III.-Квантовая-механика (1109680), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Таким образом, состояние системы, не обладающей волновой функцией, может быть описано матрицей плотности. Матрица плотности не содержит координат д, не относящихся ) Для того чтобы 41(д,т) распалось (в данный момент времени) на такое произведение, измерение, в результате которого было создано данное состояние, должно полным образом описывать рассматриваемую систему и остальную часть замкнутой системы в отдельности.
Для того же чтобы Ф(д, т) продолжало иметь такой внд в будугдне моменты времени, необходимо также, чтобы зги части замкнутой системы не взаимодействовали друг с другом (см. З 2). Ни то, ни другое нами теперь не предполагается. где интегрирование производится только по координатам д; ее называют матрицей плотности системы. Из определения (14.2) очевидно, что она обладает свойством «эрмитовости» МАТРИЦА ПЛОТНООТИ к данной системе, хотя, разумеется, по существу зависит от состояния замкнутой системы в целом. Описание с помощью матрицы плотности является наиболее общей формой квантовомсханического описания систем. Описание же с помощью волновой функции является частным случаем, отвечающим матрице плотности вида р(х, х') = Ф(х)Ф'(х').
Между этим частным случаем и общим случаем имеется следующее важное различие. Для состояния, обладающего волновой функцией (такое состояние называют чистым), всегда существует такая полная система измерительных процессов, которые приводят с достоверностью к определенным результатам (математически это означает, что Ф есть собственная функция какого-либо оператора). Для состояний же, обладающих лип1ь матрицей плотности (их называют сметцанными), не существует полной системы измерений, которые приводили бы к однозначно предсказуемым результатам. Предположим, что рассматриваемая система замкнута или стала таковой, начиная с некоторого момента времени; выведем уравнение, определяющее изменение ее матрицы плотности со временем, аналогичное волновому уравнению для Ф-функции.
Вывод можно упростить, заметив, что искомое линейное дифференциальное уравнение для р(х, х, 1) должно удовлетворяться и в том частном случае, когда система обладает волновой функцией, т. е. р(х, х', 1) = Ф(х, 1) Ф'(х',1). Дифференцируя по времени и воспользовавшись волновым урав- нением (8.1), имеем др . А р дт(х,~) . дФ*(х'Д) = Ф*(х', $)ЙФ(х, 1) — Ф(х, 1) Й'*Ф*(х', 1), где Й -- гамильтониан системы, действующий на функции от х, а Й тот же оператор, действующий на функции от х .
Функции Ф*(х', 1) и Ф(х, 1) можно ввести под знаки операторов соответственно Й и Й', и, таким образом, получим искомое уравнение Пусть Ф„(х,1) — волновые функции стационарных состояний системы, т.е. собственные функции гамильтониана. Разложим матрицу плотности по этим функциям; разложение ГЛ. П ЭНЕРГИЯ И ИМПУЛЪО представляет собой двойной ряд Р(х,х,1) = 2 "з аи,„т„(х,с)1Р (х,1) = 1П И ~1 а„,„ф„*(х')ф„,(х) ехр( — (Еи — Е )1) .
(14.6) Это разложение играет для матрицы плотности роль, аналогичную роли разложения (10.3) для волновых функций. Вместо совокупности коэффициентов аи мы имеем здесь двойную совокупность коэффициентов а „. Эти величины обладают, очевидно, как и сама матрица плотности, свойством эрмитовости (14. 7) Для среднего значения некоторой величины у имеем, подставляя (14.6) в (14.4): или Т=,'» ~~1 а „у„(1)=~~ ~~1 а „2"„ехр( — (Еи — Е )12, (14.8) 1П и где (ию - — матРичные элементы величины 7.
