III.-Квантовая-механика (1109680), страница 24
Текст из файла (страница 24)
(107.14). 129 33О ЧЕТНОСТЬ СОСТОЯНИЯ Задача Усреднить тснзор п,пь — (1,>3)б,ь (где и — единичный вектор в направлении радиуса-вектора частицы) по состоянию с заданной абсолютной величиной вектора 1,но не его направлением (т.е,неопределенным 1,). Р е ш е н и е. Искомое среднее значение есть оператор, который может выражаться лишь через оператор 1. Ищем его в виде 1 1 — -- 2 п,пь — — д ь = а ~ 1,12 -~- 121, — — 6,2111 -~- Ц~; зто есть наиболес общий вид составленного из компонент ! симметричного тензора второго ранга с равным нулю следом. Для определения постоянной а, умножаем написанное равенство слева на!„и справа на!2 (с суммированием по >и к).Поскольку вектор и перпендикулярен к вектору б! --.'1гр), г г то п,1, =- О.
Произведение 1,1,1ь12 = (! ) заменяем его собственным значег 2 нием 1 (1+ Ц, а произведение 1,1ь1,1ь преобразуем с помощью соотношений кол>мутации (2б.7) следующим образом: 1,1ь1,1ь = 1,1,1„1„— ге,г>1 1>1ь = (! ) — — е,г>1,Я>12 — 1г1>) = 2 = (!')'+ -е,ь>егь 1,! = 1!')' -1' = 1'11 ь Ц' — 111-ь Ц 2 (мы воспользовались тем, что е,ые„,ы = 2б,„,).
После простого приведения получим в результате (21 — Ц (21 + 3) 3 30. Четность состояния Наряду с параллельными переносами и поворотами системы координат (инвариантность по отнопгению к которым выражает соответственно однородность и изотропию пространства) существует еще одно преобразование, оставляющее неизменным гамильтониан замкнутой системы. Это так называемое преобразование инверсии, заключающееся в одновременном изменении знака всех координат, т.е.
изменении направления всех осей на обратное; правовинтовая систеъга координат переходит при этом в левовинтовую, и наоборот. Инвариантность гамильтониана по отношеник> к этому преобразованию выражает собой симметрии> пространства по отношению к зеркальным отражениям') . В классической механике инвариантность функции Гамильтона по отношению к инверсии не приводит к каким-либо ) Инвариантен по отношению к инверсии также и гамильтониан системы частиц, находящихся в центрально-симметричном поле (причем начало координат должно совпадать с центром поля). 130 гл. Г" МОМЕНТ ИЛ1ПУЛЬСА новым законам сохранения.
В квантовой же механике ситуация существенно иная. Введем оператор инверсии Р '), действие которого на волновую функцию 1б(г) заключается в изменении знака координат: (30.1) Рф(г) = 1(з( — г). Легко найти собственные значения Р этого оператора, определяемые уравнением (30.2) РФ(г) = РФ(г) Для этого замечаем, что двукратное воздействие оператора инверсии приводит к тождеству аргументы функции вообще не меняются. Другими словами, имеем Р~у1 = Р~ф = л)1, т.е. Рй=1, Р= ш1.
(30.3) Таким образом, собственные функции оператора инверсии либо не меняются вовсе под его воздействием, либо меняк>т свой знак. В первом случае волновую функцию (и соответствующее состояние) называют четной, а во втором нечетной. Инвариантность гамильтониана по отношению к инверсии (т.е. коммутативность операторов Й и Р) выражает собой, следовательно1 закон сохранения чегпности: если состояние замкнутой системы обладает определенной четностью (т.
е. если оно четно или нечетно), то эта четность сохраняется со временем') . По отношению к инверсии инвариантен также и оператор момента: инверсия лленяет знак как координат, так и операторов дифференцирования по ннм, а потому оператор (26.2) остается неизменным. Другими словами, оператор инверсии коммутативен с оператором момента, а это значит, что система может обладать определенной четностью одновременно с определенными значениями момента 1 и его проекции 1ЕХ.
При этом можно утверждать, что все состояния, отличающиеся только значением ЛХ., обладают одинаковой четностью. Это обстоятельство очевидно уже из независимости свойств замкнутой системы от ее ориентации в пространстве, а формально может быть доказано исходя из коммутации Х ьР— Рй.ь — — 0 тем же путем, каким было получено (29.3) нз (29.2). 1 ) От английского слова рагллу — четность. ~) Во избежании недоразумений напомним, что речь идет о нерелятивистской теории. В природе существуют взаиллодействия (рассматриваемые в релятивистской теории), нарушающие сохранение четности.
