III.-Квантовая-механика (1109680), страница 148
Текст из файла (страница 148)
Сумма вычисляется с помощью теоремы суммирования, которая выводится следующим образом. Матричные элементы от некоторой вели пины у (функции координат) и ее производной по вреыени 7 связаны друг с другом формулой (У)о = — (т!й)(Š— Ео)Уо . (149.3) Поэтому имеем (Е. — ЕоМХо..~ = Я(Еэ — Ео)Го Цоа)* = = ~~ (Еа — Ео)Хоп(Х~)по = тЬ~ Фоа(У~) о = МГ)ее и и Волновые функции стационарных состояний атома можно выбрать вещественными. Тогда матричные элементы функции координат 7" связаны соотношениями 1оа = 1пе, а для матричных элементов (149.3) имеем соответственно (1)оа = — ®„е. Поэтому рассматриваемую сумму можно написать также и в виде — тй;э,(У~)оа(У)пе = — тЫу+Ьоо Взяв полусумму обоих выражений, получим искомую теорему ~,(ЕŠ— Ео)!Хоп~ = — (УУ+ — У+Ооо.
(149.4) ) Если электрон проходит через газ, рассеяние на различных атомах происходит независимо и величина Хам (Х вЂ” число атомов в единице объема газа) есть энергия, теряемая электроном на единице его пути при столкновениях, отклоняющих его в данный элемент телесного угла. 2 149 зФФкктианое тогможвние Прямое вычисление дает Π— ~11 = — — (7~~. Подставив в 1149.4), получим формулу ,,1Ев Ео)~(п~ "» е 0) — Я, п а 1149.5) которая и осуществляет нужное нам суммирование') .
Таким образом, для дифференциального эффективного торможения находим формулу а( 4 те й~ 2 те (1о 1149. 6) з,~г Область ее применимости дается неравенством (оо/н)2 « д « 1, т. е ног(н « аоц « нг(но. Далее, определим полное эффективное торможение зс((11) для всех столкновений, сопровождающихся передачей импульса, не превышающей некоторого значения (11 такого, что го1(о « «ооФ «н((по( 1149. 7) () („ дается формулой 1148.11). Знак интеграла нельзя вынести из-под знака сУммы, так как (1ш(„зависит от п. Разобьем область интегрирования на две части от () го до (19 и от (19 до (11, где (19 такое значение (1, что но((н « ()оао « 1. Тогда во всей области интегрирования от д,„(„до до ыожно воспользоваться для (6г„выражением 1148.14)( че (д)=8 ( — ) л (((з,(0(5(Б„— в(1 п Ч ) Прн выводе етого соотношения мы нигде не использовали тот факт, что состояние, отсеченное индексом О, есть нормальное состояние атома.
Позтому оно имеет место для любого начального состояния. Применим ее к величине 1" = ~ е "1" . Согласно 119.2) ее производная по времени изобразится оператором 7" = — — ~[е 'ч 1с1з7 ) +1с1ь',)е 'ч" ] 2т а 762 неупгугие Отолкновения Гл хуп! откуда зг(де) = 8п( — );г ~(п~йх~0)~~(Еп Ее)1п ° (149.8) В области же от ее до г11 можно произвести сначала суммирование по п, приводящее для дзс к выражению (149.6), которое при интегрировании по дд дает -И,) --И.) =4-", 1-'- (149.9) пте~ цо Для преобразования полученных выражений воспользуемся теоремой суммирования, получающейся из формулы (149.4), если положить в ней д 1 о — ~~ ха~ о ~~ рха. е гп Комьгутирование ~+ с 1 дает ( ~+ в данном случае совпадает с 1') 16 )'у у+1 = г ., 1), т ~~',-агеа — = ~~', о 1Е' — Ео) ((п(о1,)0) ( = Я.
(149.10) а п Величины Хе„называют силами осцилляторов соответствующих переходов. Введем некоторую среднюю атомную энергию Х согласно соотношению 1п1 = " " = — ~, Хеа 1п(ń— Ее). (149.П) ~„Жо Используя (149.10), формулу (149.8) можно переписать в виде 4кхе йобу зс(де) =; 1п . Складывая с (149.9), окончательно полупго~ 1 чаем (149.12) В эту формулу входит всего одна характерная для данного атома постоянная'). ) К этому соотнопгению относится то же замечание, которое было сделано по поводу (149.5). з) Для водорода 1 =- 0,55те~/бэ = 14,9 эВ. Для тяжелых атомов можно ожидать хоро|пей точности, если вычислить постоянную 1 с полгощью метода Томаса — Ферми.
Легко установить, как бупут зависеть вычисленные та- 1 149 ВФФектиннОе тОРмОгкение Выражая 91 через угол рассеяния д1, согласно 91 = тггд1,г6 получим эффективное торможение при рассеянии на все углы д < д1. гс(А) = 4гг, 1п (149. 13) тпсг 1 Если 91ае » 1 (т, е, д1 » п01'и), то можно выразить гг в виде функции от наибольшей передаваемой падающим электроном атому энергии. В предыдущем параграфе было указано, что при дае » 1 происходит ионизация атома, причем практически весь импульс 6с1 и энергия передаются одному атомному электрону.
