III.-Квантовая-механика (1109680), страница 39
Текст из файла (страница 39)
В 2 41 уже упоминалось, что при достаточно медленном, «адиабатическому, изменении параметров система остается в том же квантовом состоянии, в данном случае в состоянии с некоторым и. Мы видим,что в квазиклассическом пределе это утверждение совпадает с классической теоремой о постоянстве адиабатического инварианта при медленном изменении параметров. Согласно правилу (47.5) граничное условие в точке т = 5 приводит (в области справа от нее) к волновой функции 848 ПРАВИЛО КВАНТОВАНИЯ БОРА-ЗОММЕРФЕЛЬДА Легко видеть, что целое число и равно числу нулей волновой функции, а потому есть порядковый номер стационарного состояния. Действительно, фаза волновой функции (48.Ц растет от -л/4 в точке х = Ь до (и + 1/4)л в точке л = а, так что косинус обращается в этом интервале в нуль п раз (вне интервала Ь « л « а волновая функция затухает монотонно, не имея нулей на конечных расстояниях) ') .
Согласно сказанному выше в квазиклассическом случае число п велико. Подчеркнем, однако,что сохранение члена 1/2 рядом с п в (48.2) тем не менее законно: учет следующих поправочных членов в фазе волновых функций привел бы к появлению в правой части выражения (48.2) лишь членов Л/б, малых по сравнению с 1 (см. замечание в конце 8 46) ') .
Для нормировки волновой функции достаточно интегрировать ~ф~~ лигпь в интервале Ь < т < а, так как вне его гд(х) экспоненциально затухает. Поскольку аргумент косинуса в (48.1) есть быстро меняющаяся функция, можно с достаточной точностью заменить квадрат косинуса его средним значением, т.
е. 1/2. Тогда получим где ш = 2п(Т -. частота классического периодического движения. Таким образом, нормированная квазиклассическая функция х ф = — соз — рЙх —— (48.3) ь Следует помнить, что частота ш функция энергии и, вообще говоря, различна для разных уровней. Соотношение (48.2) можно истолковать еще и другим образом.
Интеграл у рсгш есть площадь, охватываемая замкнутой ) Строго говоря, подсчет числа нулей должен производиться с учетом точного вида волновой функции вблизи точек поворота. Такое исследование подтверждает указанный результат. ) В некоторых случаях точное выражение для уровней энергии Е(п) (как функции квантового числа п), получающееся из точного уравнения Шредингера, таково, что при и -э со оно сохраняет свой вид; примерами являются уровни энергии в кулоновом поле и уровни энергии гармонического осциллятора. Естественно,что в этих случаях правило квантования (48.2), применимое при больших и, дает для функции Е(и) Выражение, совпадаюгцее с точным. 218 кВАзиклАссичвский слу 1АЙ ГЛ.
Чп классической фазовой траекторией частицы (т. е. кривой в плоскости р, х —. фазовом пространстве частицы). Разделив эту площадь на клетки площадью 2л6 каждая, мы получим всего и, клеток. Но п есть число квантовых состояний с энергиями., не превышаю1цими заданного ее значения (соответствующего рассматриваемой фазовой траектории). Таким образом, мы можем сказать, что в квазиклассическом случае каждому квантовому состоянию соответствует клетка в фазовом пространстве пло1цадью 2К6.
Иньп1е, число состояний, отнесенное к элементу объема АхрЬЛ фазового пространства, .есть (48.4) ЬрЬх/(2К6). Если ввести вместо импульса волновой вектор 6 = р/6, то это число напишется, как Ь6Ьт/2л. Оно совпадает, как и следовало ожидать, с известным выражением для числа собственных колебаний волнового поля (сы.
П, ~ 52). Исходя из правила квантования (48.2) можно выяснить общий характер распределения уровней в энергетическом спектре. Пусть ЬЕ есть расстояние между двумя соседними уровнями, т. с. уровнями с отличающимися на единицу квантовыми числами п. Поскольку ЬЕ мало (при больших и) по сравнению с самой энергией уровней, то на основании (48.2) можно написать ЬŠ—,Р дх = 2л6. Но дЕ(др = и, так что — дт = — = Т. Поэтому получаем ЬЕ = — 6 = 6В1.
(48.5) г Таким образом, расстояние между соседними уровнями оказывается равным 61с. Для целого ряда соседних уровней (разность номеров п которых мала по сравнению с самими и) соответствук>щие частоты ш можно приближенно считать одинаковыми. Поэтому мы приходим к выводу, что в каждом неболь1пом участке квазиклассической части спектра уровни расположены эквидистантно, через одинаковые интервалы 6В1.
Этот результат, впрочем, можно было ожидать заранее, так как в квазиклассическом случае частоты, соответствующие переходам между различными уровнями энергии, должны быть целыми кратными классической частоты В1. пРАВилО кВАнтОВАния БОРА — ВОммеРФельдА Представляет интерес проследить, во что переходят в классическом пределе матричные элементы какой-либо физической величины 1.
