III.-Квантовая-механика (1109680), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Из результатов 840 заранее очевидно, что основную роль будут играть состояния непрерывного спектра со значениями энергии Еу в непосредственной близости к «резонанснойэ энергии Е,. + 6ш, т. е, такие, для которых разность шу, — ш мала. По (а) этой жс причине в матричных элементах возмущения (40.8) достаточно рассматривать только первый член (с близкои к нулю частотой шу, — ш).
Подставляя этот член в (40.5) и интегрируя, получим пд = — — гу,(1) сЫ = — Ру, и . (42.2) 6 / й(шп — ш) О 194 ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ ГЛ. У1 4 пап ' 1 (42.3) Легко видеть, что при больших ~ стоящая здесь функция может быть представлена как пропорциональная ~. Для этого замечаем, что имеет место следующая формула: г 1пп, = б(сг). 8 — Ргг УХО (42.4) Действительно, при сг ~= О написанный предел равен нулю, а при Гйп О1 сг = О имеем, = 1, так что предел равен оесконечности.
1О Интегрируя же по да в пределах от — оо до +со (делаем подстановку сг1 = ~), получим 1 1 1ВМ4 1 1Г 81В4 Таким образом, функция, стоящая в левой части равенства (42.4), действительно удовлетворяет всем требованиям, определяющим д-функцию. Соответственно этой формуле мы можем написать при больших 1 ~2 1 ~Е ~2 У~ггГ* ~"') или, подставив йзгу; = Ьу — Е, и воспользовавшись тем, что (О) д(ах) = б~х)/а: (ау;) = — ~Р~;~ 6(Еу — Е, — Йьг)8. Выражение ~ау,~ рггу есть вероятность перехода из первоначального состояния в состояния, находящиеся в заданном интервале Ниу.
Мы видим, что при больших ~ она оказывается пропорциональной истекшему с момента ~ = О промежутку Нижний предел интегрирования выбран таким образом, чтобы при 1 = О было ау; = О в соответствии с поставленным начальным условием. Для квадрата модуля аГ, отсюда находим ~ 42 пвгвходы под влиянием пкгиодичвского возмчщвния 195 времени. Вероятность же саву, перехода в течение единицы времени равна') силу; = — )Г~,) б(Еу — Е, — йсп) стим. (42.5) В соответствии с тем, что и ожидалось, она отлична от нуля лишь для переходов в состояния с энергией Еу = Ег + гкп.
Ес- <0) лн энергетические уровни непрерывного спектра не вырождены, так что под иу можно понимать значения одной только энергии, то весь еинтервал» состояний дну сводится к одному состоянию (0) с энергией Е = Е, +гкп, и вероятность перехода в это состояние есть Отсюда 2 Е 2 1 тм М = — „6)г) ( '.)..л Вероятность же перехода в единицу времени определяется про- изводной — )ау,)~ = 2Л)ау;)~. Теперь замечаем, что имеет место формула )пп,, = о(ст), л Л- о - (о'+ Л') (42.8) ') Легко проверить, что прн учете опугденного второго члена в (40.8) получились бы дополнительные выражения, которые, будучи поделены на й стремятся при 1 — » тсо к нулю. ии; = — )Рн ! б (42.6) Методически поучителен также и другой способ вывода формулы (42.5), в котором периодическое возмущение предполагается включающимся не в дискретный момент 1 = О, а медленно нарастает от 1 = -оо по экспоненциальному закону е с положительной постоянной Л, которую затем устремляют к нулю (пдипбатическое включение).
Соответственно и начальное условие ау, = О ставится при этом в момент 1 = — оо. Матричный элемент возмущения имеет теперь вид г~п — м)ь»М у1е и вместо (42.2) пишем ау; = — — Т'у,(8) гИ вЂ” Е»1 и . (42.7) 196 ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ гл. У! справедливая в том же смысле, что и (42.4). С ее помощью на- ходим, переходя к пределу Л -э 0: — ~ау,~ — Э вЂ”,, ~Е1,~ 6(азу, — ц1), и мы вновь возвращаемся к формуле (42.5). 3 43. Переходы в непрерывном спектре Одним из важнейших применений теории возмущений является вычисление вероятности перехода в непрерывном спектре под влиянием постоянного (не зависящего от времени) возмущения.
Мы уже упоминали, что состояния непрерывного спектра практически всегда вырождены. Выбрав определенным образом совокупность невозмущенных волновых функций, соответствующих некоторому данному уровню энергии, мы можем поставить задачу следующим образом: известно, что в начальный момент времени система находилась в одном из этих состояний; требуется определить вероятность перехода в другое состояние той же энергии. Для переходов из начального состояния г в состояния в интервале между иу и иг + 11иу имеем непосредственно из (42.5) (полагая сс = 0 и меняя обозначения) (43.1) Это выражение, как и следовало, отлично от нуля лишь при Еу = Е;: под влиянием постоянного возмущения переходы происходят лишь между состояниями с одинаковой энергией.
Необходимо отметить, что для переходов из состояний непрерывного спектра величина дну, не может рассматриваться непосредственно как вероятность перехода; она даже не обладает соответствующей размерностью (1/с). Выражение (43.1) изображает число переходов в единипу времени, причем его размерность зависит от выбранного способа нормировки волновых функций непрерывного спектра ') . Вычислим возмущенную волновую функцию, которая до начала действия возмуп1ения совпадает с исходной невозмущенной 1 ) К категории явлений, охватываемых излагаемой теорией, относятся, например, различные столкновения; при этом система в начальном и конечном состояниях представляет собой совокупность свободных частиц, а роль возмущения играет взаимодействие между ними. При надлежащей нормировке волновых функций величина (43.Ц может оказаться при этом сечением столкновений (сы.