Это выРажение аналогично формуле (11.1) ') . Величины а „должны удовлетворять определенным неравенствам. «Диагональные элементы» р(х,х) матрицы плотности, определяющие распределение вероятности для координат, должны, очевидно, быть величинами положительными. Из выражения (14.6) (с х' = х) поэтому следует, что построенная на коэффипиентах а „квадратичная форма вида ЕЕ -ип тп (где с„произвольные комплексные величины) должна быть существенно положительной.
Это накладывает на величины а„„, известные из теории квадратичных форм условия. В частности, должны быть положительными все диагональные элементы (14.9) а„„> О., ) Величины а „составляют матрицу плотности в энергетическом представлении. Описание состояний системы с помощью такой матрицы было введено независимо Ландау и Блохом (Г. Б1осЬ) в 1927 г. 215 ИМПУЛЬС а каждые три величины а„„, а,, а „должны удовлетворять неравенству (14.10) «Чистому» случаю, в котором матрица плотности сводится к произведению функций, соответствует матрица а „вида а,„„=а а„. (14.11) Укажем простой критерий, позволяющий легко определить по матрице а „имеем ли мы дело с «чистым» или «смешанным» состоянием.
В чистом случае имеем ( ) 2« а )Ма = ~а«аваЬП = 2 а1,,а, ааав = аа«аа р ~ав~ = а,„а ь ь ь или 2 1а) „=а т. е. квадрат матрицы плотности совпадает с ней самой. (14. 12) ~ 15. Импульс т1(Г1 + 11Г, Г2 + сг,... ) ~Ф(Г1, Г2,... ) + Пг Е 57аФ = а (17, оператор дифференцирования по г,). Выражение 1+ дг~~» 17, а Рассмотрим замкнутую систему частиц, не находящуюся во внешнем поле. Поскольку все положения такой системы как целого в пространстве эквивалентны, то можно утверждать, что гамильтониан системы не изменится при параллельном переносе системы на произвольное расстояние. Достаточно потребовать выполнения этого условия для произвольного бесконечно малого смещения; тогда оно будет выполняться и для всякого конечного смещения.
Бесконечно малое параллельное смещение на расстояние аг овна 1ает преобразование, при котором радиусы-векторы г, всех частиц (а номер частицы) получают одинаковое приращение аг: г » г, + аг. Произвольная функция у1(Г1, г2,... ) координат частиц при таком преобразовании переходит в функцию ЭНЕРГИЯ И ИМПУЛЪС ГЛ. И есть оператор бесконе шо малого переноса, переводящий функцию 1У(гмг2,...
) в функцию »г(г~ + бг,гз+ бг,...). Утверждение, что некоторое преобразование не меняет гамильтониана, озна 1ает, что если произвести это преобразование над функцией Йф, то результат будет таким же, как если произвести его только над функцией 010 и лишь затем применить к ней оператор Й. Математически это может быть записано следующим образом. Пусть О есть оператор, «производящий» рассматриваееюс преобразование. Тогда имеем О(Йу0) = Й(,Оф), откуда ОЙ вЂ” ЙО = О, т.е.
гамильтониан должен быть коммутативен с оператором О. В данном случае оператором О является оператор бесконечно малого переноса. Поскольку единичный оператор (оператор умножения на 1) коммутативен, конечно, со всяким вообще оператором, а постоянный множитель бг может быть вынесен из-под знака Й, то условие ОЙ вЂ” ЙО = О сводится здесь к условию (~Р,)У вЂ” Я(Т Р,) =0. (10.Ц Как мы уже знаем, коммутативность некоторого оператора (не содержащего времени явно) с гамильтонианом означает, что соответствующая этому оператору физическая величина сохраняется. Величина, сохранение которой для замкнутой системы следует из свойства однородности пространства, есть импульс системы (ср.