Для этого исходиъв из того, что среднее значение 1 в некотором квантовом состоянии в пределе должно перейти просто в классическое значение этой величины, если только само состояние в пределе дает движение частицы по определенной траектории. Такому состоянию соответствует волновой пакет (см. ~ 6), получающийся суперпозицией ряда стационарных состояний с близкими значениями энергии. Волновая функция такого состояния имеет вид где коэффициенты а„заметно отличны от нуля только в некотором интервале Аъп значений квантового числа и.
таком, что 1 « Ьп « и; числа и предполагаются большими соответственно квазиклассичности стационарных состояний. Среднее значение 1 равно, по определению, 7=1' в"ввв*=у;ъ; " .у-.'-', и ви или, заъвенив суммирование по п, ьч суммированием по и и раз- ности В = т — и, получим ™ где ы „= Ввв в соответствии с (48.5). Матричные элементы 1 „, вычисленные с помощью квази- классических волновых функций, быстро падают по величине с увеличением разности т — п, являясь в то же время медленно меняющимися функциями самого числа и (при заданном т — и). Ввиду этого приближенно можно написать ~ ~а~а ~ е™м 1~ ~а ~~ ~ гве™м где введено обозначение ~У вЂ” — Ь, в,и, а и — некоторое среднее значение квантового числа в интерва- ле Аъп.
Но ~, ~аи~з = 1; поэтому 220 КВАзиклАссический слу 1АЙ Гл. Уп Получившаяся сумма имеет вид обычного ряда Фурье. Поскольку 1 должно в пределе совпадать с классической величиной ~(1), то мы приходим к результату, что матричные элементы Д,„„в пределе переходят в компоненты 1 .„разложения классической функции ~(6) в ряд Фурье. Аналогично, матричные элементы для переходов между состояниями непрерывного спектра переходят в компоненты разложения ~(1) в интеграл Фурье. При этом волновые функции стационарных состояний должны быть нормированы на 5-функцию от энергии, деленной на 6.
Все изложенные результаты непосредственно обоб1цаются на системы со многиьли степенями свободы, совершающие финитное движение, для которого механическая (классическая) зада та допускает полное разделение переменных в методе Гамильтона — 11коби (так называемое условно-периодическое движение, см. 1, 852). После разделения переменных для каждой степени свободы задача сводится к одномерной и соответствую1цис условия квантования имеют вид (48.6) где интеграл берется по периоду изменения обобщенной координаты 11; а у; -. число порядка единицы, зависящее от характера граничных условий для данной степени свободы ') .
В общем случае произвольного (не условно-периодического) многомерного движения формулировка квазиклассических условий квантования требует более глубоких рассуждений'). Понятие же о «клетках в фазовом пространстве применимо (в квазиклассическом приближении) всегда в одинаковом виде. Это ясно из отмеченной выше его связи с числом собственных колебаний волнового поля в заданном объеме пространства. В общем случае системы с в степенями свободы на элемент 1 ) Так, для движения в центрально-симметричном поле ~ р„11 = 2я6(п„+ — ), —,) Ре 110 = 2л'6(1 — из+ — ), ~РУ 11Р =- 2кбт 1гдс и, .=. и — 1 — 1 — радиальное квантовое число). Последнее равенство связано просто с тем,что рт есть л-компонента момента, равная 6яь ~) См. Х В.
КеИегl( Апп. РЬув. 1988. У. 4. Р. 180. пРАВилО кВАнтОВАния БОРА — ЗОммеРФельдА объема фазового пространства приходится Хзйг...Х1й»Хзрг, .Х1р, (2гг6)" (48. 7) квантовых состояний ') . — — / ( — Ц (Хт', ;(2 гп 6з / где интегрирование производится по той области пространства,в которой ХХ < О. Этот интеграл расходится (число уровней бесконечно), если ХХ убывает на бесконечности, как т ' с з < 2 в согласии с результатами в 8 18. 2. То же в квазиклассическом центрально-симметричном поле П(т) (В.
Л. Покровский). Р е ш е н и е. В центрально-симметричном поле число состояний не соВпадает с числом уровней энергии ввиду вырождения последних по направлениям момента. Искомое число можно найти, заметив, что число уровней с заданным значением момента ЛХ совпадает с числом уровней (невы- рожденных) для одномерного движения в поле с потенциальной энергией ХХ,Ф = П(т) -, 'ЛХ~(((2тт~). Максимально возможное значение импульса р„ при данном т и энергиях Е < О есть р„„= А(' — 2щП»ф. Поэтому число состояний (т.е.число уровней) равно (Хт(Хр, ь(2пг Х ЛХз Йт. 2(г6 2к6,/ 2тт~ Искомое полное число дискретных уровней получается отсюда интегрированием по (ХЛХ,(6 (заменяющим в квазиклассическом случае суммирование по 1)и равно — ( — П) т (Хт.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
