III.-Квантовая-механика (1109680), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Последний, однако, может быть применен, как мы видели, лишь с точностью до величины порядка 6/Ы, где Ьà — — время между началом и концом рассгиатриваемого процесса. Для упрощения дальнейших рассуждений удобно рассмотреть идеализированный мысленный эксперимент, в котором «измерительной частицей» является идеально отражающее плоское зеркало; тогда играет роль лишь одна компонента импульса, перпендикулярная к плоскости зеркала. Для определения импульса Р частицы законы сохранения импульса и энергии дают уравнения 202 ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ гл.
У! где о. скорость электрона (до столкновения), и аналогично ЬЕ' = иЬР' = оЬР. Поэтому получаем ~(н' — ьк)ЬР ~ - —. (44. 5) Мы приписали здесь индексы ш у скоростей и импульса, с целью подчеркнуть, что это соотношение относится к каждой из их компонент в отдельности.
Это и есть искомое соотношение. Оно показывает, что измерение импульса электрона (при заданной степени точности ЬР) неизбежно связано с изменением его скорости (т. е. и самого импульса). Это изменение тем больше, чем короче длится самый процесс измерения. Изменение скорости может быть сделано сколь угодно малым лишь при Ьг — » оо, но измерения импульса, длящиеся в течение большого времени, вообще могут иметь смысл лишь для свободной частицы. Здесь в особенности ярко проявляется неповторимость измерения импульса через короткие промежутки времени и «двуликая» природа измерения в квантовой механике- необходимость различать между измеряемым значением величины и значением, создаваемым в результате процесса измерения ') .
К приведенному в начале этого параграфа выводу, основанному на теории возмущений, можно подойти с другой точки зрения! применив его к распаду системы, происходящему под влиянием какого-либо возмущения. Пусть Ео есть некоторый уровень энергии системы, вычисленный при полном пренебрежении возможностью ес распада. Обозначим продолжительность жизни этого состояния системы через т, т.е. величину, обратную вероятности распада в единипу времени. Тогда тем же способом найдем,что ~ЕΠ— Š— 4- Цт, (44.6) где Е, е энергии обеих частей, на которые распалась система. Но по сумме Е + с можно судить об энергии системы до распада.
Поэтому полученное соотношение показывает, что энергия способной к распаду системы в некотором кеазистоционорном состоянии может быть определена лишь с точностью до величины порядка 6/т. Эту величину обычно называют шириной Г уровня. Таким образом, (44.7) Г Цт. ') Соотношение (44.8), как и выяснение физического смысла соотношения неопределенности для энергии, принадлежит Н. Бору (1928). 203 ИОтенпиАльнАя энеРГия кАк ВОзмущение ~ 45.
Потенциальная энергия как возмущение Особого рассмотрения заслуживает случай, когда в качество возмущения может рассматриваться полная потенциальная энергия частицы во внешнем поле. Невозмущенное уравнение Шредингера есть тогда уравнение свободного движения части- цы „;~(о) + ~2г)г(о) — 0 ~ — Уяш~ — р (45 ц 6 6 и имеет решениями плоские волны. Энергетический спектр свободного движения непрерывен, так что мы имеем дело со своеобразным случаем теории возмущений в непрерывном спектре. Рсгпение задачи удобнее получить здесь непосредственно, не прибегая к общим формулам.
Уравнение для поправки у)~Ц первого приближения к волновой функции гласит: ~ц 2 ~ц 2тБ (о) (45. 2) (ог потенциальная энергия). Ре|пснис этого уравнения, как известно из электродинамики, может быть написано в виде «запаздывающих потенциалов», т. е. в виде') ФВЦ( ) 1ФЯБ( «) ' Л" Л"' = дх'Ыу'Йз', т = (т — т') + (у — у') + (з — з') . Выясним, каким условиям должно удовлетворять поле с1 для того, чтобы его можно было рассматривать как возмуп1ение. Условие применимости теории возмущений заключается в требовании г)РЦ « уг'о). Пусть а есть порядок величины размеров области пространства, в котором поле заметно отличается от нуля. Предположим сначала, что энергия частицы настолько мала, что ай меньше или порядка единицы. Тогда множитель е'~" в подынтегральном выражении в (45.3) несуществен при оценке порядка величины, и весь интеграл будет порядка ф~о) ~Ца2, так что уг~ ) (та ~51~Ггб )г)г~~), и мы получаем условие бг ~Ц «, при Йа < 1.