1, з 7). Таким образом соотношение (15.1) выражает собой закон сохранения импульса в квантовой механике; оператор 2 »1, должен соответствовать, с точностью до постоянного множителя, полному импульсу системы, а каждый из членов суммы импульсу отдельной частицы. Коэффициент пропорциональности между оператором импульса р и оператором у' может быть определен с помощью предельного перехода к классической механикс и равен -16: р = — 16070 (15.2) или в компонентах: д . д — . д р, = -16 —, ру —— -г6 —, р, = -г6 —. д*' " ду' д« Действительно, воспользовавшись предельным выражением волновой функции (6.1), имеем РФ = — 16 — 0РС75 = Ф17Я, з 15 ИМПУЛЬС т.
е. в классическом приближении действие оператора р сводится к умножению на 175. Но градиент действия и есть классический импульс частицы р (см. 1, з 43). Легко убедиться в том, что оператор (15.2), как и следовало, эрмитов. Действительно, для произвольных функций гд(л) и ьз(х), обращающихся на бесконечности в нуль, имеем ррхгдйх = — г6~ ез — Йх = 4Т~~ гд — с(х = ~ фр,~рйх, дх / дх что и является условием эрмитовости оператора. Поскольку результат дифференцирования функций по двум различным переменным не зависит от порядка дифференцирования, то ясно, что операторы трех компонент импульса коммутативны: рхРу РуРх = О, Рхрх — Рхрх = О, рурк — р,ру — — О. (15.3) Это значит, что все три компоненты импульса частицы могут одновременно иметь определенные значения. Найдем собственные функции и собственные значения операторов импульса.
Они определяются векторным уравнением — г6~7~ = рф. (15.4) Его решения имеют вид гд = сопз1 е'р"у . (15.5) Одновременное задание всех трех компонент импульса полностью определяет, как мы видим, волновую функцию частицы. Другими словами, величины рх, ру, р, составляют для частицы один из возможных полных наборов физических величин. Их собственные значения образуют непрерывный спектр, простирающийся от — со до сс.
Согласно правилу нормировки собственных функций непрерывного спектра (5.4) интеграл ( ф*,барс(Ъ", взятый по всему пространству (Л' = Йхдрдг), должен быть равен 6-функции 6(р' — р) ') . По причинам, которые станут ясными из дальнейших применений, более естественна, однако, .нормировка собственных функций импульса частицы на 6-функцию от разности импульсов, деленных на 2н6: ') Дельта-функция от векторного аргумента а (трехмерная 6-функция) определяется как произведение 6-функций от каждой из компонент вектора: 6(а) = 6(а,)6(а„)6(а,). гл.
и ЭНЕРГИЯ И ИМПУЛЪО или гто то же., Г «)«"',«др Л' = (27г6)~о(р' — р) (15.6) (поскольку каждый из трех множителей, на которые распадается трехмерная б-функция, о)(р' — рв)/(2Я6))=2я65(р' — р,) и т. п.). Интегрирование производится с помощью формулы') — е' ~0~ = о(с«). 2н Из нее очевидно, что для нормировки, согласно (15.6), в функциях (15.5) надо положить сопв1 = 1'): зрг/5 (15.8) Разложение произвольной волновой функции ф(г) по собственным функциям ее импульса представляет собой не что иное, как разложение в интеграл Фурье; (с1зр = с«р,др„др,). В соответствии с формулой (5.3) коэффициенты разложения равны а(р) = ф(г)ф„*(г) ~Л' = у«(г)е 'Ро ~ЙК (15.10) Функцик> а(р) можно рассматривать (см. 85) как волновую функцию частицы в импульсном представлении: 1э /а(р) / вероятность импульсу иметь значения в интервале ол р.
(15.7) ) Условный смысл этой формулы состоит в том, что функция, стоящая в левой части равенства, обладает присущим д-функции свойством (5.8). Действительно, подставив функцию 5(т — а), выраженную в виде (15.7), в (5.8), получим известную интегральную формулу Фурье у( )--Оу( ) и' — "Ж Обратим внимание на то, что при такой нормировке плотность вероятности ~ф =- 1, т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
