III.-Квантовая-механика (1109680), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Уравнение же (4) имеет один корень (при верхнем знаке в правой части), равный ( — (1/Э)(1 — 1/гт~). Таким образом, в яме имеется всего один уровень энергин та Ее = Но — Но гйг расположенный вблизи ее «верха». 3. Определить давление, оказываемое на стенки прямоугольного «потенциального ящикаь находящейся в нем частицей. Р е щ е н и е. Сила, действующая на стенку, перпендикулярную к оси х, есть среднее значение производной — ОН(да от гамильтоновой функции частицы по длине ящика вдаль оси х; давление жг получается делением этой силы на площадь Ьс стенки. Согласно формуле (11.16) искомое среднее значение находится дифференцированием собственного значения энергии (22.9). В результате получим давление г М,;ей г р тазЬс 9 23.
Линейный осциллятор Рассмотрим частицу, совершающую одномерные малые колебания (так назьгваемый линейный осцилллтор). Потенциальная энергия такой частицы равна пнлгхг(2, где аг - в классической механике собственная частота колебаний. Соответственно этому, гамильтониан осциллятора Й= — "+ (23.1) Поскольку потенциальная энергия обращается в бесконечность при х = жоо, то частица может совершать лишь финитное движение. В соответствии с этим весь энергетический спектр осциллятора будет дискретным.
Определим уровни энергии осциллятора с помощью матричного метода'). Будем исходить из уравнений движения в форме (19.3); в данном случае они дают х+аг х = О. (23.2) В матричном виде это уравнение имеет вид (х)тн + аг хт = 9. г ) Это было сделано Гейзенбергом (1926) еще до открытия Шредингером волнового уравнения. 96 ГЛ. и1 УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА Для матричных элементов ускорения имеем, согласно (11.8), (х) „= гш п(х) „= — ш „х „. Поэтому получаем (Ш~дп Ш )Хгпп — 0. Отсюда видно, что равны нулю все матричные элементы х„„,, за исключением тех, ДлЯ котоРых шшп = шю. ПРонУмеРУем все стационарные состояния таким образом, чтобы частоты шш соответствовали переходам и — э п д- 1, т.е. ш„„чл = шш.
Тогда отличными от нуля матричными элементами будут лишь х„„хь Будем предполагать, что волновые функции ~„выбраны вещественными. Поскольку х есть величина вещественная, то такими же будут и все матричные элементы х „. Условие эрмитовости (11.10) приводит теперь к тому, что матрица х симметрична: Хтп — ХЕГп Для вычисления отличных от нуля матричных элементов координаты воспользуемся правилом коммутации .й хх=хх= — г —, ГП написав его в матричном виде гб (хх) „— (хх) „= — — б „.
С помощью правила умножения матриц (11.12) имеем отсюда для т = п ,2 г'~ (ш„~хмхш — хмшшхш) = 21 АР шмхЫ вЂ” — — г —. т В этой сумме отличны от нуля только члены с 1 = п ш 1, так что получаем (х„Р1 „) — (х„„1) (23.3) Из этого равенства видно, что величины (х„э~„) образу- 2 ют арифметическую прогрессию, неограниченную сверху, но непременно ограниченную снизу, так как в ней могут содержаться только положительные члены.
Поскольку мы пока установили только относительное расположение номеров состояний п, но не их абсолютные значения, то мы можем произвольно выбрать значение п, соответствующее первому — нормальному— состоянию осциллятора. Положим его равным нулю. Соответственно этому хе 1 надо считать тождественно равным нулю, 97 линейнь1Й Осциллятов и последовательное применение уравнений (23.3) с п = О, 1,... приводит к результату: 2 пл (х , -1) = 2тпы Таким образом, окончательно получаем следук1щее выражение для отличных от нуля матричных элементов координаты'): Гб Хп,п — 1 Хп — 1,п ~( ~( 2пке (23.4) Матрица оператора Й диагональна и матричные элементы Н„„представляют собой искомые собственные значения энергии Е„осциллятора.
Для их вычисления имеем пзр2) + 2~ 2) тп 1к — ~ . = — ~ху га1„1х 1и11„х1„+ы р х„1х1п1 = — у (оз +о1 1)х1 . 2 с ! 2 в п' В сумме по 1 отличны от нуля только члены с 1 = их 1; подста- вляя (23.4), получаем Е„= (и+ 1/2)йоз, и = 0,1,2,... (23.5) Таким образом, уровни энергии осциллятора расположены через равные интервалы Бсо. Энергия нормального состояния (и = 0) равна йо1/2; подчеркнем, что она оказывается отличной от нуля. Результат (23.5) можно получить и путем решения уравнения Шредингера. Это уравнение для осциллятора имеет вид , + —,(Š— ™м х )гд = О. (23.6) Здесь удобно ввести вместо координаты х безразмерную пере- менную ( согласно соотношению (23.?) ) Мы выбираем неопределенные фазы о„(см.
