III.-Квантовая-механика (1109680), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Ввиду связи в с оператором бесконечно малых поворотов, это значит, что волновая функция частицы с нулевым спинам не меняется при поворотах системы координат, т.е.является скалярам. Волновая функция частицы со спинам 1/2 имеет две компоненты: ф(1/2) и ф( — 1/2). Для удобства дальнейших обобщений будем отличать эти компоненты соответственно индексами 1 и 2, написанными у буквы сверху; двухкомпонентную всличину (56.1) называют спинором. При произвольном повороте системы координат компоненты спинора подвергаются линейному преобразованию ф1 = аф1+ Ьфз, ф2 = сф1+г1ф~. (56.2) Кго можно записать в виде ,л' Юх О (а Ь) (56.3) где 0 - матрица преобразования ') . Элементы этой матрицы, вообще говоря, комплексны и являются функциями углов поворота осей координат. Они связаны друг с другом соотношениями, непосредственно следующими из физических требований, предъявляемых к спинору, как к волновой функции частицы.
Рассмотрим билинейную форму ф1 2 ф2 1 (56.4) где ф и 1р два спинора. Простое вычисление дает фп:р — ф сз = (ай — Ьс)(ф 1р — ф 1р ), т.е. величина (56.4) при повороте системы координат преобразуется сама через себя. Но если имеется всего одна преобразующаяся сама через себя функция, .то она может рассматриваться ) Запись Оф предполагает перемножение строк матрицы 0 со столбцом ф.
равен нулю. Отсюда следует, что (в,)ют' выражается через более низкис степени оператора а,, так что независимыми являются лишь его степени от 1 до 2з. 259 2бб спиноеы как соответствующая спину нуль и, следовательно, должна быть скаляром, т. е. должна вообще оставаться неизменной при поворотах системы координат. Отсюда получаем равенство пс1 — Ьс = 1: (56.5) определитель матрицы преобразования равен единице') . Дальнейшие соотношения возникают из требования, чтобы было скаляром выражение 1'М'*+ Ф'Фй*, (56.6) определяющее вероятность нахождения частицы в данной точке пространства.
Преобразование, оставляющее инвариантной сумму квадратов модулей преобразуемых величин, есть унитарное преобразование, т. е. должно быть (7 Р = 0 1 (см. 8 12). При условии (56.5) обратная матрица Приравняв ее сопряженной матрице Ь* найдем соотношения а=с1, Ь= — с*. (56.7) В силу соотношений (56.5) и (56.7) четыре комплексные величины а, Ь, с, и' содержат в действительности всего три независимых вещественных параметра, что соответствует трем углам, определяющим поворот трехмерной системы координат. Сравнив выражения скаляров (56.4) и (56.6), мы видим, что величины ф1*, ф2* должны преобразовываться как ~~2, — й)1; легко проверить, что в силу соотношений (56.5) и (56.7) зто действительно так'). Алгебре спиноров можно придать форму, аналогичную тензорной алгебре.
Это достигается введением, наряду с контра- вариантными компонентами спинора 1Р', у1 (индексы сверху), ) Такое преобразование двух величин называют бинарным. ) Это свойство тесно связано с симметрией по отношению к обращению времени. Последнему соответствует (см. 8 18) замена волновой функции на ее комплексно сопряженную. Но при обращении времени меняют знак также и проекции момента.
Поэтому функции, комплексно сопряженныо компонентам ф' =: ф(1/2) и т~ = ф( — 1/2), по своим свойствам должны быть эквивалентны компонентам, отвечающим соответственно проекциям спина -1/2 и 1/2. 260 гл сп1 анин также и коварионптых компонент (индексы снизу) согласно определению Ф1 = У)', Ф2 = — 4~' (56.8) Инвариантная комбинация двух спиноров (56.4) запишется тогда в виде скалярного произведения ~~ул = ~~~р1+ ф~д2 = ф~~р2 — ф~~р~; (56.9) здесь и ниже по дважды повторяющимся (немым) индексам подразумевается суммирование подобно тому, как это принято в тензорной алгебре. Заметим следующее правило, которое надо иметь в виду в спинорной алгебре. Имеем фаул = у)~ со1+ ф~у2 = = — 4'2'Р— 4'1ф', т.
е. Флдл = -Млел. (56.10) Отсюда очевидно, что скалярное произведение всякого спинора самого на себя равно нулю: ФлФл = О. (56.11) Согласно сказанному выше величины ~м ф2 преобразуются как ф~*, ф~*, т.е. 1рл = (б 4)л. (56.12) Произведение бс*~ можно написать также и в виде фо' " с транспонированной матрицей ь". Ввиду унитарности матрицы 0 имеем О* = ы' 1, так что ф~ — — фО 1)л или') (56.13) Подобно переходу от векторов к тензорам в обычной тензорной алгебре, можно ввести понятие о сиинорах высших рингов.
Так, спинором второго ранга назовем четырехкомпонентную величину ало, компоненты которой преобразуются как произведения ф ул компонент двух спиноров (спиноров первого ранга). Наряду с контравариантными компонентами ф~" можно рассматривать ковариантные ало и смешанные фл" компоненты, преобразующиеся соответственно как ~лу„и ~л~р". Аналогичньпл образом определяются спиноры любого ранга. 1 ) Запись вида фУ (ф слева от У) означает перемножение расположенных в строку компонент (фы фз) со столбцами матрицы О. 556 спиновы Переход от контра- к ковариантным компонентам спиноров и обратно можно представить в виде 7(~л = ал Фр Фл = ар«М (ели) (в« ) ( — 01 0) (56.14) где (56.15) ) Заметим, что матрица (56Л5) совпадает с 1й„.