131 чвтность состояния истинные сквляры: я — + я, и — «и, (30.4) псевдоскаляры: а — «и, и — + д, Эти правила можно получить и другим способом, прямо из определения матричных элементов. Рассмотрим, например, интеграл )„х — — )»1«*Щ~кЩ где функция 1~~к-- четна, а У«„ нечетка. При изменении знака всех координат подынтегральное выражение меняет знак, если 1 есть истинный скаляр: с другой стороны, интеграл, взятый по всему пространству, не может измениться от изменения обозначения переменных интегрирования Отсюда следует> «то ~«к — ~«к т е ° ~«к — 0 Аналогичным образом можно получить правила отбора для векторных величин. При этом надо помнить, что обычные, полярные, векторы при инверсии меняют знак, а аксиальныс векторы при этом преобразовании не меняются (таков, например, вектор момента — векторное произведение двух полярных векторов р и г).
Учтя это, найдем правила отбора: я — «и, К вЂ « Ы: и «д, и †«и. полярные векторы: аксиальные векторы: (30.5) Определим четность состояния одной частицы с моментом 1. Преобразование инверсии (т — « — х, у -+ — у, г — « — с) состоит, Для матричных элементов различных физических величин существуют определенные правила отбора по четности. Рассмотрим сначала скалярные величины. При этом надо различать истиипыс скаллры не меняютисся вовсе при инверсии, и псевдоскаллры — величины, меняющие знак при инверсии (псевдоскаляром является скалярное произведение аксиального и полярного векторов). Оператор истинного скаляра 1 коммутативен с Р, отсюда следует, что если матрица Р диагональна, то и матрица 1 диагональна по индексу четности, т.
е. отличны от нуля матричные элементы только для переходов я — «а и и — + и (индексы я и и означают соответственно четные и нечетные состояния). Для оператора же псевдоскалярной величины имеем Р1 = — 1Р; операторы Р и г' «антикоммутативны»ч Матричный элемент этого равенства для перехода д -+ д есть Р 1 = — ~кР и поскольку Рк — — 1, то 1 = 0; таким же образом находим, что и «„= О. Таким образом, матрица псевдоскалярной величины имеет отличные от нуля элементы только для переходов, с изменением четности.
Итак, правила отбора для матричных элементов скалярных величин: 132 ГЛ. Г МОМЕНТ ИМПУЛЬСА для сферических координат, в преобразовании à — >Г, 0 — э7à — В, У +Ф+1т. (30.6) Зависимость волновой функции частицы от углов задается сферической функцией г'"ьп, которая, с точностью до несущественной для нас здесь постоянной, имеет вид Р, (соэд)е' т.
При замене ~р на д + я множитель ее~в умножается на ( — 1)т, а при замене 0 на л — д Р~~(сов6) переходит в Р~~( — соэд) ( — 1)' Р, (соэд). Таким образом, вся функция умножится на число ( — 1) (не зависящее от т, в согласии со сказанным выше), т. е, четность состояния с данным значением 1 есть Р = ( — 1)'. (30.7) Мы видим, что все состояния с четным 1 четны, а с нечетным 1 нечетны. Векторная физическая величина, относящаяся к отдельной частице, может иметь матричные элементы лишь для переходов с 1 — + 1, 1ш 1 Я 29). Имея это в виду и сопоставляя формулу (30.7) со сказанным выше относительно изменения четности в матричн1 ях элементах векторов, мы приходим к выводу, что матричные элементы векторных величин, относящихся к отдельной частице, отличны от нуля только для переходов: полярные векторы: 1 — + 1 х 1, (30.8) аксиальные векторы: я 31.
Сложение моментов Рассмотрим систему, состоящую из двух слабо взаимодействующих частей. При полном пренебрежении взаимодействием для каждой из них справедлив закон сохранения момента импульса, а полный момент Ь всей системы можно рассматривать как сумму моментов Ь1 и Ьэ ее частей. В следующем приближении при учете слабого взаимодействия законы сохранения 11 и 1 э уже не выполняк>тся строго, но определяющие их квадраты чисел Ь1 и 1 в остаются «хорошими» квантовыми числами, пригодными для приближенного описания состояния системы. Наглядно, т.е. рассматривая моменты классически, можно сказать, что в этом приближении Ь1 и 12 вращаются вокруг направления 1, оставаясь неизменными по величине. В связи с рассмотрением таких систем возникает вопрос о законе сложения моментов.
Каковы возможные значения Т при заданных значениях 1 1 и О2? Что касается закона сложения для 133 слОжение мОментОВ проекций момента, то он очевиден: из Х, = Х1, + Ь2, следует, что и ЛХ' Мз ЛХ Лг Лг Хг — 1 Лз ~2 — 1 12 Лг — 1 Хг ХΠ— 2 ь2-1 Х вЂ” 2 Хз Мы видим, что наибольшее возможное значение ЛХ есть М = = Ь1+ Ь2, причем ему отвечает одно состояние д (одна пара значений ЛХ1, ЛХ2). Поэтому и наибольшее возможное значение ЛХ в состояниях 1г, а следовательно, и наибольшее Ь, есть Ь1 + Ь2. Далее, имеются два состояния р с ЛХ = Ь1+Ь2 — 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
