III.-Квантовая-механика (1109680), страница 147
Текст из файла (страница 147)
В области же больших д сечение (при заданной передаче энергии ń— Ео) экспоненциально убывает с увеличением 9 в связи с уже отмечавшимся наличием в подынтегральном выражении матричного элемента в (148.9) быстро осциллирующего множителя. Таким образом, основную роль в интеграле по дц играет область малых д, и мы можем ограничиться интегрированием от минимального значения д;„(148.11) до некоторого значения 1/ао. В результате получим о„= 8я( — ) !(п(с(,/0)/~ 1п(~3„—,), (148.18) где Дв безразмерная постоянная, которая не ъюжет быть вычислена в общем виде') .
Если же матричный элемент дипольного момента обращается для данного перехода в нуль, то интеграл по с(д быстро сходится как при малых (как это видно из (148.15)), так и при больших г7. Основной для интеграла является в этом случае область 9 1/ао. Общая количественная формула здесь не может быть получена, и мы приходим к выводу, что пв будет обратно пропорционально квадрату скорости: (148.19) Это следует непосредственно из общей формулы (148.9), согласно которой с(п„при д 1/ао пропорционально и Определим сечение с(п„неупругого рассеяния в данный элемент телесного угла вне зависимости от того, в какое состояние переходит атом.
Для этого надо просуммировать выражение (148.9) по всем и у'= О, т. е. по всем состояниям атома (как дискретного, так и непрерывного спектров), за исключением нормального. Мы исключим из рассмотрения область как больших, так и совсем малых углов и будем считать, что (го/н)з « д « 1. Тогда, согласно (148.12), 9 не зависит от передаваемой энергииэ) . ) Мы считаем, что Š— Еэ порядка энергии атомных электронов ее. При больших передачах энергии (ń— Ее Е» ее) формулы (148.14) (148.18) все равно неприменимы, так как матричный элемент дипольного момента становится очень малым и нельзя ограничиваться первым членом разложения по д. з) Суммирование в (148.9) происходит и по состояниям с ń— Ее )> ее, для которых (148.12) не имеет места. Однако для переходов с большой передачей энергии сечение сравнительно мало, и эти члены играют малую роль в сумме. Условие д «1 позволяет не учитывать обменных эффектов.
756 неупгуГие столкновения ГЛ ХУП! Последнее обстоятельство позволяет легко вычислить полное сечение неупругих столкновений, т, е, сумму Г1пг. = ~г сЬ„= 8я( — ) ~~~ (и ~~г е '"'" О) ФО пЯО а = ( ) ~~г (п ~~г е 1Г О) — 4. (148.20) пЯО а Для этого замечаем, что для всякой величины 1 имеем по правилу умножения матриц ~ ~Хоп~ = ~ Хоп(УО )* = ~ вопд+)по = УГ )Оо.
Суммирование производится здесь по всем и, включая п = О. Поэтому ,>,~~1о Я = ~ ~Уо ! — ~Хоо~ = (Пт)оо — ~Уоо! (148.21) пге Применив это соотношение к 1 = 2, е 'ч'", получим г4ГГ = ( ) ~ ( ~ Р "чГ' ) — (~~ е ч"')~ ) †, (148.22) где (...) означает усреднение по нормальному состоянию атома (т.е. взятие диагонального матричного элемента 00). Среднее значение (Д,е 'ч' ) есть, по опрсдслениюг атомный фактор Е(г1) атома в нормальном состоянии. В первом же члене в фигурных скобках можно написать 2 Е е — гчГ У + ~~ егчггà — Гь1 а=1 афа Таким образом, находим общую формулу йтп = ( г) ~Я вЂ” Р~(д)+ (~» е'ч~ г~)) — 4.
(148.23) Эта формула сильно упрощается при малых г1, когда можно произвести разложение по степеням г1 (пе/е « г1ое « 1, что соответствует углам (ео/е)' « д « ее/е). Вместо того чтобы производить разложение в формуле (148.23), удобнее заново СТОЛКНОВЕНИЯ ВЪ|СТРЫХ ЭЛЕКТРОНОВ С АТОМАМИ 757 8 148 нии о„(148.18), получим |г, = 8п( — ) (|1~) 1п()3 —,) . (148.26) Задачи ) 1.
