III.-Квантовая-механика (1109680), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Наряду с однородностью пространство обладает также и свойством изотропии — все направления в нем эквивалентны. Поэтому гамильтониан замкнутой системы должен не меняться при повороте всей системы как целого на произвольный угол вокруг произвольной оси. Достаточно потребовать выполнения этого условия для произвольного бесконечно малого поворота. Пусть бу есть вектор бесконечно малого поворота, равный по величине углу др поворота и направленный по оси, вокруг которой производится поворот.
Изменения дг„ (радиусов-векторов частиц г ) при таком повороте равны бг, = [б~р г,). Произвольная функция а[ты г2,... ) при этом преобразовании переходит в функцию ф(г1 + дгы гз + дгъ... ) = ф(гп гъ... ) + ~ дга "7аФ = а = ф(г~,гз,...)+ ~[Ар.г,1~ ~ = и (1 + Жр ~~~ [г„~у~]) ф(гы гз,... ).
а Выражение 1+ йр~) [г,~7 1 а есть оператор бесконечно малого поворота. Тот факт, что бесконечно малый поворот не меняет гамильтониан системы, выражается [ср. ~15) коммутативностью оператора поворота с оператором Й. Поскольку ду есть постоянный вектор, то это МОМЕНТ ИМПУЛЪОА условие сводится к соотношению (~~ [г '7,[)Й вЂ” Й[ ~ [г,~7,)) = О, [26.1) выражающему собой некоторый закон сохранения.
Величина, сохранение которой для замкнутой системы следует из свойства изотропии пространства, есть момент импульса системы (ср. 1, ~9). Таким образом, оператор 2;[г ту,] должен соответствовать, с точностью до постоянного множителя, полному моменту импульса движения системы, а каждый из членов суммы [г„~7„[ моменту отдельной частицы.
Коэффициент пропорциональности должен быть положен равным — 16; тогда выражение для оператора момента частицы — г6[г у[ = [гр[ будет в точности соответствовать классическому выра>кению [гр[. В дальнейшем мы будем всегда пользоваться моментом, измеренным в единицах 6. Оператор определенного таким образом момента отдельной частицы будем обозначать через 1, а оператор момента всей системы через Х. Таким образом, оператор момента частицы: 61 = [гр[ = — 16[г'~7[ (26.2) или в компонентах: 61у = УР ЛРу, ~~у = ЛР ТРА, Цт = тРу уР Для системы, находящейся во внешнем поле, момент импульса в общем случае не сохраняется. Однако сохранение момента все же может иметь место при определенной симметрии поля.
Так, если система находится в центрально-симметричном поле, то все направления в пространстве, исходящие из центра, эквивалентны, и поэтому будет сохраняться момент количества движения относительно этого центра. Аналогично, в аксиально-симметричном поле сохраняется составляющая момента вдоль оси симметрии. Все эти законы сохранения, имеющие место в классической механике, остаются в силе и в квантовой механике. У системы с несохраняющимся моментом в стационарных состояниях момент не имеет определенных значений. В таких случаях иногда представляет интерес среднее значение момента в данном стационарном состоянии. Легко видеть, что во всяком невырожденном стационарном состоянии среднее значение момента равно нулю.
Действительно, при изменении знака времени энергия не меняется, и поскольку данному уровню энергии соответствует всего одно стационарное состояние, то, следовательно,при замене 1 на — 1 состояние системы должно остаться 114 МОМЕНТ ИМПУЛЬСА Гл.
и' неизменным. Это значит, что должны остаться неизменными и средние значения всех величин, в частности момента. Но при изменении знака времени момент импульса меняет знак, и мы получили бы Ь = — Ь; отсюда следует, что 1 = О. Тот же результат можно получить и исходя из математического определения среднего значения 1 как интеграла от гр*Х г)). Волновые функции невырожденных состояний вещественны (см. конец 3 18). Поэтому выражение Ь = — й) 1" ЯО,'7,!)Ф11 а чисто мнимо, а поскольку 1 должно быть, разумеется, вегцествснной величиной, то Х = О.
Выясним правила коммутации операторов момента с операторами координат и импульсов. С помощью соотношений (16.2) легко находим (26.3) Так, Все соотношения (26.3) могут быть написаны в тензорном виде (1„хь) = ге,ь1х1, (26.4) где е,й1 антиснмметричный единичный тензор третьего ранга'), а по дважды повторяющимся «немым» индексам подразумевается суммирование. 1 ) Антисимметричный единичный тензор третьего ранга е,ы (называемый также единичным аксиальным тензором) определяется как тензор, антисимметричный по всем трем индексам, причем е111 = 1. Очевидно, что из 27 его компононт отличны от нуля только те 6, у которых индексы 1, А, 1 образуют какую-либо перестановку чисел 1, 2, 3. При атом компоненты равны +1, если перестановка 1, А., 1 получается из 1, 2, 3 четным числом парных перестановок чисел (транспозиций), и равны — 1 при нечетном числе транспозиций.
Очевидно,что еыег =231, еыеы =6 Компоненты вектора С = [АВ), являющегося векторным произведением двух векторов А и В, могут быть написаны с помощью тензора е,ы в виде С, = е.мААВ1. 11,У) =1, (1ю л) = зх, (1„,х) = гу, 1)с к) = — 1р, (1юх) = — зз, ()юд) = — гх. МОМЕНТ ИМПУЛЬСА 115 Легко убедиться, что аналогичные соотношения кохлмутации имеют место для операторов момента и импульса 11л,рь) = левнрь (26.