.— «сегирический спинор в векторном пространстве двух измерений') . Таким же образом имеем, например, ФЛ = Ь«ы'т' ~ 4'Лр = К«иаира так что 1р«з = — «51 = — «йз1, 1(11 = 1р1 = ф и т. и. Сами длр составлЯют антисимметРичный еДиничный спиноР второго ранга. Легко убедиться в том, что при преобразованиях координат его компоненты остаются неизменными и что ал.а" =6л, (56.16) где 51 — — д,, = 1, бзл — — 61 = О. Как и в обычной тензорной алгебре, в спинорной алгебре имеются две основные операции умножение и упрощение (или свертывание) по паре индексов. Умножение двух спиноров дает спинор более высокого ранга; так, из двух спиноров второго и третьего рангов и 1рл„и 1( Р можно образовать спинор пятого ранга ~~лрф" . Упрощение по парс индексов (т.е, суммирование компонент по одинаковым значениям одного ко- и одного контравариантного индексов) понижает ранг спинора на две единицы.
Так, упрощение спинора флр~' по индексам д и и дает спиноР тРетьего Ранга ф«НРР, УпРошение спиноРа фЛ" Дает скаляр у1« . При этом имеет место правило, аналогичное выра« жаемому формулой (56.10): если переменить положения (верхнее и нижнее) индексов, по которым производится упрощение, то изменится знак величины (т. е, ф«~ = — ф «). Отсюда, в частно« л сти, следует, что если спинор симметричен по каким-либо двум своим индексам, то в результате упрощения по этим индексам получим нуль.
Так, для симметричного спинора второго ранга 1рл имеем ч«л = О. л Симметричным сппнором и-го ранга назовем спинор. симметричный по всем своим индексам. Из асимметричного спинора можно составить симметричный спинор путеы симметризации суммированием компонент, получающихся при всех возможных перестановках индексов. В силу сказанного выше из компонент 262 гл. гш авив симметричного спинора невозможно составить (путем упрощения) спинор более низкого ранга. Что касается антисимметричного (по всем своим индексам) спинора, то таковым может быть только спинор второго ранга.
Действительно, поскольку каждый индекс может пробегать всего два значения, то при трех или большем числе индексов по крайней мере два индекса будут иметь одинаковые значения, а потому компоненты спинора тождественно обратятся в нуль. Всякий антисимметричный спинор второго ранга сводится к скаляру, умноженному на единичный спинор ялр.
Отметим здесь следующее, вытекающее из сказанного, соотношение: ал(Аи+% Фл+а~лФр = 6: (56.17) где фЛ произвольный спинор; это правило является следствием просто того, что стоящее в левой части равенства выражение представляет собой (как легко проверить) антисимметричный спинор третьего ранга. СпиноР, составленный как пРоизвеДение спиноРа флр на самого себя, упрощенный по одной паре индексов, антисимметричен по другой; действительно, ~Ли~р = ФЛ Мри. Поэтому в силу сказанного выше этот спинор должен сводиться к спиноРУ Ялр, УмножснномУ на скалЯР. ОпРеДелЯЯ послеДний так, чтобы упрощение по второй паре индексов давало правильный результат, найдем ФЛ ~Фр' = — Я2~Фр 4 8лр.
(56.18) Компоненты спинора ф*„, комплексно сопряженного со спинором флр, преобразуются как компоненты контравариантного спинора длр", и наоборот. Сумма квадратов модулей компонент любого спинора является, следовательно, инвариантом. 5 57. Волновые функции частиц с произвольным спином Развив формальную алгебру спиноров произвольного ранга, мы можем перейти к нашей непосредственной задаче изучению свойств волновых функций частиц с произвольным спином. К этому вопросу удобно подойти, рассматривая совокупность п частиц со спином 1/2. Максимальное возможное значение в-компоненты полного спина системы равно и/2, что получается, когда для каждой из частиц в, = 1/2 (все спины направлены в одну сторону — вдоль оси я).
В этом случае можно утверждать, что и полный спин Я системы равен и/2. З 57 ВОЛНОВЫЕ ФУНКЦИИ "1АСТИЬ1 С ПРОИЗВОЛЬНЫМ СПИНОМ 263 Все компоненты волновой функции ф(см 1тэ,..., О в) системы частиц равны при этом нулю, за исключением только одной гр(1/2, 1/2,..., 1/2). Если написать волновую функцию в виде произведения п спиноров ф д"..., из которых каждый относится к одной из частиц, то у каждого из них будет отлична от нуля только компонента с Л, )А,... = 1. Таким образом, будет отличным от нуля только произведение ф~~р~... Но совокупность всех этих произведений представляет собой некоторый спинор и-го ранга, симметричный по всем своим индексам. Если произвести преобразование системы координат (так, что спины окажутся направленными не по оси е), то мы получим некоторый спинор п-го ранга общего вида, но по-прежнему симметричный.
Спиновые свойства волновых функций, будучи по существу их свойствами по отношению к поворотам системы координат, тождественны для частицы со олином в и для системы из и = 2В частиц со спинами 1/2, направленными так, что полный спин системы равен л.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