ша (45.4) ') Это есть частный интеграл уравнения (45.2), к которому может быть прибавлено еще любое решение уравнения без правой части (т. е. невозмущенного уравнения (45.1)). 204 ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ гл. У! Отметим, что выражение 6~/та имеет простой физический смысл это есть порядок величины кинетической энергии, которой обладала бы частица, заключенная в объеме с линейными размерами а (поскольку, согласно соотношению неопределенности, се импульс был бы 6,1а). Рассмотрим, в частности, потенциальную яму настолько неглубокую, что для нее выполняется условие (45.4).
Легко видеть, что в такой яме не существует отрицательных уровней энергии (Л. Ремл4в, 1929): мы видели это уже в задаче к 5 33 для частного случая сферически-симметричной ямы. Действительно, при Е = 0 невозмущенная волновая функция сводится к постоянной, которую можно условно принять равной единице: г)Р ) = 1. Поскольку 1д1 ) « г)11 ), то ясно, что волновая функция движения в яме, 1д = 1+ 1рП), нигде не обращается в нуль; собственная же функция, не имеющая узлов, относится к нормальному состоянию, так что Е = 0 остается наименьшим возможным значением энергии частицы.
Таким образом, если яма недостаточно глубока, то возможно только инфинитнос движение частицы — — частица нс может езахватиться» ямой. Обратим внимание на то, что этот результат имеет специфически квантовый характер — в классической механике частица может совершать финитное движение в любой потенциальной яме. Необходимо подчеркнуть, что все сказанное относится только к трехмерной яме. В одно- и двумерной яме (т.е. в которой поле есть функция только от одной или двух координат) всегда имеются уровни отрицательной энергии (см, задачи к этому параграфу).
Это связано с тем,что в одно- и двумерном случаях рассматриваемая теория возмугцений вообще неприменима при равной нулю (или очень малой) энергии Е ') . В случае болыпих энергий, когда йа» 1, множитель е'"" в подынтегральном выражении играет существенную роль, сильно уменыпая величину интеграла. Решение (45.3) может быть 1 В двумерном случае 1)1~ выражается (как известно из теории двумер- ~1) ного волнового уравнения) в виде аналогичного (45.3) интеграла, в котором *1 вместо 1)х' 4у'с)х' стоит 1ЯНс ~(ЬР)лхх с)р' ГНе ~ — функция Ганксля), а г г = у1)х' — х)1 1 (у' — у)1.
При Ь -т О функция Ганкеля, а с нею и весь интеграл стремятся логарифмически к бесконечности. Аналогично, в одномерном случае под знаком интеграла, определяющего 1)1И1, стоит 2яг-- — с)х' (где г = ~х' -- х~) и при к — 1 О уг'1 стремится к к бесконечности, как 1,1к. 205 ИОтенциАльнАя энеРГия кАк ВОзмущение АА ~,11) + 7Г2~(Ц 2ггг бх гйх йг в виде г)г10 = е'хху", причем ввиду предполагаемой болыпой величины Й достаточно сохранить в Ьгд~ ) только те члены, в которых дифференцируется (хотя бы один раз) множитель с'"*. Тогда мы получим для 7 уравнение д~ 2т11 а* й' ' откуда ~,(ц сйх): гт хьх 77 4 ~г~е (45.5) Оценка этого интеграла дает ф~~)~ пг~77~а/б~й, так что условием применимости теории возмущений в этом случае будет (Ц «, й~ = —, й~ >> 1 (45.6) та а (и = /сб/т скорость частицы). Обратим внимание на то, что это условие более слабое, чем (45.4).
Поэтому, если можно рассматривать поле как возмущение при малых энергиях частицы, то это во всяком случае возможно и при больших энергиях, между тем как обратное, вообще говоря,не имеет места'). Применимость развитой здесь теории возмущений к кулонову полю требует особого рассмотрения. В поле 77 = а/г нельзя выделить конечной области пространства, вне которой 77 было бы значительно меньше, чем внутри нее. Искомое условие можно получить, написав в (45.6) переменное расстояние т вместо параметра аб это приводит к неравенству — « 1. йх (45.
7) ) В одномерном случае условие применимости теории возмущений дается неравенством (4б.б) при всех Аа. Вывод условия (45.4), проведенный выше для трехмерного случая, в одномернолг случае невозможен ввиду отмеченной в примеч, иа с. 204 расходимости построенной таким способом функции й1 1. в этом случае преобразовано к другому виду, для вывода которого, однако, удобнее обратиться непосредственно к уравнению (45.2). Выберем направление невозмущенного движения в качестве оси т; тогда невозмущенная волновая функция имеет вид г(г~~~ = е' * (постоянный множитель условно полагаем равным единице). Ищем решение уравнения 206 ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
