III.-Квантовая-механика (1109680), страница 146
Текст из файла (страница 146)
Неупругое столкновение сопровождается изменением внутреннего состояния атома. Атом может перейти из нормального состояния в возбужденное состояние дискретного или непрерывного сг2ектра; в последнем случае это означает ионизацию атома. При выводе общих формул эти случаи можно рассматривать вместе. Исходим (как и в ~ 126) из общей формулы для вероятности перехода между состояниями непрерывного спектра, применяя ес к системе, состоящей из падающего электрона и атома. Пусть р, р' импульсы падающего электрона, а Ес, Е„энергии атома соответственно до и после столкновения. Для вероятности перехода имеем вместо (126.9) выражение 22 2 Г1Н2„= — ~(п,р'~ЦО,р)~~б(" " + ń— Ес) ~~ 2, (148.Ц где матричный элемент борется от энергии взаимодействия падающего электрона с атомом (г —. радиус-вектор падающего электрона, г -- атомных электронов, начало координат выбрано в ядре атома; пт--.
масса электрона). Волновыс функции фр, фр электрона определяются прежними формулами (126.10), (126.1Ц; тогда Г12Н есть сечение столкновения Г1ГГ. Волновые функции атома в исходном и конечном состояниях обозначим через С2С, 2Г„. Если конечное состояние атома относится к дискретному спектру, то ф„(как и у2с) нормирована обычным образом на единицу. Если же атом переходит в состояние непрерывного спектра, то волновая функция нормируется на д-функцию от параметров 22, определяющих эти состояния (этими параметрами могут быть, например, энергия атома, компоненты импульса вылетевшего из атома при ионизации электрона).
Получающиеся в результате сечения определяют вероятность столкновения с переходом атома в состояния непрерывного спектра, лежащие в интервале значений параметров между и и 22+ ди. Интегрирование в (148.Ц по абсолютной величине р' дает сйт„— ~(пр )бГ)Ор)( Г1о, 2 148 СТОЛКНОВЕНИЯ БЫСТРЫХ ЭЛЕКТРОНОВ С АТОМАМИ 751 где р определяется из закона сохранения энергии — ~п ~0 1148.2) 2т 1148.5) ) В таком виде это есть общая формула теории возмущений, применимая не только к столкновениям электронов с атомом, но и к любым неупругим столкновениям двух частиц, определяющая сечение рассеяния в системе координат, в которой покоится центр инерции частиц 1т есть тогда приведенная масса обеих частиц). Подставив в матричный элемент волновые функции электрона из 1126.10), 1126.11), получим 2 ГГ 2 сгсгп = а 4 О с2е 2)2п2)2е с)т сП' сЬ 1148.3) и 4Г264 р 1г1т = ~Л'1Л'2...
Лта элемент конфигурационного пространства х электронов атома, штрих у с1о опускаем) ') . При п = 0 и р = р' формула 1148.3) переходит в формулу для сечения упругого рассеяния. В силу ортогональности функций зр„и 2ре член в Г, содержащий взаимодействие х е /г с ядром, исчезает при интегрировании по дт, и, таким образом, имеем для неупругих столкновений 2 сктп = 2 4 — ~~',Д е и 'р„2рогстс)1" до.
1148.4) ~г — г ( а Интегрирование по д'Р" может быть произведено подобно тому, как это было сделано в 8 139. Интеграл рч1га) = с~~ (г — г,! совпадает формально с компонентной Фурье потенциала, создаваемого в точке г зарядами, распределенными в пространстве с плотностью р = о'(г — г ). Поэтому по 1139.1) находим ~рч(га) = —,е 4 Подставив это выражение в 1148.4), приходим окончательно к следующему общему выражению для сечения неупругих столкновений: йт„= (е, ) — 4~(п ~1 е ч ' О) с1о, 1148.6) а где матричный элемент берется по волновым функциям атома, а вместо импульсов введены волновые векторы 1с = р/Ь, 75 ГЛ Х\ П! НЕУПРУГИЕ О'ГОЛКНОВЕНИЯ к = р /6.
Эта формула определяет вероятность столкновения, при котором электрон рассеивается в элемент телесного угла Г1о, а атом переходит в и;е возбужденное состояние. Вектор — 6с1 представляет собой импульс, передаваемый электроном атому при столкновении. При вычислениях бывает удобнее относить сечение не к элементу телесного угла, а к элементу йц абсолютных значений вектора с1. Вектор с1 определен как Е1 = к' — 1с; для его абсолютной величины имеем ц = й +к'~ — 26Е'соэд.
(148.7) Отсюда при заданных 6, к', т.е. при заданной потере энергии электроном, Г7Г1Г7= ЫЕ1пддд = — с~о. (148.8) 2Е Поэтому формулу (148.6) можно переписать в виде ,г 21 2 йта = 8гг( — ) — ~ (и ~г е 'ч" О) . (148.9) а Вектор с1 играет существенную роль в дальнейших вычислениях. Рассмотрим подробнее его связь с углом рассеяния д и передаваемой при столкновении энергией ń— Ее. Мы увидим ниже, что основную роль играют столкновения, вызывающие рассеяние на малые углы (д «1) с передачей энергии, малой по сравнению с энергией Е = пгпз/2 падающего электрона: ń— Ее «Е.
Разность й — й' при этом тоже мала (й — 6' «6), и потому Еа Ео = — (к — 6 ) = — й(6 — й') = 6и(6 — й ) В силу малости д имеем из (148.7) 92 — (6 — 6')~+ (ед)~ и, окончательно, (148.10) Минимальное значение д: Чпеа = (148.11) гга При малых углах можно сщс различать различные области в зависимости от соотношения между малыми величинами д и пе/и (ее — — величина порядка скорости атомных электронов).
