III.-Квантовая-механика (1109680), страница 145
Текст из файла (страница 145)
Таким образом, находим, что при и' — 1 О сечение стремится к постоянному пределу су„= сопБФ при и' — ~ О, 746 гл хуш неупгугие стОлкнОВения Высним характер особенности, которой обладает вблизи порога такой реакции сечение упругого рассеяния (А. И. Бань, 1959). Это, однако, .не может быть сделано непосредственно по известному надпороговому закону (147.11) тем простым способом, который мы использовали выше в случае незаряженных частиц. По сравнению с последним случаем ситуация осложняется теперь в связи с тем, что система частиц А' + В' обладает в околопороговой области (при Е < Е„) связанными состояниями, соответствующими дискретным уровням энергии в кулоновом поле притяжения. Эти состояния могут, с энергетической точки зрения, образоваться при столкновении частиц А и В, но ввиду возможности упругого рассеяния они будут лишь квазистационарными.
Однако их существование должно привести к появлению резонансных эффектов в (подпороговоы) упругом рассеянии, аналогичных брейт-вигнеровским резонансам. Для решения поставленной задачи рассмотрим структуру волновых функций, описывающих процесс столкновения. В соответствии с наличием двух каналов уравнение Шредингера системы взаимодействующих частиц имеет два независимых решения, конечных во всем конфигурационном пространстве; обозначим два таких произвольно выбранных (и произвольно нормирован- НЫХ) РЕШЕНИЯ ЧСРЕЗ гд1 И фЕ. ИЗ ЭТИХ фУНКЦИй МОЖНО СОСтаВИтЬ линейные комбинации, описывающие рассеянно в случае, когда тот или иной из каналов является входным.
Обозначим каналы, соответствующие парам частиц А, В и А', В' буквами а и Ь, и пусть сумма гу = с«1гд1 + ойкай отвечает случаю входного канала ай она описывает упругое рассеяние частиц А и В и реакцию А +  — Р А'+ В'. Вблизи порога реакции коэффициенты сг1, оз существенно зависят от малого импульса Гсы между тем как сами произвольно выбранные функции ф1, фз никакой особенности при йа = 0 не имеют. На болыпих расстояниях функция зр должна представлять собой сумму двух членов, соответствующих движению пар частиц в каналах а и Ь.
Каждый из них есть произведение «внутренних» функций частиц на волновую функцию их относительного движения') . В канале а последняя имеет вид Л вЂ” Яо«Л,+, а в канале Ь: — Я«ЕЛЕ, где Л+, Л вЂ” расходящаяся и сходящаяся волны в соответствующих каналах. На расстояниях гс, больших ) Закон (147.11) имеет место не только для полного, но и для парциальных сечений с различными моментами 1 (ср. конец З 143). 11озтому и рассматриваемая ниже особенность имеот место во всех парциальных сечениях рассеяния. Ее характер полностью выясняется уже в случае 1 = О, который мы и рассматриваем ниже. Индекс О у соответствующих парциальных амплитуд опускаем для упрощения обозначений.
2 147 ПОВЕДЕНИЕ СЕЧЕНИЙ ВБЛИЗИ ПОРОГА РЕАКЦИИ 747 по сравнению с радиусом короткодействующих сил и малых по сравнению с 1/Ц„эти функции (и их производные) должны «сшиваться» со значениями, вычисляемыми по волновой функции тр1 в «зоне рсакцииж Эти условия выражаются равенствами вида ст1п1 + се2П2 = (В~ Ооютьрр )~ш ГГ1Ь1 + ст2Ь2 = Оррот»6 ~ о СГ1П1 + СГ2О2 = (зоа Оаазоа) ~то~ р«1Ь1 + '-~2Ь2 — ~«6«»6 ~то~ где а1, о~1, Ь1, Ь~1,...
-- величины, вычисляемые по функциям тд и ф2, .согласно сказанному выше вблизи порога их можно считать постоянными, не зависящими от Е6. Разделив почленно первую и вторую пару написанных равенств, мы получим систему двух линейных уравнений для двух неизвестных (со1/ст2 и Я ), причем в коэффициентах этих уравнений фигурирует лишь одна величина, «критически» зависящая от Ь6 логарифмическая производная от расходящейся волны в канале Ь; определим эту величину как 1 (тй„) 2о тйт о т — то Нет необходимости фактически проводить решение этих уравнений.
Достаточно заметить, что интересующая нас величиНа Оаа (ОПРЕДЕЛЯГОЩаи амнрзнтУДУ УПРУГОГО РЕССЕЯНИЯ) ОКВЗЫ- вается при этом дробно-линейной функцией от Л. Ниже порога величина Л вещественна, так как вещественна волновая функция Гьо решение вещественного уравнения Шредингера при вещественном условии на бесконечности (убывание как е рта=, р (Р,— вурро . р.. р р быть ~Я,~ = 1. Отсюда следует, что дробно-линейная функция Ваа(Л) дОЛ КНа ИМЕТЬ Впд (147.