примеч. на с. 52) таким образом, чтобы получить во всех матричных элементах (23.4) знак + перед корнем. Такой выбор всегда возможен для матрицы, в которой отличны от нуля только элементы для переходов между состояниями с соседними номерами. 98 УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА ГЛ. П! Тогда получим уравнение Фл+( —" — 1')Ф=О. (23.8) (Здесь штрих означает дифференцирование по (.) При болыпих ~ можно опустить 2Е/Ь р по сравнению с ~в; уравнение фе = Г ф имеет асимптотические интегралы ф -ь р,р2 = е~~ р . (Дифференцирование этой функции действительно дает, при пренебрежении членами более низкого порядка по с, вр" = с ур.) Поскольку волновая функция ф должна оставаться при ~ = шос конечной, то в показателе должен быть выбран знак минус.
В связи с этим естественно сделать в уравнении (23.8) подстановку Ф = ' !'х(с). (23.9) Для функции ~(~) получаем уравнение (вводим обозначение 2Е(йш — 1 = 2п; поскольку нам заранее известно, что Е > О, то п > — 1Р2) ~Š— 2~~' + 2пт = О, (23.10) причем функция у должна быть конечной при всех конечных с, а при с = шоо может обращаться в бесконечность пе быстрее конечной степени ( (так, чтобы функция ф обращалась в нуль).
Такие решения уравнения (23.10) существуют лишь при целых положительных (включая значение нуль) значениях числа п (см. 3 а математических дополнений); это даст для энергии известные уже нам собственные значения (23.5). Соответствующие различным целым значениям п решения уравнения (23.10) имеют вид 4~„(Х) дл = 1, получим (см. (а.7)) РД*) = ( — ) ' ° р(- — "*') и„( l — ). РРз.РР) у = сопэ1 Н„(с), где Н„(Г.) так называемые полиномы Эрмита, представляющие собой полиномы п-й степени по (, определяемые формулой — р Н.В =(- )Ве'""-.' р1с" (23.11) Определяя сопвФ так, чтобы функции рг„удовлетворяли условию нормировки 99 линейный Осциллятог Так, волновая функция нормального состояния есть гро(х) = (™~) схр( — ™~х ).
(23. 13) Как и следовало ожидать, она не имеет нулей при конечных х. -~. оо Вычисляя интегралы ) гд„1ггп(Н(, можно определить матричные элементы коордийаты; такое вычисление приводит, разумеется, к тем же значениям (23.4). В заключение покажем, каким образом можно вычислить волновые функции гд„матричным методом. Замечаем, что в матрицах операторов х х Ймх отличны от нуля только элементы (х — и ~х)„1 „= — (х+ и~х)в в 1 = — г .
(23.14) Исходя из общей формулы (11.11) и учитывая, что гр 1 = О, получаем Фйс пгы = — — ХФо, Дх 6 нормированное решение которого есть (23.13). Далее, поскольку (Х + ИИХ)Г)Г„ 1 = (Х + НСХ)ав 1Г)Зв = г получаем рекуррентную формулу и-кратное применение которой к функции (23.13) приводит к вы- ражению (23.12) для нормированных функций гр„.
Задачи 1. Определить распределение вероятностей различных значений импульса для осциллятора. Р е ш е н и е. Вместо того чтобы разлагать волновую функцию стационарного состояния по собственным функциям импульса, в случае осциллятора проще исходить непосредственно из уравнения Шредингера в импульсном представлении.
Подставляя в (23.1) оператор координаты (15.12) (х — 7озх)фо = О. .6 л После подстановки выражения х = — 4 — — получаем отсюда пг <Ь уравнение гл. ш УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА х = — 26ауар, получим гамильтониан в импульсном представлении ть26 д Й= 2т 2 Ыр Соответствующее уравнение Шредингера Йа(р) = Еа(р) для волновой функции а(р) в импульсном представлении будет иметь вид д~а(р) 2 ( р2 '1 — + — — — ~Š— — — ]а(р) =О. др пас~6~ 'у 2т! Это уравнение — в точности такого же вида, как и (23.6); поэтому его решения могут быть написаны непосредственно по аналогии с (23.12). Таким образом, находим искомое распределение вероятностей в виде 2 г1р 1 2.
Определить нижний предел для возможных значений энергии осциллятора с помощью соотношения неопределенности (16.7). Р е ш с н и е. 3амечая, что хз = хэ .~- (ах)2, р2 =- рэ + (ар)2 и используя (16.7), имеем для среднего значения энергии осциллятора 2 2 2 2 2 ты —,+ р' > ты (б ), + 1 (б ), > ты'6 Ю 2 2т 2 2гп 8(ор) 2т Найдя минимальное значение этого выражения (как функция от бр), получим нижний предел для средних, а потому и для всех вообще возможных значений энергии; Е > йга/2. 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