Если рассматривать передачи энергии порядка энергии ее атомных электРонов (ń— Ее ее теса), то пРи (пе/е) «д «1 г7 = йд = пгп/6д (148.12) з 148 ОТОЛКНОВЕНИЯ ВЪ|СТРЫХ ЭЛЕКТРОНОВ С АТОМАРЛИ 753 (первый член под знаком корня в (148.10) может быть опущен по сравнению со вторым); следовательно, в этой области углов д не зависит от величины передаваемой энергии. При д « 1 величина г7 может быть как большой, так и малой по сравнению с 1/ае (где ао величина порядка атомных размеров). При том же предположении о величине передаваемой энергии имеем дао - 1 при д - хо/ш (148.13) Вернемся теперь к исследованию общей формулы (148.9) и рассмотрим случай малых д (дае « 1, т. е. д « оо/о).
В этом случае можно разложить экспоненциальные множители по степеням ер е 'ч' — 1 — ъс1г„= 1 — ъах (ось х вдоль вектора с1). При подстановке этого разложения в (148.9) члены с 1 дают нуль в силу ортогональности волновых функций гро и узап и мы получим г1а„= 8п( — ) — ~)(п)г1 /0))й = ( — ) ((и/11 )О)/~ —,, (148.14) где а, = е2 х, -- коълпонента дипольного момента атома. Мы видиъг, что сечение рассеяния (при малых д) определяется квадратом модуля ъзатричного элемента дипольного момента для перехода, соответствующего изменению состояния атома') . Может, однако, оказаться, что матричный элемент диполь- ного момента для данного перехода тождественно исчезает в силу правил отбора (запрещенный переход).
Тогда разложение ехр( — гс1г,) надо продолжить до следующего члена и мы полугЬт„= 2я( — ) ~ (п~~ х~ ~0) цдка. (148.15) а Рассмотрим теперь противоположный предельный случай болыпих д (дао » 1). Болыпие д означают, что атому передается импульс, большой по сравнению с собственным первоначальным импульсом атомных электронов. Физически заранее очевидно, что в этом случае можно рассматривать атомные электроны как свободные, а столкновение с атомом †. как упругое столкновение падающего электрона с первоначально покоившимися атомными электронами.
Это видно также и из общей формулы (148.9). При больших с1 подынтегральное выражение в матричном элементе содержит быстро осциллирующие множители схр( — гс1г,) и интеграл не близок к нулю, только если фв содержит такой же мно- 1 ) Физический интерес представляет обычно сечение Ип„, просуммированное по всем направлениям момента атома в конечном состоянии и усредненное по направлениям момента в начальном состоянии. После такого суммирования и усреднения квадрат ~(пф ~0)~ уже не зависит от направления оси х. 754 ГЛ ХУП! неупгуГие стОлкнОВения житель. Такая функция ф„соответствует иопизированпому атому с электроном, вылетевшим из него с импульсом — йс1 = р — р', определяющимся просто законом сохранения импульса, как это было бы при столкновении двух свободных электронов.
При столкновении с большой передачей импульса оба электрона Гпадающий и атомный) могут в результате приобрести сравнимые по величине скорости. В связи с этики становятся существенными не принятые во внимание в общей формуле 1148.9) обменные эффекты, связанные с тождественностью сталкивающихся частиц.
Сечение рассеяния быстрых электронов с учетом обмена определяется формулой 1137.9); эта формула относится к системс координат, в которой один из электронов до столкновения покоился. Для быстрых электронов косинус в последнем члене в Г137.9) можно заменить единицей. Умножив также на число х' электронов в атоме, получим сечение столкновения электрона с атомом в виде сп = 4л( э) ( 4 + 4 э 4 ) СОвддо. 1148.16) В этой формуле удобно выразить угол рассеяния через энергию, приобретаемую электронами после столкновения. 1хак известно, при столкновении частицы с энергией Е = тнз/2 с покоящейся частицей той же массы энергия частиц после столкновения равна е = Е Е1п~ д, Š— е = Е сов~ д. Для того чтобы получить сечение, отнесенное к интервалу НГе, выражаем до через ГГе согласно соотношению совдс1о = 2лсовде1пдаГд = ГТГЕ) ГГе.
Подстановка в 1148.16) приводит к окончательной формуле ГГОЕ = лх е ~ —, +, — ] —. 4Г1 1 1 1ае (148.17) (Š— е)~ ЕГŠ— е) Е Если одна из энергий е или Š— е мала по сравнению с другой, то из трех членов в этой формуле существен лишь один Гпервый или второй). Это соответствует тому, что при большой разнГице в энергиях обоих электронов обменный эффект несуществен и мы должны вернуться к обычной формуле Резерфорда ') . Интегрирование дифференциального сечения по всем углам (или, что то же, по 4ГГ) дает полное сечение оа столкновения с возбуждением данного состояния атома. Зависимость оп от скорости падающего электрона существенно связана с наличием или отсутствием матричного элемента дипольного момента атома для соответствующего перехода.
Предположим сначала, что ) Для столкновения позитрона с атомом обменный эффект Вообще отсутствует, и формула Резерфорда 4а, = Гяуре /Е) Г14/е имеет место при Всех Л» 1/ао. з 148 СТОЛКНОВЕНИЯ БЫСТРЫХ ЭЛЕКТРОНОВ С АТОМАМИ 755 этот элемент отличен от нуля. Тогда при малых д сечение йт„ определяется формулой (148.14) и мы видим, что с уменьшением г7 интеграл по с(д логарифмичсски расходится.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
