III.-Квантовая-механика (1109680), страница 149
Текст из файла (страница 149)
С другой стороны, рассматривая столкновения электронов с атомом, мы писали (для малых углов) Сравнение обоих выражений позволяет заключить, что формулы, полученные нами для столкновений электронов с атомами, Учитывая, что заряд частицы может отличаться от заряда электрона, будем писать зез вместо ез, где зе есть заряд падающей частицы. Общая формула для неупругого рассеяния, написанная в форме (148.9) 766 НЕУПРУГИЕ ОТОЛКНОВЕНИЯ ГЛ Х1 П! выраженные через скорость и угол отклонения, переводятся в формулы для столкновения тяжелых частиц заменой везде 1в том числе в элементе телесного угла до = 2Я в1п д 4д — 2яд дд): д — > — д, 1150.6) т Ип, = 8х(,) ~У вЂ” Л'( )) —,.
1150.7) Что касается упругого рассеяния тяжелых частиц на углы д 1, то оно сводится к резерфордовскому рассеянию на ядре атома. Особого рассмотрения требует неупругое рассеяние с ионизацией атома при большой передаче импульса. В отличие от того, что мы имели при ионизации электроном, здесь никаких обменных эффектов, разумеется, нет.
Для тяжелых частиц характерно, что большая передача импульса (дао » 1) отнюдь не означает отклонения на болыпой угол; д всегда остается малым. Сечение ионизации с испусканием электрона с энергией между е и е + де получится непосредственно из формулы 1148.25), которую мы пишем в виде и полагаем 6Щ2т = е 1весь импульс пс1 передается одному атомному электрону).
Это даст 2ЕЕХ~Е Й ЕЬ, = ШЕ 1150.8) При столкновениях тяжелых частиц с атомами особый интерес представляют интегральные эффективные сечения и торможения. Полное сечение неупругого рассеяния определяется прежней формулой 1148.26). Полное эффективное торможение получается подстановкой в 1149.12) вместо д~ максимальной возможной передачи импульса д . Последнюю легко выразить через скорость частицы следующим образом. Поскольку й~, все еще мало по сравнению с первоначальным импульсом ЛХН частицы, при той же скорости п налетающей частицы. Качественно это означает, что вся картина рассеяния на малые углы оказывается 1при заданной скорости) суженной в отношении т/ЛХ.
Полученные правила относятся также и к упругому рассеянию на малые углы. Произведя преобразование 1150.6) в формуле 1139.4) с д « 1, получим сечение 5 151 РАООеяние нейтРОнОВ й'ое е = = 6тгс1 < 6нд. 2гп Отсюда имеем 6О < 2ти, т. е, 69, = 2тс, е = 2тн~. (150.9) Отметим, что наибольший угол отклонения частицы при неупру- гом рассеянии равен Ьд, 2гп ЛХР И Подставляя (150.9) в (149.12), получим полное эффективное тор- можение тяжелой частицы: 4лУз~е 2нлз зс =, 1п гав 1 (150.10) й 151. Рассеяние нейтронов В ряде физических задач теории столкновений мы встречаемся с необходимостью выяснить влияние, которое оказывает на процесс рассеяния собственное движение рассеивающих центров. В определенных условиях оказывается возможным применить к решению таких задач своеобразную теорию возмущений, развитую Ферми (1936), хотя к рассеянию на каждом центре самом по себе теория возмущений может и не быть применимой.
К такого рода вопросам относится, в частности, задача о рассеянии медленных нейтронов на системе атомов, скажем, на молекуле. Для определенности будем говорить ниже именно об этой задаче. Электроны практически не рассеивают нейтронов, так что все рассеяние фактически происходит на ядрах'). Будем считать,что амплитуда рассеяния отдельным ядром мала по сравнению с межатомнымн расстояниями. Тогда амплитуда волны, ') Подразумевается также, что молекула не обладает магнитным моментом.
В противном случае имеется еще специфический эффект рассеяния, связанного со взаимодействием магнитных моментов молекулы и нейтрона. то изменение ее энергии связано с изменением импульса соотношением ЬЕ = н 6с1. С другой стороны при большой передаче импульса вся эта энергия передается в основном одному атомному электрону, .так что мы можем написать 768 неупгуГие стОлкнОВения ГЛ ХУП! 11(г) = — уо(г), 1151.1) где ЛХ приведенная масса нейтрона и ядра. При подстановке этого выражения в формулу Бориа (126.4) б-функция обращает интеграл в постоянную величину, не зависящую от с1.
Определенное таким образом «поле» 11(г) называют псевдопотпенциалом. Подчеркнем, что возможность его введения связана именно с постоянством 1. В общем случае произвольной энергии нейтрона амплитуда рассеяния зависит от начального и конечного импульсов р и р' в отдельности, а нс только от их разности с1; между теы амплитуда., вычисленная в борновском приближении, может зависеть только от с1') .
Если рассеивающее ядро совершает заданное движение (например, колебания в молекуле), то при усреднении по этому движению взаимодействие (151.1) «размазывается» по области с размерами, вообще говоря, большими по сравнению с амплитудой рассеяния у. Для такого еразмазанного» взаимодействия выполняется условие 1126.1) применимости борновского приближения. ) Подчеркнем такжс, что хотя пссвдопотснциал даст правильноо значснис амплитуды рассеяния при формальном применении теории возмущений, зто отнюдь нс означает, что теория возмущений действительно примонима к такому полю. Напротив, для потенциальной ямы с глубиной 1гс, стремящейся к бесконечности по закону Ц~а = сопв1 (а — стремящийся к нулю радиус з ямы), условия (126.1), (126.2) заведомо нс выполняются.
