III.-Квантовая-механика (1109680), страница 32
Текст из файла (страница 32)
178 ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ Гл. У! Пока что будем подразумевать под у)„, у)„,,... некоторые (о) ОО произвольно выбранные невозмущенные собственные функции. Правильные функции нулевого приближения -линейные комбинации вида (01у)(о) + (о)~(о) + Коэффициенты в этих комбинациях определяются, вместе с поправками первого приближения к собственным значениям, следующим образом. Выпишем уравнения (38.4) с й = п, и',..., подставив в них [о) в первом приближении Е = Е„+ ЕО), причем для величин сь достаточно ограничиться нулевыми значениями с„= с„, с„ (о) <о) = с~,~,...; с = О при т ф п, п, ...
Тогда получим / ЕО)с(0) = Е ~1 с(0) или 2 (Г„„— ЕО)д„„)с„, = О, и (39.1) где п, и' пробегают все значения, нумерующие состояния, относящиеся к данному невозмущенному собственному значению Е„. Эта система однородных линейных уравнений для <о) величин с„имеет отличные от нуля решения при условии об<о) ращения в нуль определителя, составленного из коэффициентов при неизвестных. Таким образом, получаем уравнение )Ъ"„„— ЕО)""'! = О. (39.2) Это уравнение в-степени по Е11) и имеет, вообще говоря, в различных вещественных корней.
Эти корни и представляют собой искомые поправки первого приближения к собственным значениям. Уравнение (39.2) называют секу,ллрным') . Отметим, что сумма его корней равна сумме диагональных матричных элемен- тОВ 1хв„, Ъв „,... — ЭтО ЕСТЬ КОЭффнцИСНт Прн Е11)в ' В ураВНЕ- нии.
Подставляя поочередно корни уравнения (39.2) в систему (39.1) и решая последнюю, найдем коэффициенты с„и таким (о) образом определим собственные функции нулевого приближения. ') Или вековым (французское слово з1ос)е — век); название заимствовано из небесной механики. 179 539 СЕКУЛЯРНОЕ УРАВНЕНИЕ (39.3) Уравнения же (38.4) с )л = лп у'= п,п',... дают, с точностью до членов первого порядка, и' откуда ~л) х 1' . (0) ж,Г ~ Е(о) фо) и' 11одставив это в (39.3), находим Е(л)с(0) = х с( ) (Г, + х ~"'"~ " ) и' Эта система уравнений заменяет теперь систему (39.1); усло- вие их совместности снова приводит к секутярному уравнению, отличающемуся от (39.2) заменой Ъп р„ 1пп' ~ Рпп + Р ~п) оо ' ń— Е,„ т (39.4) В результате возмущения первоначально вырожденный уровень энергии перестает, вообще говоря, быть вырожденным (корни уравнения (39.2), вообще говоря, различны); как говорят, возмущение «снимает» вырождение.
Снятие вырождения может быть как полным, так и частичным (в последнем случае после наложения возмущения остается вырождение меньшей кратности, чем первоначальная). Может оказаться, что по тем или иным причинам все матричные элементы для переходов внутри одной группы взаимно вырожденных состояний п, п',... особенно малы 1или даже вообще равны нулю). Тогда может иметь смысл вместе с учетом в первом порядке матричных элементов Ъп учесть в более высоких поРЯДках матРичные элементы Уп 1т У= п, п, ...) ДлЯ переходов в состояния с другими энергиями.
Сделаем это с уче- тОМ МатРИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ Уп,п ВО ВТОРОМ ПОРЯДКЕ. В уравнении (38.4) с )с = и в левой части равенства полагаем Е = Е„+Е~л) (сохраняем обозначение Е~л) для поправки к энер- <0) гни в рассматриваемом приблллжении), а вместо сп пишем сп (а) Имея в виду, что с~ = 0 для всех т ~ и, п, ..., имеем (0) 180 ТЕОРИЯ ВОЗМЕЩЕНИИ гл. чг Задачи 1. Определить поправки первого приближения к собственному значению и правильные функции нулевого приближения для двукратно вырожденного уровня.
Р е ш е н и е. Уравнение (39.2) имеет здесь вид =- О 1Ггг — Е(Ю (О для разности двух значений поправки Е(0. Решая, далее, уравнения (39.1) с зтими значениями Е, получим для козффициентов в нормированных правильных фУнкциЯх нУлевого пРиближениЯ (о( ~ =- с( (г(г~ -(-с, (глг( ( значениЯ (о) ~ Р1г 1 1ы — (ггг1 ~ (оО ~ 1гг ~ (ггг — 1ггг| ~ (2) 2.