Определить распределение по углам (при с « д << 1) неупругого рассеяния быстрых электронов атомом водорода (в нормальном состоянии). Р е ш е н и е. Для атома водорода третий член в фигурных скобках в (148.28) отсутствует, а атомный фактор Г(4) был вычислен в задаче к 1 139. подставляя его, получил| 4, (, сд) 4)„ 2. Определить дифференциальное сечение столкновений электронов с атомом водорода в нормальном состоянии, сопровождаю|цихся возбуждением п-го уровня дискретного спектра (и — главное квантовое число). Р е ш ен и е. Вычисление матричных элементов удобно производить в параболических координатах.
Выбираем ось о вдоль направления вектора сй тогда е'ч' = е'о' = е'оп о~~ . Волновая функция нормального состояния имеет вид |оооо = г е |ЕЮ|| . Матричные элементы отличны от нуля только для перехода в состояния с т = О. Волновыми функциями этих состояний являются функции Фш мо = ехр (- ) Г ( — п„1, — ) Р (- п|,1, — ) ) Во всех задачах пользуемся атомными единицами. произвести суммирование по п, воспользовавшись для д|г„выражением (148.14).
Суммируя с помощью соотношения (148.21) с у = |1, и помня, что (д ) = О, получим д „= ( — „") (д.') —,"',. (148.24) Интересно сравнить это выражение с сечением (139.5) упругого рассеяния при малых углах: в то время как последнее не зависит от д, сечение неупругого рассеяния в элемент телесного угла |1о растет с уменьшением д как 1||д . При углах но||о « д « 1 (так что дао » 1) второй и третий члены в фигурных скобках в (148.23) малы, и л|ы имеем просто Й|гг = У( о) — 4, (148.25) т.е.
резерфордовское рассеяние на У атомных электронах (без учета обмена). Напомним, что дифференциальное сечение упругого рассеяния (139.6) пропорционально Я2, а не Я. Наконец, интегрируя по углам, мы получим полное сечение ог неупругого рассеяния под всеми углами и со всеми возбуж,сепиями атома. В точности такил| же образом, как и при вычисле- 758 ГЛ ХУП1 НЕУПРУ1"ИЕ О'ГОЛКНОВЕНИЯ (и =- иг + иг + 1). Искомыс матричные элементы даются интегралами (игигО]е'ч"]000) = О ехр ~1 — (8 — 0)( г)гооог)1 1 го 2х145110.
г.а 1 (410) Интегрирование производится с помощью формул, приведенных в 3 1 математического дополнения. В результате вычисления получается ](игигО]е'ч" ]000)] = 2 и о, о ((иг — иг) + (аи) ]. о г ((и — Ц + (ди) ]" ',(и -1- 1) -1- (ди) ] "~ Все состояния с одинаковыми и, 4 иг = и — 1 обладают одинаковой энергией.
Суммируя по всем возможным значениям и1 — иг при данном п и подставляя результат в (148.9), получим искомое сечение 3 ( ) ] И + 1)' + ( )']"" 4 3. Определить полное сечение возбуждения первого возбужденного состояння атома водорода. Р е ш ен и е. Проинтегрируем выражение 2я 44 сг Ийг 4-9/4)~ по всем д от у,,ь, = (Ег — Е1 )/с = 3,18о до 4,„= 2с, причем должны быть сохранены только члены наиболыпей степени по о. Интегрирование производится элементарно и дает 1 2'огг / 25 У 4х ог аг = 1о г (1п4о — — ! = — 0,555 1п 31оюг ( 24! ог ' 0 50 4.
Определить сечение ионизации атома водорода (в нормальном состоянии) с вылетом вторичного электрона в определенном направлении; энергия вторичного электрона мала по сравнению с энергией первичного электрона, и потому обменные эффекты несущественны (Н. Маооеу, С. МоЬт, 1933). Р е ш е н и е. Волновая функция атома в начальном состоянии есть 111о =- х зге ". В конечном состоянии атом ионизирован, и вылетевгпий из него вторичный электрон имеет волновой вектор, который мы обозначим буквой м (и энергию го~/2).
