III.-Квантовая-механика (1109680), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Для систем же, состоящих из бозонов, полностью симметричная координатная волновая функция всегда возможна. Задачи 1. Определить число уровней энергии с различными значениями гюлного спина Я для системы из Л1 частиц со спином 1/2 (г1 В1осЛ, 1929). Р е ш е н и е. Заданное значение проекции полного спина системы ЛХз = ~ и можно осуществить Л1! ДЛХз) = ~-- -ь ЛХз)! (-'- — ЛХ,)! ) Таковы, например, следующие пары схем (при з =- 1): ~ч) Дополнительные друг к другу схемы изображены сплошными н 1птриховы- ми линиями. 363 СИММЕТРИЯ ПО ОТНОШЕНИЮ К ПЕРЕСТАНОВКАМ способами 1Х/2 1- ЛХЕ частицам приписываем и = 1/2, а остальным и = = — 1/2). Каждому уровню энергии с заданным значением 5 соответствует 2О -~- 1 состояний со значениями ЛХЕ =- о, Я вЂ” 1,..., — о.
Поэтому легко сообразить, что число различных уровней с заданным значением Я равно Полное число и = 2,' п15) различных уровней энергии равно в при четном Х, или Х1'1 Х! ) 2Г (Х-:;1), (Х вЂ” 1), при нечетном Л'. 2. Найти значения полного спина Я, осуществляющиеся при различных типах симметрии спиновых функций системы из двух, трех или четырех частиц со спинами 1. Р е ш е н и е.
Для двух частиц соответствие устанавливается тем, что множитель, на который умножается спиновая функция при перестановке частиц, должен быть равен ( — 1)э' э 1см. конец 362). Для частиц со спином э .= 1 отсюда получается соответствие: (1) Я = 0,2 3=1 Схемы Юнга для системы из трех частиц получаются добавлением к схемам 11) одной клетки всеми возможными способами. Это можно записать ввиде символических равенств: х 0,2 1 1, 1, 2, 3 н 0,1,2 Под схемами указаны значения Я, причем значения полного спина системы трех частиц 1схемы справа) получаются из спинов систем двух и одной частиц 1схеэгы слева) по правилу сложения моментов ) .
Распределение ') Повторение дважды цифры 1 под схемамн справа связано с возникновением этого значения момента один раз от сложения моментов 0 и 1, а другой — от сложения моментов 2 и 1. 298 тождественность ЧАстиц гл. 1х получающихся значений о' между отдельными схемами справа можно установить, заметив,что схеме е (столбик из трех клеток) отвечает Я =- О;поэтому схемо б отвечают оставшиеся (во втором равенстве) значения 1 и 2, а схеме а — оставшиеся после б (в первом равенстве) значения 1 и 3: Г: П Схемы Юнга для системы из четырех частиц получаются прибавлением одной клетки к схемам (2) (с соблюдением условия, чтобы столбцы не содержали более трех клеток): х 1,3 1 О, 1, 2, 2, 3, 4, и-зт ° ф ул О, 1, 1, 2, 2, 3 и-у 0 1 Схема е складывается со схемой 1о в прямоугольник со столбцами из трех клеток; поэтому ей отвечают те же значения Я = О, 2, что и для 1а.
Значения Я для схемы б определяются по остатку во втором равенстве, а затем для схемы а — по остатку в первом равенстве; значение спина для схемы г однозначно опредЕляется третьим равенством: "и 'и 'Н-"-3 "Н '~о Я =- 1,2,3 Я --. 0,2 й 64. Вторичное квантование. Случай статистики Бозе В теории систем, состоящих из большого числа одинаковых частиц, широко применяется особый метод рассмотрения, известный под названием вторичного квантования.
Этот метод в особенности необходим в релятивистской теории, где 664 ВТОРИЧНОЕ КВАНТОВАНИЕ СЛУЧАЙ СТАТИСТИКИ БОЗЕ 299 приходится иметь дело с системами, в которых самое число частиц является переменным') . Пусть гр1®, гр2(~), ... — некоторая полная система ортогональных и нормированных волновых функций стационарных состояний одной частицы') . Это могут быть состояния частицы в некотором произвольно выбранном внешнем поле, но обычно выбираются просто плоские волны — волновые функции свободной частицы с определенными значениями импульса (и проекции спина). При этом с целью сведения спектра состояний к дискретному рассматривают движение частиц в большой, но ограниченной области пространства; для движения в ограниченном объеме собственные значения компонент импульса пробегают дискретный ряд (причем интервалы между соседними значениями обратно пропорциональны линейным размерам области и стремятся к нулю при их увеличении).
В системе свободных частиц импульсы частиц сохраняются по отдельности. Тем самым сохраняются и числа заполнения состояний . числа Х1, )'г'2,..., указывающие, сколько частиц находится в каждом из состояний 1о1, г)г2,... В системе взаимодействующих частиц иьгпульсы каждой из них уже не сохраняются, а потому не сохраняются и числа заполнения. Для такой системы можно говорить лишь о распределении вероятностей различных значений чисел заполнения.