Вывести формулы для поправок первого приближения к собственным функциям и второго приближения для собственных значений. Р е ш е н и е. Будем считать, что в качестве функций ф~ выбраны правильные функции нулевого приближения. Определенная с их помощью матрица 1г „, очовидно, диагональна по индексам п, и (относящимся к одной и той же группе функций вырожденного уровня), причеы диагональные злемснты Ъ;„„'гы» равны соответствующим поправкам первого приближения Е(0 Е(О (о( Рассматриваем возмущение собственной функции (о~ ', так что в нулевом приближении Е =- Е„, с„о = 1, с =- О при гп ф и.
В первоы приближении Е = Е„+ г'„„, с„= 1+ с„, с = с . Выпишем из общей системы (38.4) уравнение с ь. ф п, и', ..., сохраняя в нем члены первого порядка: (Е(о( Е(о))г(г( 1; (Ю откуда (О с, = при (офпп,... ń— Е, Далее, выписываем уравнение с й = и, сохранив в нем ч.пены второго порядка: (индексы 1, 2 соответствуют двум произвольно выбранным невозмущенным (о( (а( собственным функциям ((гг и г(гг данного вырожденного уровня). Решая его, находим Е( ~ =- — [7и + Г~~ ~ йы(0), % 2 где введено обозначение 181 339 СЕКУЛЯРНОЕ УРАВНЕНИЕ 1в сумме по т опускаются члены с ги = и, и', ... ). Подставляя Е„,' = 1'„„ (ц и выражение 11) для с, получим при и' ф и 00 с~ ~ = 1 ч- ~„,$„ 12) 1козффициент же с~, в этом приближении равен нулю).
Формулы 11), 12) (1) определяют поправку р = 2 с, 4 первого приближения к собствен- 1Ц РЦ 1о1 ным функциям ) . Наконец, выписывая члены второго порядка в уравнении 138.4) с А. =- п, получим для поправки второго порядка к энергии формулу Е12) ~- ' 'г:, 1: (3) форлгально совпадающую с 138.10).
3. В начальный момент времени 1 = 0 система находится в состоя(о> нии 121, относящемся к двукратно вырожденному уровню. Определить ве- роятность того, что в дальнейший момент времени 1 система будет нахош~ диться в друго11 состоянии р той же энергии; переход происходит под влиянием постоянного возмущения. Р е ш е н и е. Составляем правильные функции нулевого приближения: 12 = сггР1 т сг'212, 21 = с12)11 + с21гг, где с1, с2 н с1, С~2 — две пары коэффициентов, опредоляемыо формулами 12) задачи 1 1верхние индексы 10) у всех величин для краткости опускаем). Обратно: С26 — С2ЭГ Ю1= С1 С2 С1 С2 Функции 2у и 1)1' относятся к состояниям с возмущенными эиергиямн Е+ ЕВЦ и Е+ ЕРЦ, где ЕВЦ, ЕРЦ вЂ” два значения поправки 11) задачи 1.
Вводя временные множители, переходим к волновой функции, зависящей от времени: 1Р1 =,, ~42)гсхр( — — Е 1) — сэф'ехр(- — Е 1)~ ехр[ — 12)й)Е1) 1, 1' Рц, 1 03 С1С2 Г1С2 6 6 1в момент 1 = 0 191 = 1)11). наконец, выражая снова 111, э1 через 1)1ц 1)12., получим Ф1 в виде линейной комбинации от 1)21, рг с коэффициентами, зависящими от времени. Квадрат модуля коэффициента прн у22 определяет искомую вероятность перехода ш21. Вычисление с использованием 11) и 12) задачи 1 дает шм = 2 — )1 — сов(22 1)).
%2~' 00 ) 2 Мы видим,что вероятность периодически колеблется с частотой 2201. для времен 1, малых по сравнению с соответствующим периодом, выражение в ) Обратим внимание на то, что условие малости величин 11) и 12) 1а тем самым и условие применимости рассматриваемого метода теории возмущений) требует по-прежнему соблюдения условий 138.9) лишь для переходов между состояниями, относящимися к различным уровням энергии. Переходы же между состояниями, относящимися к одному н тому же вырожденному уровню, учитываются секулярным уравнением в известном смысле точным образом.
182 ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ гл. л фигурных скобках, а с ним и вероятность ы22 пропорциональны г~: 2Г22 : ~1 12~ 1 2 2 аг ~ 40. Возмущения, зависящие от времени Перейдем к изучению возмущений, зависящих явно от времени. Говорить о поправках к собственным значениям энергии в этом случае вообще нельзя, поскольку при зависящем от времени гамильтониане (каковым будет возмущенный оператор Й=Й0 + Р(г)) энергия вообп|е не сохраняется, так что стационарных состояний не существует. Задача заключается здесь в приближенном вычислении волновых функций по волновым функциям стационарных состояний невозмущенной системы. Для этой цели мы применим метод, соответствующий известному методу вариации постоянных для решения линейных дифференциальных уравнений (Р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