Это состояние описывается функцией 9~ (136.9), в которой чвыходящаяь1 часть состоит (на бесконечности) только из распространяющейся в направлении и плоской волны. Функция уг нормирована на б-функцию в м/2х-пространстве; поэтому вычисленное с ее помощью сечение будет отнесено к 11ггг7(2х)~ или к к 4ггг1о 7(2х)~, где до„— элемент телесного угла для направления вторичного электрона. '1аким образом, о1а — ](гг]е ]0)] 4одо 11м (2 )зй 4 1 ) Сечение может быть вычислено и для произвольного и. Численным расчетом можно получить также и полное сечение иву пругого рассеяния атома водорода: а, = (4х/с~) 1п(г~/О, 160) .
В том число на столкновения с возбуждением состояний дискретного спектра и с ионизацией приходится соответственно а„„о = (4х/с ) 0,715 1п(с /0,45), а„, = (4х/г ) 0,285 1п(о /0,012). 759 З 149 эФФективнОетОРмО'кение [т)о — элемент телесного угла для рассеянного электрона), гдс Стоящий здесь интеграл берется по формуле [13) с 'у = 1, и = 0 Дальнейшие вычисления длинны, но элементарны и дают в результате следующее выражение для сечения: 2э 'тт о 2х тто е [д т о созу-~-[ -~- )соз у] д~т 2 4 2 Π— О хату~[9~ -~-2тухсоз у-~-1+мт]4[[9-~-м) -~-ц[[9 — м)о -~-ц[1 — е ~ У ) х ехР1 — [2ттх) агсой[2хДд — х Ф 1)]) туп до дх. ИнтегрирОвание по всем углам испускания вторичного электрона производится элементарно и дает распределение рассеяния по направлениям при данной энергии м~/2 испущенного электрона 21 ейных [туг + [1тз) [1 -~- хо)] схру — [2/х) агс18[2х '[туо — жо -~- 1)]) й,~ [[д + х) т Ц [[д — м) + Ц [1 — е У ) При ту» 1 зто выражение имеет острый максимум при м — д; вблизи максимума 2' дх до , 4 [1 + [, )т]з ' Интегрируя по Но = 2яйтяу,тУт~ [2хх/й~) д[д — х), получим выражение 8ят1х/Йох, совпадающее, как и следовало, с первым членом по формуле [148.17).
8 149. Эффективное торможение В применениях теории столкновений большое значение имеет вычисление средней потери энергии сталкивающейся частицей. Эту потерю удобно характеризовать величиной (Ь~ = ~[Š— ЕО) с[у„, о [149.1) 1 = — ( ехр[ — 441г — тлтт — Лг)à —, 1, т[хг -~- хг) дЛ/ х т ) л=т Интегрирование производим в параболических координатах с осью т вдоль направления х и углом от, отсчитываемым от плоскости [с1, х): уд 7( -( — 1'уу"- нот) о- >- ч,т 2 дЛ,/,/ о о о — [ЛУ2) [8 -~- ту) — [тУ2) ж[8 — тЯГ[т[х, 1, 4хЕ) тйр Щ туту ) л=т [7 — угол между х и 41). Интегрирование по Жр отч легко производится путем подстановки Ясоз от =- и, уп эти От = г,после чего получается 1 ( д У' [ — д гйпз 7+ Л + [х+дсозт)' ) Г[т,Ух,1,тхб) ٠— — ( ехр 2тт ] дЛ,т' [ 2[т[х+оооо у) — Л] ([т[х+йсоз у) — Л] о 760 неупгугие столкновения гл хуп| которую мы будем называть эффективным гпормоогсемием (дифференциальным);.
суммирование производится, разумеется, по состояниям как дискретного, так и непрерывного спектров, дэг отнесено к рассеянию в данный элемент телесного угла') . Общая формула для эффективного торможения быстрых электронов имеет вид дзс= 8эг( — ) 'э,(Еа — Ео) (и ) е ~ч 0)~ "~ (149 2) и а (йтп из (148.9)). Исключим, как и при выводе (148.23), из рассмотрения область совсем малых углов и снова будем считать, что (по/п)~ << д << 1; тогда е не зависит от величины передаваемой энергии и сумма по п может быть вычислена в общем виде.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
