированной отрицательной энергией можно заменить Й в правой части последнего соотношения (36.31) на Е и ввести вместо А; операторы й; = А;(Вà — 2Е. Для них правила коммутации 136 кулоново пОле 1ОФеРН'гесгкие кООРдинАты) принимают вид (1„йй~ = йеггй1й1г (й11, йь) = зе1Ы11. (36.32) Вместе с правилом (11,1ь) = зегй111 эти соотношения формально совпадают с правилами коммутации операторов бесконечно малых поворотов в четырехмерном евклидовом пространстве ') .
Это и есть симметрия кулоновой задачи в квантовой механике ') . Из соотношений коммутации (36.32) можно снова получить выражение для уровней энергии в кулоновом поле ') . Перепишем их, введя вместо 1 и й операторы ,11 = — (1+ й), .12 = — (1 — й). (36.33) 2 2 Для них имеем (31гг31ь)1= 1егмЗнг 02гг.72Е1 =зеггй021г ()нгз2ь1 = О. (36.34) Эти правила формально совпадают с правилами коммутации двух независимых векторов трехмерного момента импульса. Поэтому собственные значения каждого из квадратов Я и Я равны 31О1+ 1) и 42Ц2+ 1), где 41гуй = О 112,1 3142 4) С другой стороны, по определению оператс>ров й и 1 = (гр], находим после простого вычисления: 1й = й1 = О, 2 2 1 1+и = — 1 —— 2Е (при вычислении суммы 1 + й2 снова заменено Й на Е). Отсюда 31 — 32 —,(1+, ) — (у+ц 1 (где 3' = 11 = 12) и затем Е = — — (21+ 1)2.
Обозначив 2 (36.35) а=1,2,3,..., 23+1= п, 1 ) Нри этом 1, 1гг 1, играют роль операторов бесконечно малых поворотов в плоскостях у-, ее, ту четырехмерной декартовой системы координат х, у, л, и, а бг, иэ, й, — роль операторов бесконечно малых поворотов в плоскостях еи, уи, еи. г) В явном виде эта симметрия проявляется в волновых функциях в импульсном представлении: см. В. А. гуокгг,гИзв.
АН СССР: серия физ., 1935. № 2. С. 169; Из. б Р1гузгк. 1935, г'. 98, 145. ) Этот вывод в основном совпадает с выводом Паули (1926). ) Здесь мы несколько забегаем вперед и используем свойства момента, о которых будет идти речь в 154 (возможность существования целых и полу- целых значений 1). 164 движение В центРА,льнО-ОимметРи .1нОм пОле Гл ч 1 приходим к требуемому результату Е = — —, Кратность вы2п рождения уровней равна, как и следовало; (221+ 1)(222 + 1) = = (22+ 1)2 = п2.
Наконец, поскольку 1 = 11+12, то при заданном 11 = у2 = (п — 1),/2 орбитальный момент 1 пробегает значения от 0 до 22 = п — 1 ') . Задачи 1. Определить распределение вероятностей различных значений импульса в основном состоянии атома водорода. Р е ш е н и е ). Волновая функция основного состояния 1 15 = Лло1оо = — е л/х Волновая функция этого же состояния в р-представлении получается отсюда как интеграл а(р) = / 4(г)е 'Р"1лг (см. 115.10)). Интеграл вычисляется путем перехода к сферическим координатам с полярной осью вдоль р; в результате получаелг 8«/и а(р) = а плотность вероятности в р-пространстве есть ~а(р)~~/(2х)~. 2. Определить средний потенциал поля, создаваемого ядром и электроном в основном состоянии атома водорода. 1 «Случайноеь вырождение уровней с различными значениями момента 1 имеет место также и для движения в центрэльно-симметричном поле бл = то1~г~/2 (пространственный осциллятор, см.
задачу 4 ЗЗЗ). Это вырождение тоже связано с дополнительной симметрией гамильтониана. В данном случае эта симметрия возникает в результате того, что в Й = = р~/2т + та1~г~/2 как операторы р„так и координаты х, входят в виде суммы квадратов. Введя вместо них операторы плох, Е гл, т то1х, — «Р, л/2тйол ч' 2тй1л получим Й = йы [а а + -] . Это выражение инвариантно по отношению к любым унитарным преобразованиям операторов ат и ам составляющим совокупность (группу) более широкую, чем группа трехмерных вращений (по отношению к которой инвариантен гамильтониан частицы во всяком центрально-симметричном поле). Отметим также, что специфике кулонова и осцилляторного полей в квантовой механике (наличие случайного вырождения) отвечает в классической механике специфика, состоящая в существовании в этих 1и только в этих) полях замкнутых траекторий частиц.
) В задачах 1 и 2 пользуемся атомными единицами. кулОИОВО пОле (ОФИРичесгкие кООРдинАты) 165 236 р= — ~И': 1 «1 — 2, — — (т1с,) = 4е т 6т Интегрируя это уравнение, выбирая постоянные так, чтобы д,(О) было ко- нечным, а 22«(оо) = О и прибавляя потенциал поля ядра, получим 22 = 1(т -~- 22«(т) = Ят -~- Це Шт) При т « 1 имеем 22 1/т (поле ядра), а при т » 1 потенциал 22 е " (экранирование ядра электроном), 3.Определить уровни энергии частицы, движу------ т щейся в центрально-симметричном поле с потенциаль- ной энергией П = А)т — В)т (рис. 1Ц.
