III.-Квантовая-механика (1109680), страница 34
Текст из файла (страница 34)
5) 6 22г, Вероятности перехода при внезапных возмущениях могут быть найдены и в тех случаях, когда возмущение не является малым. ПЕРЕХОДЬС ПОД ВЛИЯНИЕМ ВОЗМУЩЕНИЯ 189 Пусть система находится в состоянии, описывакпцемся одной из собственных функций ф,. первоначального гамильтониана Йе. <0) Если изменение гамильтониана происходит внезапно (т.е. за время, малое по сравнению с периодами 1сссл1, переходов из данного состояния г в другие), то волновая функция системы не успевает измениться и остается той же, что и до возмущения.
Она, однако, уже не будет являться собственной функцией ново)0) го гамильтониана системы Н, т.е. состояние ф,. не будет стационарным. Вероятности же юуе перехода системы в какое-либо из новых стационарных состояний определяются, согласно обидим правилам квантовой механики, коэффициентами разложения функции с)), по собственным функциям фу гамильтониа- [0) на Й: 2 вУ, = ~~ ~~1 с1с1 . (41.6) Покажем, каким образом эта общая формула переходит в формулу (41.5), если изменение гамильтониана Ч = Й вЂ” Нв является малым.
Умножим уравнения Н ~(0) Есо)ьь(0) Н,л,, (О) соответственно на ~1 и ф, с проинтегрируем по с1с1 и вычтем почленно одно из другого. Использовав также свойство самосопряженности оператора Й, получим ,(0)) „р)0) .Р (0) Если возмущение Р мало, то в первом приближении можно заменить Ьг, близким к нему невозмущенным уровнем Е <0) а волновую функцию фу 1в правой части равенства) --. соответствующей функцией г)с . Тогда получим Х „„[0) 1 !0)*ч, Со) и формула 141.6) переходит в (41.5).
Задачи 1. На заряженный осциллятор, находящийся в основном состоянии, внезапно накладывается однородное электрическое поле. Определить вероятности перехода осциллятора в возбужденные состояния под влиянием этого возмущения. 190 теОРия возмхщений гл. л Р е ш е н и е. Потенциальная энергия осциллятора в однородном поле 1действующем иа него с силой Р) есть г 2 ШО» 2 ШО2 2 У(х) = е — Гз= (я — ео) +сопв1, 2 2 1где ЕО =- Р/ть2 ), т.е. снова имеет чисто осцилляторный вид 1со смсщсн- ,2 ным положением равновесия).
Поэтому волновые функции стационарных состояний возмущенного осциллятора суть ~21х — ЕО), где д»21я) — осцилляторныс функции 123.12); начальная же волновая функция есть 2до(х) из 123.13). С помощью этих функций и выражения 123.11) для полиномов Эрмита находим Ф<О~Ф 1 ( ) — 2012 — 220 — 2 +2ЕЕО дь« »'2~~гЕ и,/ дб где введено обозначение бе = хек,Гшю76. Стоящий здесь интеграл путем й-кратного интегрирования по частям приводится к интегралу боя / ехр( †б~ -~ био)~К = бо т«я ехр 4 В результате для искомой вероятности перехода 141.6) получим формулу ьь с2 Рг шь = — е ь, 1«= — = Ы 2 2тй22~ Как функция числа 1« она представляет собой распределение Пуассона со средним значением 12 Случаю применимости теории возмущений соответствуют малые Г такие, что к « 1.
Тогда вероятности возбуждения малы и быстро убывают с увеличением к. Наибольшая из них шю к. В обратном случае болыпих Г 19 » 1) возбуждение осциллятора происходит с подавляющей вероятностью:вероятность осциллятору остаться в нормальном состоянии есть шОО = е — Х 2. Ядро атома, находящегося в нормальном состоянии, испытывает внезапный толчок, в результате которого оно приобретает скорость и, длительность толчка т предполагается малой как по сравнению с электронными периодами, так и по сравнению с а/г, где а — атомные размеры. Определить вероятность возбуждения атома под влиянием такого «встряхивания» (А. Б. ЛХигдал, 1939).
Р е ш е и и е. Переходим к системе отсчета К, движущейся вместе с ядром после удара. В силу условия т (( а/г ядро можно считать практически не сместившимся за время удара, так что координаты электронов в системе Л ' и в исходной системе Ю непосредственно после возмущения совпадают. Начальная волновая функция в системе Л ~ есть »до =- «Ооехр( — 29~ г,), с1 = —, где «ОΠ— волновая функция нормального состояния при неподвижном ядре, а суммирование в экспоненте производится по всем Б электронам в атоме. 191 ПЕРЕХОДЫ ПОД ВЛИЯНИЕМ ВОЗМУЩЕНИЯ Искомая вероятность перехода в к-е возбужденное состояние определяется теперь, согласно 141.6), формулой 2 шь« = 1/свекр( — гц~ г,)~0) В частности, осли да (( 1, то, разлагая экспоненциальный множитель под знаком интеграла и замечая, что интеграл от Фь" «де обращается в нуль в силУ оРтогональности фУнкЦий 1де и «)12, полУчим =, (1« ~ «1 ~ г ~ О) ( .
3. Определить полную вероятность возбуждения и ионизации атома водорода при внезапном «встряхивании» 1см.предылушую задачу). Р о ш он и е.Искомую вероятность можно вычислить как разность ,2 1 — «гоо=1 — ~/ Фее д~' г где в1ее — веРоЯтность атомУ остатьсЯ в основном состоЯнии (Фе =. = 1лаз) 7 е '1 — волновая функция основного состояния атома водорода; а — боровский радиус). Вычислив интеграл, получим 1 1 — шее = 1— )1 4- — 9 а ) В предельном случае да (( 1 эта вероятность стремится к нулю как 1 — и1ее — у~а, а при 9а >> 1 — к единице как 1 — шее 1 — 12/9а)~. 4. Определить вероятность вылета электрона из К-оболочки атома с большим атомным номером л при б-распаде ядра. Скорость В-частицы предполагается болыпой по сравнению со скоростью К-электрона 1А.