Поэтому 6с1 и е связаны друг с другом, как импульс и энергия электрона, т. е. е = 6~9~/2пг. Подставляя в (149.12) д~~ — — 2пле1/6~, получим эффективное торможение при столкновениях, сопровОждаЮщихея пЕрЕдачЕй ЭнЕргии Е « Е1. (149.14) В заключение сделаем следующее замечание. Уровни энергии дискретного спектра атома связаны в основном с возбуждениями одного (внепгнего) электрона; уже возбуждение двух электронов связано обычно с энергией, достаточной для ионизации атома. Поэтому в сумме интенсивностей осцилляторов переходы в состояния дискретного спектра составляют лишь долю порядка единицы; переходы же с ионизацией — порядка Я. Отсюда следует, что основную роль в торможении (тяжелылги атомами) играют столкновения, сопровождающиеся ионизацией, Задача Определить полное эффективное торлгожение электрона атомом водорода 11 = 0,55 ат.
единицы); при больших передачах энергии более быстрый из обоих сталкивающихся электронов принимается за первичный. Р с ш е н и е. Когда первичный и вторичный элскгроны приобретают после столкновения сравнимые энергии, надо учитывать обменный эффект. Поэголгу для торможения с передачей энергии от некоторого значения ел(1 « ел « ег) до наибольшего е „„= В/2 = с~/4 (принятое нами определение первичного электрона!) надо пользоваться сечением (148.17); Бег геле ) — гглег) = — / е — г + гге =- — ш — + 1) . Я 1 1ег )К )г ДЕ е)~ В~ Яе ким образом значения 1 от 2. В квазиклассическом случае разностям уровней энергии соответствуют собственные частоты системы частиц.
Средняя собственная частота атома порядка величины се/ае, поэтолгу мы можем заключнтгч что 1 йлие7ае. Скорости атомных электронов в модели Томаса— Ферми зависят от ь, как лщг, а размеры атома — как о "г. Таким образом, находим, что ! должно быть пропорционально Я: 1 = сопвс ь. Из экспериментальных данных следует, что сопэс !О эВ. ГЛ Х!"и1 неупРуГие столкновения Складывая со !149.14), получим (в атомных единицах) ) 4х Хс~ '! 4Е с~ = — 1 ~ — -У!е/2] = — 1 е~ ~,21,) с~ 0,94 9 150. Неупругие столкновения тяжелых частиц с атомами Условие применимости борновского приближения к столкновениям тяжелых частиц с атомами, .выраженное через скорость частицы, остается тем же, что и для электронов; п» ео. Это непосредственно следует из общего условия 1126.2) применимости теории возмущений, ХХпо!!69 « 1, если заметить, что масса частицы в него вообще не входит, а ХХас/6 есть величина порядка скорости атомных электронов.
В системе координат, в которой покоится центр инерции атома и частицы, сечение определяется общей формулой (148.3) 1в которой теперь под т надо понимать приведенную массу частицы и атома). Удобнее, однако, рассматривать столкновение в системе координат, в которой покоится 1до столкновения) рассеивающий атом. Для этого начинаем с формулы (148.1); в системс координат, в которой покоился атом до столкновения, аргумент у б-функции, выражающий закон сохранения энергии, имеет вид — — — + +Б — Ьо Р" Р' ГР' — Р)' 1150.1) 2ЛХ 2ЛХ 2ЛХ„ где ЛХ-. масса падающей частицы, ЛХ вЂ” масса атома; третий член представляет собой кинетическую энергию отдачи атома 1которой при столкновении с электроном можно было полностью пренебречь). При столкновении быстрой тяжелой частицы с атомом изменение импульса частицы почти всегда мало по сравнению с ее первоначальным импульсом.
Если это условие выполняется, то в аргументо у д-функции можно пренебречь энергией отдачи атома, после чего мы вернемся в точности к формуле (148.3), в которой только надо заменить т на массу ЛХ падающей частицы 1не на приведенную массу частицы и атома!). Имея в виду, что передача импульса предполагается малой по сравнению с первоначальным импульсом, полагаем р р'1 таким образом, для сечения в системе координат, в которой атом до столкновения ) Для столкновений позитрона с атомом водорода обменный аффект отсутствует, и полное торможение получается просто подстановкой в (149.14) е, = Е = е~/2 вместо !! РГ = (4Е/с~) 1п(е~/0,55).
~ 150 икхпгугив столкиоввиия тяжапмх чАстип с АтомАми 765 покоится, получим формулу гг 2 йт„=,, // с'е 'и'Ф„'Фос1тЛ' до. 2 а4 (150.2) до.„= 8х( — ) ~(п ~е 'ч" 0)~ — ~, (150.3) а не содержит массу частицы. Отсюда следует, что и все получающиеся из нее формулы остаются применимыми и к столкновениям тяжелых частиц, если только эти формулы выражены через и и д.
Легко сообразить, как должны быть видоизменены формулы, выраженные через угол рассеяния д (угол отклонения сталкивающейся с атомом тяжелой частицы). Для этого предварительно замечаем, что при неупругом столкновении тяжелой частицы угол д всегда мал. Действительно, при болыпой (по сравнению с импульсами атомных электронов) передаче импульса можно рассматривать неупругое столкновение с атомом как упругое столкновение со свободными электронами; но при столкновении тяжелой частицы с легкой (электроном) тяжелая частица почти не отклоняется. Другими словами, передача импульса от тяжелой частицы атому мала по сравнению с первоначальным импульсом частицы (исключение составляет упругое рассеяние на болыпие углы, которое, однако, крайне маловероятно). 'Таким образом, во всей области углов можно положить (150.4) что фактически сводится к цб ЛХпд (150.5) везде, за исключением только самых малых углов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