12) 1-6 11" Л где Г1 ве1цественная, 6З комплексная постоянна11. Определири величину Л как функцию импульса Ь6. Поскольку между частицами А и В действуют силы кулонова притяжения, то 1 Ц дается кулоновой волновой функцией, асимптотически пропорциональной на бесконечности е'ьо". В кулоновом поле отталкивания эта функция дается суммой СО + гХО с Со и РО из (138.4) и (138.7).
Переход же к полю притяжения осуществляется одновременным изменением знаков 1« и Г ') . Произведя эту 1 ) Ниже мы пользуемся кулоновыми единицами. Изменение знаков и и т формально соответствует изменению знака кулоновой единицы длины. 748 неупгу!"ие столкновения Гл х\ п! замену и вычислив логарифмическую производную 1сьл. 2 138), получим ') Л = — — ()пйь+ — ~ф( — ) + ф( — — )) ~.
1147.13) Здесь 1сь, предполагается вещественной величиной, так что эта формула относится к области выше порога. При )сь — ь О первый член в 1147.13) обралцается в л, а второй стремится к нулю 1сьл. примеч. на с. 695). Таким образом, выше порога имеем Л=ь, Е>Еп, 1147.14) Переход к области ниже порога осуществляется заменой й на гх. После этого получим из 1147.13) при х — э О') Л = — с18 —, Е ( Е„. (147.15) хь Полученные формулы решают поставленный вопрос. Сечение упругого рассеяния лье = г ~~за Вьппе порога имеем (147.16) 1 -~- ь13 как и сечение реакции, сечение рассеяния оказывается в этой области постоянным. Отметллм, что условие ~Я~, < 1 означает, что должно быть 1ш )3 > О. Ниже порога находим 2п! д лб!Е( хь) 1147.17) Р'" — лй(к/хь) Это выражение имеет бесконечное число резонансов, сгущающихся по направлению к точке Е = Е„.
Резонансные энергии являются корнями уравнения Я„= — 1, т. е. В.е е'е (ф — 1к — ) = О; хь ') В фигурных скобках опущена, для упрощения дальнейших формул, не зависящая от Иь вещественная постоянная 1 — 1п 2ге — 2С), что сводится лишь к несущественному переопределению комплексной величины б и вещественной величины гл в 1147.12). ) Первый член в 1147.13) дает — (1л!2) сгй(хььхь) т. ь72, а выражение в фигурных скобках обращается в ля/2) сгКЛЕ/хь) -1- ьхл!2.
При атом используется формула Ьь1х) — Ьь1 — х) =- — ее!Кхх — 1л!х 1которую можно получить логарифмическим дифференцированием известного соотнолпения Г1х)Г( — х) = = — ел!хелп кх) и пРедельное выРажение й!!х) — 1пх — 172х пРи х — ! со. СТОЛКНОВЕНИЯ ВЫСТРЫХ ЭЛЕКТРОНОВ С АТОМАЬ1И 749 они смещены относительно чисто кулоновых уровней 1корней уравнения 1фл/зг5) = 0) благодаря наличию короткодействующих сил. По мере приближения энергии Е к порогу сечение упругого рассеяния осциллирует между нулем и 4пфа, как это показано 2 схематически на рис. 51. 1Пирина всей подпороговой области, в которой обнаруживается резонансная структура, определяется величиной энергии первого кулонова уровня'). Рис. 51 Еп 8 148.
Неупругие столкновения быстрых электронов с атомами 1 ) Упомянем еще один интересный случай околопороговых реакций —. ионизация атома электроном, энергия которого лишь немного превосходит энергию первой ионизации атома. В этих условиях процесс столкновения может рассматриваться как квазиклассический, но задача очень усложняется наличием трех заряженных частиц в конечном состоянии. Общее решение этой трудной задачи дано Веянье (О.
Н. 'г1аптег// Рйуз. Нею 1953. У90. Р. 817). Вероятность ионизации нейтрального атома оказывается пропорциональной: (Š— 1)", где а =- 11/4ИА/91/3 — 1) =- 1,13,, Š— 1 — избыток энергии электрона нал порогом ионизации. ) Большинство результатов, излагаемых в 3 148 — 150, было получено Бете (Н. А.
ВеЖе, 1930). Неупругие столкновения быстрых электронов с атомами могут быть рассмотрены с помощью борновского приближения аналогично тому, как это было сделано в 3139 для упругих столкновений') . Условие применимости борновского приближения по-прежнему требует, чтобы скорость падающего электрона была велика по сравнению со скоростями атомных электронов. Что же касается потери энергии при столкновении, то она может быть любой.
Если электрон теряет значительную часть своей энергии, то это приводит к ионизации атома, причем энергия передается одному из его электронов. Но мы всегда можем считать рассеянным тот из обоих электронов, который имеет после столкновения болыпую скорость, и, таким образом, при большой скорости падающего электрона будет велика также и скорость рассеянного. При столкновениях электрона с атомом систему координат, в которой покоится их центр инерции, можно считать, 750 ГЛ ХУП! неупРуГие столкновения как уже указывалось, совпадающей с системой, в которой покоится атом; ниже мы будем говорить именно об этой последней системс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