Поставим себе целью построить математический аппарат, в котором именно числа заполнения (а не координаты и проекции спинов частиц) играли бы роль независимых переменных. В таком аппарате удобно пользоваться обозначениями Дирака 1сьг. конец 9 11), выбирая Х1, Ж2,...
в качестве определяющих состояние квантовых чисел. Состояния, отвечающие волновым функпиям (61.3) и (61.5), будут обозначаться через ~Х1, йг2,...). При этом координатные и спиновые переменные уже не фигурируют в явном виде. Соответственно такому выбору независимых переменных, так же и операторы различных физических величин (в том числе гамильтониан системы) должны формулироваться в терминах их воздействия на функции чисел заполнения.
К такой формулировке можно прийти, отправляясь от обычного матричного представления операторов. При этом надо рассмотреть ) Метод вторичного квантования был развит Дираком для фотонов в применении к теории излучения (1927 г.) и затем распространен на фермионы Вагнером и Иорданом (,Е. 11ггупег, Р. досдав, 1928). )Как и в 6 61, ( обозначает совокупность координат и проекции спина и частицы, а под интегрированием по дб будет подразумеваться интегрирование по координатам вместе с суммированием по и. 3ОО ГЛ.
1Х тождественность чАстиц матричные элементы операторов по отношению к волновым функциям стационарных состояний системы невзаимодействующих частиц. Поскольку эти состояния можно описывать заданием определенных значений чисел заполнения, то тем самым выяснится характер воздействия операторов на эти переменные. Рассмотрим сначала системы частиц, подчиняющихся статистике Бозе. '(() Пусть Д есть оператор какой-либо величины, относящейся к одной (а-й) частице, т. е, действуютций только на функции переменных 4 . Введем симметричный по всем частицам оператор (64.1) (суммирование по всем частицам) и определим его матричные элементы по отношению к волновым функциям (61.3). Прежде всего легко сообразить, что матричные элементы будут отличны от нуля только для переходов без изменения чисел ЖБХз,...
(диагональные элементы) и для переходов, при которых одно из этих чисел увеличивается, а другое уменыпается на единипу. Действительно, поскольку каждый из опе- (1) раторов ~, действует только на одну функшлю в произведении 1(1р1((л)~р1(~з) .фр„((А), то его матричные элементы могут быть отлйчны от нуля только для переходов с изменением состояния одной частицы; но это означает, что число частиц, находящихся в одном состоянии, уменьшается, а в другом — увеличивается на единицу. Вычисление этих матричных элементов по существу очень просто; его легче произвести самому, чем проследить за его изложением. Поэтому мы приведем только результат вычисления.
Недиагональные элементы равны Р,,М, — ЦГ(')~Л, — 1,Л„) = ~!„",~КК. (64.3) Мы указываем только те индексы, по которым матричный элемент не диагонален, опуская для краткости остальные. Здесь (1) матричный элемент А() = <ВР"ю е к; (64.3) поскольку операторы 1', отличаются только обозначением пе- (О) ременных, на которые они действуют, то интегралы (64.3) от индекса а не зависят и этот индекс опущен. Диагональные матричные элементы от Р( ) представляют собой средние значения 264 ВтОРичнОе кВАнтОВАние слу гАЙ стАтистики БОзе 801 величины Г в состояниях грл,гуг .
Вычисление дает Ю г,(Ц ~~(НА (64.4) Введем теперь основные в методе вторичного квантования операторы а„действующие уже не на функции координат, а на функции чисел заполнения. По определению, оператор а,, действуя на состояние ~А1М Х2,... ), уменьшает на единипу значение пеРеменной А и одновРеменно УмножаЯ фУнкцию на тггУ, '): аг~Аг~г дг2г .. г Аггг ) = '~ггЖ~%м дгзг .. г А7г — 1г... ). (64.5) (ггг, — 1~а,~А1,) = ХУХ,. (64.6) Сопряженный с а, оператор а,' изображается, по опрсделснито (см. 111.9)), матрицей с единственным элементом (Х;)а+.)Аг; — 1) = (Х; — 1(а;(гг';)* = ХггХ,. г164.7) это значит, что при воздействии на функцию )хм %2,...) он увеличивает число Х, на 1: агэ ~А1г Аг2г ° ° ° г 2тгг ° ° ° ) = УЛг + Ц-'~1г 2У2г ° ° ° г Агг + 1,...
). (64.8) Другими словами, оператор а, увеличивает на 1 число частиц в 4-м состоянии; его называют операторолг рождения частиц. Произведение операторов а~а, при воздействии на волновую функцию может лишь умножить се на постоянную, оставляя все переменные Агм г г2,... неизменными; оператор а, умсныпает переменную Х; на 1, после чего а,+.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