Б.Мигдал, 1941; Е.«7. Фейнберг, 1939). Р е ш е н и е') . В указанных условиях длительность прохождения д-частицы через К-оболочку мала по сравнению с периодом обращения электрона, так что изменение заряда ядра можно считать мгновенным. Роль возмущения играет при этом изменение г« =. 17г поля ядра при малом 11 по сравнению с ь) изменении его заряда. Согласно 141.5) вероятность перехода одного из двух электронов К-оболочки с энергией Ее = -У~/2~) в состояние непрерывного спектра с энергией Е = й~/2 в интервале дЕ = й 31. есть 4Уаь ~ ди1 =- 2 112 ~г) 2 В интеграле, определяющем матричный элемент 1«еь, существенна область близких 1 1/Я) расстояний от ядра, в которой для волновой функции состояния непрерывного спектра тоже можно пользоваться водородоподобным выражением.
Конечное состояние электрона должно иметь момент 1 =. 0 1совпадающий с л«оментом начального состояния). С помощью функции Вге и нормированной по шкале й/2л функции Кш, полученных в 336, 1 ) В задачах 4 и 5 пользуемся атомными единицами. 2) Здесь и ниже используется водородоподобность состояния К-электронов 1см. '3' 74). 192 теОРия возмущений гл. л и формулы 11.3) математических дополнений найдем ) 1) 4»«2хк 11+ 21/Х)*~1»11 — 214/Х) И.,= .-' / 1 — 2 721 »сг 1Х2 и,поскольку ~114-«из)' ~ =- ехр~ — 2- — ), ,!„2 / ахсска1 окончательно получим 22 ( 14 ') дш = Х««1 12 ~Х2)4 (( )94й, где введено обозначение 1 1 агс1яо1 11О) = — - — - — — ехр) — 4 — — — -).
е г 1 ' о Предельные значения функции 11О)1 1=с прио«1, 1=о/2яприо»1. Полная вероятность ионизации К-оболочки получается интегрированием ди1 по всем энергиям вылетающего электрона. Численный расчет дает и1 = 0,65Х 5. Определить вероятность вылета электрона из К-оболочки атома с большим Х при О-распаде ядра. Скорость о-частицы мала по сравнению со скоростью К-электрона, но время ео выхода из ядра мало по сравнению со временем обращения электрона 1А. Б. Мигдал, 1941; Х Лес»идет, 1953). Р е ш е н и е.
После вылета о-частицы действующее на электрон возмущение имеет адиабатичсский характер. Поэтому искомый эффект определяется в основном временем, близким к нарушающему адиабатичность «л«о»генту включения» возмущения, когда О-частица, выйдя из ядра и двигаясь как свободная, находится еще на расстояниях, малых по сравнению с радиусом К-орбиты. Роль возмущения $', вызывающего ионизацию ато»иа, играет при этом отклонение совместного поля ядра и о-частицы от чисто кулонова поля Х/г. Дипольный момент двух частиц с атомными весами 4 и А — 4 и зарядами 2 и Х вЂ” 2, находящимися на расстоянии е1 друг от друга 1е — относительная скорость ядра и а-частицы), равен 21А — 4) — 1Х вЂ” 2)4 21А — 2Х) А А Поэтому дипольный член поля ядра и а-частицы есть 2 21А — 2Х) 1г = — — — — пс — 2, А гз где ось 2 направлена вдоль скорости у.
Матричный элемент этого возмущения сводится к матричному элементу от 2: взяв матричный элемент от уравнения движения электрона Б = — Хз~г, получим 2 (2) 1Š— ЕО) 1 ) При вычислении удобно пользоваться кулоновыми единицами, перейдя затем к атомным единицам в окончательном результате. ) Если разность А — 2Х мала, может оказаться необходимылг учет также и следующего, квадрупольного члена. 342 пвгвходы под влияниям пкгиодичкского возмчщвния 193 Искомая вероятность перехода одного из двух электронов уг-оболочки равна, согласно (41.2), г 4ш 2~ 1' Ъ~м Иве — лиМ Ь 8(А — 2Я) и ~,,гпв и оье Агйг 'о (для вычисления интеграла вводим в подынтегральное выражение дополнительный затухающий множитель е м 1Л ) 0), после чего в получающемся результате полагаем Л вЂ” г 0).
Для вычисления матричного элемента от - = г сов й замечаем, что поскольку орбитальный момент в начальном состоянии 1 = О, то сове имеет отличный от нуля матричный элемент лишь для перехода в состояние с 1 = 1; при этом ((соей)о1~ = —, ~зов~ = -~ась~ в 1 з 1 г 3* ' 3 Вычисляя гоь с помощью радиальных функций гьоо и ггьп получим в резуль- тате 2м(А — 2К)'из Я~ 3Азяо(1+ йз/яз)о ~я/ (функция Г" определена в задаче 4).
8 42. Переходы под влиянием периодического возмущения Другого рода результаты получакзтся для вероятности перехода в состояния непрерывного спектра, происходящего под влиянием периодического возмущения. Предположим, что в некоторый начальный момент времени 1 = 0 система находится в г-ги стационарном состоянии дискретного спектра. Частоту ш периодического возмущения будем предполагать такой, что 6ш>Е ы — Е, (42.1) где Е„„„значение энергии, с которого начинается непрерывный спектр.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