З 126). 197 ПЕРЕХОДЫ В НЕПРЕРЫВНОМ СПЕКТРЕ <а) функцией гд, . Следуя указанному в конце предыдущего параграфа способу, будем рассматривать возмущение как включаемое адиабатически по закону елг с Л вЂ” > О. Согласно формуле (42.7) (в которой полагаем ы = О и меняем обозначения) име- ем ехр1 — (Еу — Е,)1+ Лг '( а~ ) =1'. Е,— Еу->иЛ Возмущенная волновая функция имеет вид (43.2) где интегрирование производится по всему непрерывному спек- тру') . Подставив сюда (43.2), находим Еу (43.4) Временной множитель в (43.3) показывает, что эта функция относится, как и следовало, к той же энергии Е;, что и начальная невозмущенная функция.
Другими словами, функция (43.5) ') Если имеется также и дискретный спектр, то в этой и следуюп~их формулах к интегралу надо добавить соответствуюпгую сумму по состояниям дискретного спектра. В пределе Л вЂ” э О множитель СЛ' заменен единицей. Член же +40 (означающий предел 4Л при стремлении к нулю положительной величины Л) определяет способ интегрирования по переменной Еу, дифференциал которой входит как множитель в дну (наряду с дифференциалами других величин, характеризующих состояния непрерывного спектра). Без члена 4Л подынтегральное выражение в (43.3) имело бы полюс при Еу = Е;, вблизи которого интеграл расходился бы.
Член гЛ смегцает этот полюс в верхнюю полуплоскость комплексного переменного Еу. После перехода к пределу Л вЂ” > О полюс снова возвращается на вещественную ось, но мы знаем теперь, что путь интегрировании должен обходить полюс снизу: 200 ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ ГЛ. У1 Отсюда видно, что наиболее вероятное значение разности Е' — Е порядка величины 6/1. Применив этот результат к рассматриваемому нами случаю (возмущением является взаимодействие между частями системы), мы получим соотношение ~Е -~- е — Е' — е'~Ы, 6. (44.1) Ь(Š— Е') Ж (44.2) Из этого соотношения можно вывести важные следствия относительно измерения импульса. Процесс измерения импульса частицы (будем говорить для определенности об электроне) Таким образом, чем меныпе интервал времени Л1, тем большее изменение энергии будет обнаружено. Существенно, что его порядок величины 6/Ь1 не зависит от величины возмущения.
Определяемое соотношением (44.1) изменение энергии будет обнаружено даже при сколь угодно слабом взаимодействии между обеими частями системы. Этот результат является чисто квантовым и имеет глубокий физический смысл. Он показывает, что в квантовой механике закон сохранения энергии может быть проверен посредством двух измерений лишь с точностью до величины порядка 6/Ы, где Ьт .. интервал времени между измерениями. О соотношении (44.1) часто говорят, как о соотношении неопределенности для энергии. Необходимо, однако, подчеркнуть, что его смысл существенно отличается от смысла соотношения неопределенности ЬрЬх 6 для координаты и импульса.
В последнем Ьр и Ьх — неопределенности в значениях импульса и координаты в один и тот же момент; оно показывает, что эти две величины вообще не могут иметь одновременно строго определенных значений. Энергии же Е, е, напротив, могут быть измерены в каждый данный момент времени с любой точностью. Величина (Е+ е)— — (Е'+е') в (44.1) есть разность двух точно измеренных значений энергии Е + е в два различных момента времени, а отнк>дь не неопределенность в значении энергии в определенный момент времени.
Если рассматривать Е как энергию некоторой системы, а е — как энергию «измерительного прибора;, то мы можем сказать, что энергия взаимодействия между ними может быть учтена лишь с точностью до 6/Ь~. Обозначим через ЬЕ, Ье,... погрешности в измерениях соответствующих величин. В благоприятном случае, когда е, е' известны точно (Ье = Ье~ = О), имеем з 44 СООТНОШЕНИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ ДЛЯ ЭНЕРГИИ 201 р'+Р' — р — Р=О, (44.3) (44.4) ~е +Š— е — Е~ / ! 6 с» (Р, Е импульс и энергия частицы; р, е тоже для зеркала; величины без и со штрихами относятся соответственно к моментам до и после столкновения).
Величины р, р', е, е', относящиеся к «измерительной частице», могут рассматриваться как известные точно, т.е. их погрешности равны нулю. Тогда для погрешностей в остальных величинах имеем из написанных уравнений ЬР = ЬР', ~ЬЕ' — ЬЕ~ Но ЬЕ = —,ЬР = НЬР, дР 1 ) Для производимого здесь анализа несущественно, каким образом становится известной энергия «измерительной» частицы.
включает в себя столкновение электрона с некоторой другой («измерительной») частицей, импульсы которой до и после столкновения могут считаться известными точно'). Если применить к этому столкновению закон сохранения импульса, то мы получим три уравнения (три компоненты одного векторного уравнения) с шестью неизвестными — компонентами импульса электрона до и после столкновения. Для увеличения числа уравнений можно произвести ряд последовательных столкновений электрона с «измерительными» частицами и применить закон сохранения импульса к каждому из них.
При этом, однако, увеличивается и число неизвестных (импульсы электрона между столкновениями), и легко сообразить, что при любом числе столкновений число неизвестных будет превышать на три число уравнений. Поэтому для измерения импульса электрона необходимо привлечь, наряду с законом сохранения импульса, также и закон сохранения энергии в каждом столкновении.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