5) При помощи этих формул легко найти правила коммутации для операторов компонент момента друг с другом. Имеем п(лх1у 1у1х) = 1х(ерх ТРх) (еРх трх)1х = = (1хя — Е1х)рх — Л(1хрх — Р,1х) = — лУРх + глру аа ЛЦ,. Таким образоъл, С1у 1) =лХ С1 1 ) =лХу (1 Ху) =лХ (266) или 1Х', Хх) = О, 1Ь', Ху) = О, (Х'", Х,) = О. Действительно, используя (26.8), имеем, например, 1Х.Х,) = Х,л,Х..Х,)+ (~...й,)7„= -лЯ,Ху+ХУХ.), (Ху, Х.) = л(Х„Ху+ ХУХ.), ~Х'„Хх) = о. (26.10) 11„1ь) = лелц1ь (26.7) В точности такие же соотношения имеют место и для операторов Х„Ху, Х, полного момента системы. Действительно, поскольку операторы моментов различных частиц коммутативны друг с другом, то, например, 1ау ~~ 1ах ~ 1ах ~ 1ау — Я~1ау1ах 1ах1ау) — л ~~ 1ах. а а а а а а Таким образом, (Ту Тх) = л7* ллем",бх) = л7у (Хх,Ху) = лХУ.
(26.8) Соотнопления (26.8) показывают, что три компоненты момента не могут одновременно иметь определенные значения (за исключением только случая, когда все три компоненты одновременно равны нулю — см. ниже). В этом отношении момент существенно отличается от импульса, у которого три компоненты одновременно изалерихлы. Из операторов Х , Ху, Х, составиьл оператор квадрата абсолютной величины вектора момента: Х2 Х2+Х2+Х2 (26.9) Этот оператор коммутативен с каждым из операторов Х, Ху, 7,: МОМЕНТ ИМПУЛЬСА ГЛ. Г" Складывая эти равенства, получим последнее из соотношений (26.10) Физически соотношения (26.10) означают, что квадрат момента (т.
е, его абсолютная величина) может иметь определенное значение одновременно с одной из его составляющих. Вместо операторов 1 е, 1 е часто бывает удобнее пользоваться их комплексными комбинациями Х., = Х. + 1Х„, Х = Х. — ге,„. (26.11) Легко убедиться прямым вычислением с помощью (26.8), что для этих комбинаций справедливы следующие правила коммутации: (~~Ь, б ) = 2А „1О„А ) = ~е, 1О„А ) = — 1 .. (26.12) Нетрудно также проверить, что 1,2 т т +У2 т т т +12+ т (2618) Наконец, выпишем часто используемые выражения для оператора момента отдельной частицы в сферических координатах.
Вводя последние, согласно обычным соотноп|ениям х = тв1пдсовх, д = тв1пдв|пд, е = тсовд, получим после простого вычисления следующие выражения: д = — г —, дт' (26.14) ь;.т д . да 1А = е ""' ~ х — + г сад д — ) . дд дф (26.15) 11одставив их в (26.13), получим оператор квадрата момента ча- стицы в виде Обратим внимание на то, что это есть, с точностью до множите- ля, угловая часть оператора Лапласа. я 27. Собственные значения момента Для определения собственных значений проекции момента импульса частицы на некоторое направление удобно воспользоваться выражением для ее оператора в сферических координатах, выбрав полярную ось вдоль рассматриваемого направления. Согласно формуле (26.14) уравнение 1вф = 1,ф запишем в виде — г — = 1,ф.
(27.1) дт 117 ООВОТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ МОМЕНТА Его решение есть 1с = Х(т,й)еп'т, где ~(г,0) — произвольная функция от г и й. Для того чтобы функция 1й была одиозна зной, необходимо, чтобы она была периодична по сс с периодом 2я. Отсюда находим ') (27.2) 1, = т, гп = О,щ1,щ2,. Таким образом, собственные значения 1в равны положительным и отрицательным целым числам, включая значение нуль. Зависящий от сз множитель, характерный для собственных функций оператора Г„обозначим через (27.3) Эти функции нормированы так, что (27.4) Собственные значения -компоненты полного момента системы, очевидно, тоже равны положительным и отрицательным цеым чист м: Ь, = ЛХ, ЛХ = О, ~1, ~2,...
(27. 5) (это следует из того, что оператор Х, есть сумма коммутативных друг с другом операторов 7- для отдельных частиц). Поскольку направление оси е заранее ничем не выделено, то ясно, что тот же результат получится для Х в, Х ю и вообще для составляющей момента по любому направлению, все они могут принимать лишь целые значения.
Этот результат может показаться, на первый взгляд, парадоксальным, особенно, .если применить его к двум бесконечно близким направлениям. В действительности, однако, надо иметь в виду, что единственная общая собственная функция операторов Х„Хю Х, соответствует одновременным значениям в этом случае вектор момента импульса, а поэтому и его проекция на любое направление равны нулю. Если же хотя бы одно ') Общепринятое обозначение собственных значений проекпии момента буквой т — той же, которой обозначается и масса частицы,— фактически не может привести к недоразумениям. 118 момвпт нмпульол гл.
г" из собственных значений Х , Хю Х, отлично от нуля, то общих собственных функций у соответствующих операторов нет. Другими словами, нс существует такого состояния, в котором две или три составляющие момента по различным направлениям имели бы одновременно определенные (отличные от нуля) значения, так что мы можем говорить лишь о целочисленности одной из них. Стационарные состояния системы, отличающиеся только значением ЛХ, обладают одинаковой энергией .. это следует уже из общих соображений, связанных с тем, что направление оси я заранее ничем не выделено. Таким образом, энергетические уровни системы с сохраняющимся (отличным от нуля) моментом во всяком случае вырождены ') .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