рассеянной каждым из ядер в молекуле, становится малой уже в точках нахождения других ядер. В этих условиях амплитуда рассеяния молекулой сводится к сумме амплитуд рассеяния отдельными ядрами. К столкновению нейтрона с ядром теория возмущений, вообще говоря, неприменима; хотя радиус действия ядерных сил мал, но в пределах этого радиуса силы очень велики. Существенно, однако, что амплитуда рассеяния медленного нейтрона (длина волны нейтрона велика по сравнению с размерами ядра) есть постоянная величина, не зависящая от скорости. Пусть у, -амплитуда рассеяния на а-м ядре; ~~,~ до --дифференциальное сечение упругого рассеяния нейтрона на свободном ядре (в системе их центра инерции). Постоянная амплитуда может быть формальным образом получена из теории возмущений, если описывать взаимодействие нейтрона с ядром «точечной» потенциальной энергией 5 151 РАССЕЯНИЕ НЕЙТРОНОВ Таким образом, будем описывать взаимодействие нейтрона с молекулой псевдопотенпиалом 51(г) = — 2х6~ ~~~ — б(г — Н.
), (151.2) а где суммирование производится по всем ядрам в молекуле; Ва их радиусы-векторы; г радиус-вектор нейтрона. Подставив это выражение в формулу теории возмущений (148.3) (с приведенной массой молекулы и нейтрона ЛХ в качестве т), получим следующую формулу для сечения рассеяния нейтрона молекулой в системе их центра инерции: ~2 йт„= И~ Р 2 — '(п[е 'ч~'[0)~ до.
(151.3) "' Р Матричные элементы берутся здесь по волновым функциям стационарных состояний движения ядер с энергиями Ео и Е„, а импульсы р и р' связаны друг с другом законом сохранения энергии Р Р 2ЛХ„ = Еа — Ео. Формула (151.3) описывает неупругое столкновение, сопровождающееся определенным изменением состояния движения ядер в молекуле (переход Π— 1 и). Она решает поставленную задачу: по амплитудам рассеяния нейтронов на свободных ядрах (предполагающимся известными) ею определяется сечение рассеяния на молекуле с учетом собственного движения ядер и с учетом интсрференционных эффектов от рассеяния на различных ядрах. Если ядра обладают отличным от нуля спином, то должно быть еще учтено, что амплитуды рассеяния 1а зависят от суммарного спина рассеивающего ядра и нейтрона. Это может быть сделано следующим образом.
Суммарный спин ядра и нейтрона может принимать два значения: 1 = га т. 1,12, где га ---спин ядра; соответствую1цие значения амплитуды рассеяния обозначим через Д и 1" . Составим спиновый оператор, собственные значения которого при определенных значениях уа были бы равны соответственно 1,' и ~' Таковым является 1, = па+5,в1, (151.4) где 1 и в -- операторы спинов ядра и нейтрона, а коэффициенты аа и 6, даются формулами Па = .
[(1а + 1)1а + 1а1а )~ 770 Гл Х1 п! неупгугие столкновения В этом легко убедиться, заметив, что при заданном значении 1 собственное значение оператора гв есть в1 = — рО + 1) — г(г + 1) — — ~. 1Г. 31 Операторы (151.4) и должны быть подставлены в формулу (151.3) вместо 1, со взятием от них матричных элементов, отвечающих рассматриваемому переходу. Если падающие нейтроны и ядра мишени не поляризованы, то сечение рассеяния должно быть соответствующим образом усреднено. Задачи 1.
Произвести усреднение формулы Г151.3), предполагая направление спинов нейтронов и ядер распределенными полностью беспорядочным образом. Все ядра в молекуле — различные. Р е ш е н и е. Усреднения по направлениям спиноз нейтронов и ядер независимы, а каждый из них при усреднении дает нуль; поэтому э1 = О. Если лголекула не содержит одинаковых атолюв, то обменное взаимодействие ядерных спинов отсутствует, и в силу ничтожности нх непосредственного взаимодействия направления спинов различных ядер в молекуле можно считать независимыми; поэтому обращаются в нуль при усроднении также и произведения вида ГЕ1г)(в1г). Для квадратов же (ЕЦ имеем ° г 1 г.г э(а т 1)гГг т 1) — г1г ч 1) 3 3 4 В результате получаем следующее выражение ютя усредненного сечения; 2.
Применить формулу (151.3) к рассеянию медленных нейтронов на пара- н ортоводороде (1. Ясймгпдег, Е. Тейег, 1937). Р е ш е н и е. До вычисления матричных элементов спиновых операторов выражение )151.3) для рассеяния на молекуле Нг имеет вид с6т„.=- Р (а(п)е *"М + е ч'1 )0) -~- Ьэ(п~1ге чм -~- 4е'ч" 0) 4о, (1) 9р а = — (3 Ге + 1 ), Ь =. 1~ — 1 4 (хг/2 — радиусы-векторы двух ядер в молекуле относительно их центра инерции). Вращательные и колебательные состояния молекулы определяются квантовыми числами К, ЛХЕ, и (совокупность которых и надо понимать под и в Г1)). В основном электронном состоянии молекулы Нг четные значения К возможны лишь при полном ядерном спине 1 = 0 (параводород), а нечетные К вЂ” при 1 =- 1 (ортоводород) Гсы. 386). Поэтому следует различать два случая: 1) переходы меж,чу врапгательнымн состояниями со значениями К одинаковой четности, возможные лишь без изменения 1 (переходы орто— орто и пара — пара), 2) переходы между состояниями со значениями К различной четности, возможные лишь с изменением 1 (переходы орто — пара и пара — орто).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