Р е ш с н и е. Спектр положительных энергий не- прерывен, а отрицательных — дискретен; рассматрива- ем последний. Уравнение Шредингера для радиальной функции: 4~В 24В 2т /, 62 1 А В1 + — — + — ~ Š— — 1(1 + Ц вЂ” — — -т — ) В = О, % дтг т «1т 62 ~, 2т тг тг т,) Вводим новую переменную Рис. 11 и обозначения; 2тА + 1(1+ Ц = з(з+ Ц, (3) Тогда уравнение (Ц приобретает вид 2, / 1 и з(зФЦТ В + — В-~ — — -> — — — — г — В=О, г ) формально совпадающий с (36.4).
Поэтому сразу делаем вывод, что удовле- творяющее необходимым условиям решение есть В = р'е Р~ г ( — п+ з+ 1,2з+ 2, р), причем и — з — 1 = р должно быть целым положительным числом (или ну- лем), а под э недо понимать положительный корень уравнения (2). Согласно определению (3) получаем, следовательно, уровни энергии 2 4. 'Хо же при П = — -~- Вт (рис. 12). А 2 Р е ш е н и е. Имеется только дискретный спектр. Уравнение Шредингера будет следующим: — 2пг ~Š— 6 111 т Ц А — В 2) 4т 6г 1 2штг тг В™ О Р о ш е н и е.
Средний потенциал 1г„создаваемый «электронным облаком» в произвольной точке г, проще всего определяется как сферически-симметричное решение уравнения Пуассона с плотностью заряда 166 движение В центРАльно-ОимметРН знОм пОле ГЛ Ч Вводя переменную и обозначения 111-~- 1) -~- з = 2в(2в -~- Ц, 2тА 2тŠ— — = 4(ич в)-РЗ, В б получаем уравнение СЛ -à — В -~ Гз-В+— 3, ~ 3 8 в(в-~-1/2)1 ] Л=-О. 2 ~ 4 4 Искомое решение ведет себя при ( — г оо асимптотически, как е Ыз, а при малых С пропорционально С', где под в надо понимать положительное значение Поэтому ищем решение в виде В=-е Ы(ш и получаем для ы уравнение 8ш -~ (2в -Р 3/2 — 8)гс'+ тв = О, откуда Рис. 12 ш =- Е( — и,2в-Ь 3/2,8), причем и должно быть целым неотрицательным числом. Для уровней энергии получаем, следовательно, бесконечное множество равноотстоящих значений Ев = б — 4и 4- 2 -~- (21+ 1)з +, и = О, 1, 2, Гв ~ 8тА 1 ')) 2ги ~ 3 37.
Движение в кулоновом поле (параболические координатьг) Разделение переменных в уравнении Шредингера, написанном в сферических координатах, всегда возможно для движения в любом центрально-симметричном поле. В случае кулонова поля разделение переменных оказывается возможным также и в так называемых параболических координатах. Решение задачи о движении в кулоновом поле в параболических координатах полезно при исследовании ряда задач, в которых определенное направление в пространстве является выделенным, например, благодаря наличию внешнего (помимо кулонова) электрического поля Я 77).
~З7 КУЛОНОВО ПОЛЕ (ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ) 167 ~р определяются форму- или обратно: ~ = г + е, и = т — е, ~р = агс18 — ; У Т, (37.2) ( и и пробегают значения от О до со, ~р —.- от О до 2я. Поверхности ( = сопе1 и ц = сопеФ представляют собой параболоиды врап1ения с осью вдоль оси е и фокусом в начале координат. Эта система координат ортогональна. Элемент длины определяется выражением Ц2 С'~ Ч ~~2+С+Л~ 2+~ ~ 2 44 4л (37.3) а элемент объема: (37.4) Из (37.3) следует для оператора Лапласа выражение Уравнение Шредингера для частицы в кулоновом поле притяжения 1 2 Г= — -=— 4тп приобретает вид (37.6) ф = 71 ® ЯТ1) е' (37.7) где т магнитное квантовое число. Подставляя это выражение в уравнение (37.6), умноженное на (~+т1)/4, и разделяя переменные с и и, получим для 11 и 72 уравнения (37.8) Параболические координаты ~, т1, лами х = Яцсов~р, у = Д~В1п~р, Ищем собственные функции ф в виде е = -(~ — и), 1 (37.1) 168 дВигкение В центРАльнО-ОимметРН .1нОм пОле ГЛ где «параметры разделения» 111, р2 связаны друг с другом соотношением »11 + тг2 = 1.
(37.9) Рассмотрим дискретный спектр энергии (Е ( 0). Вводим вместо Е, ~, т1 величины п =, р! =(ъ~ — 2Е = —, р2 = д, (37.10) после чего получаем уравнение для 711 11~й 1 ттй Г 1 1 т'~тл~-Г1 ! т 1 1++1+ + п1~ )— —,1Л = О (37 и) 11рт рг 14рт ~ 4 рт ~, 2 4р'1 ~ и такое же уравнение для 72, причем мы ввели также обозначе- ния и! = — + ПД, п2 = — + п~2. (37.12) ти)Е1 )ти!41 2 2 Подобно тому как было сделано для уравнения (36.4), находим, что 11 ведет себя при болыпих р1, как е Р", а при малых — 1,12 р1 как р1 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
