III.-Квантовая-механика (1109680), страница 141
Текст из файла (страница 141)
Для столкновения притягивающихся частиц имеем при этом сс = 2л.А/)с~, (143. 6) а для столкновения отталкивающихся частиц ГГ„= (22ГА,1)с~)е ~ )ь. (143. 7) В последнем случае сечение стремится к нулю при е — 1 О. Экспоненциальный множитель, отличающий (143.7) от (143.6), есть вероятность прохождения через кулонов потенциальный барьер; в обычных единицах он имеет вид ехр( — 22гх1Узез/Ьп). Отметим, что предельный закон (143.6) относится не только к полному, но и к парциальным сечениям с каждым моментом 1') .
Это видно из того, что в разложении (136.1) функций ф (фигурирующих в использованных нами формулах (Р) ') То же самое относится к закону (143.7). гл хуп| неупгугие столкновения (136.10), (136.11)) во всех членах суммы функции Вы имеют одинаковую предельную зависимость от Й.
Действительно, в пределе к — э 0 радиальные функции (в случае притяжения) даются выражениями (36.25) и вблизи центра имеем Ли Яг'. Вклады отдельных моментов в квадрат волновой функции в зоне реакции а /1с, т. е. одинаково зависят от 7с, хотя и ослабляют- 21 Ся МаЛЫМ МНОжятЕЛЕМ (а/ас)2~ (ас = 62/(Птх1Я2Е2) — КуЛОНОВа единица длины). 8 144. Матрица рассеяния при наличии реакций Рассматривавп1ссся в 8 142, 143 сечение ог представляло собой суммарное сечение всех возможных неупругих каналов рассеяния. Покажем теперь, каким образом строится общая теория неупругих столкновений, в которой каждый канал может рассматриваться в отдельности.
Пусть в результате столкновения двух частиц возникает снова две (те же или другие) частицы. Перенумеруем все возможные (при заданной энергии) каналы реакции и будем отмечать относящиеся к ним величины соответствующими индексами. Пусть канал 4 является входным. Волновая функция относительного движения сталкивающихся частиц (в системс центра инерции) в этом канале представляет собой уже неоднократно писавшуюся нами сумму падающей плоской волны и упруго рассеянной расходящейся волны: ф, = ехр(гйге) + ~п(В) ехр(г1с,г)/г. (144.1) Квадрат амплитуды (б дает сечение упругого рассеяния в канасЬп = (~;;) с1о.
(144.2) В других каналах (гиндекс у) волновые функции относительного движения частиц представляют собой расходящиеся волны. По причине, которая выяснится ниже, эти волны удобно представить в виде') (144.3) ) Мы снова (ср. примеч. на с. 187) отмечаем начальное состояние системы индексом г, а конечное — индексом 7". В амплитуде рассеяния индекс коночного состояния располагается слева от индекса начального состояния в соответствии с расположением индексов матричных элементов. В таком же порядке будут располагаться, для единообразия, индексы в обозначениях сечений. 727 мАРРНПА РАссеяния НРи нАличии РеАк11ий где 1су — волновой вектор относительного движения продуктов реакции (в канале 7), 0 его угол с осью е, а гп1 и ту приведенные массы двух начальных и двух конечных частиц. Рассеянный поток в телесном угле Йо получается умножением квадрата ~ф7~ на пут до, а сечение соответствующей реакции делением этого потока на плотность падакнцего потока, равную п;: Йту; = ~~7;~ — Йо7, (144.
4) Р, где импульсы р, = т1Н1, ру = т717. В ~ 125 был введен оператор рассеяния У, переводящий сходящуюся волну в расходящуюся. При наличии нескольких каналов этот оператор имеет матричные элементы для переходов между различными каналами. «Диагональные» по каналам элементы соответствуют упругому рассеянию, а недиагональные— различным неупругим процессам; все эти элементы остаются еще операторами по другим переменным.
Они определяются следуюп1им образом. Подобно тому как это было сделано в ~ 125, введем операторы 7н, ©, свЯзанные с амплитУдами ~и, 77;, опРеделив их фоРмУо71 = 571+ 2ч.',„(КИ7бь (144. 5) Легко видеть, что именно при таком определении мы получим о-матрицу, которая должна будет удовлетворять условию унитарности. Действительно, напишем волновую функцию во входном канале в виде совокупности сходящейся и расходяп1ейся волн, как она была представлена в ~ 125: ф; = Р( — и') ' Р( * — (1+ 241«;(н)Г(п') = г( — и') ' ~ ' — У„г(п') ' ~ * (144.6) г Ги РААП вЂ” 1/2 (здесь введен, для удобства, лишний множитель п,. по сравнению с выражением (125.3)).
Тогда, при принятых нами обозначениях амплитуд, волновая функция в канале 7 запишется в виде фу = 241«11/т~7т127,г'(и') ~ = Б7„Р(п') ~ . (144.7) Г /РГ Поток в сходящихся волнах должен быть равен сумме потоков в расходящихся волнах во всех каналах: это требование выражает собой очевидное условие, что сумма вероятностей всех НЕУПРУГИЕ ОТОЛКНОВЕНИЯ гл хуп| (144.9) или, что то жс: (144.12) возможных (упругого и неупругих) процессов, которые могут возникнуть при столкновении, должна быть равна единице.
Благодаря введенным в знаменатели сферических волн множителям ~/и скорость выпадает из плотностей потоков в них. Поэтому поставленное условие означает просто требование совпадения нормировок сходящейся и совокупности расходящихся волн, Оно выражается, следовательно, по-прежнему условием унитарности оператора рассеяния, понимаемого как матрица, в частности, и по номерам различных каналов. Для операторов © это условие выражается равенством © — ф = 21 ~' И„77„~,'„, (144Н8) и аналогичным (125.7)., индекс + означает здесь комплексное сопряжение и транспонирование по всем остальным (помимо номера канала) матричным индексам. Я-матрица диагональна по отношению к состояниям с определенными значениями величины орбитального момента I; соответствующие матричные элементы будем отличать индексом ®.
Воздействовав операторами 7н и ~у; на функцию (125.17), получим амплитуды упругих и неупругих процессов в виде (21+ 1)(Яй — 1)Р~(сов 0), ' ~=о ~у, = ~> (21+ 1)Я Р~(совд). ' '~=о Соответствующие интегральные сечения ГГН= —, ~ (21+1)~1 — Я,, ~, ГГг,= —, ~ (21+1)~Я~, ~ . (144.10) * ~ — о * ~=о Первая из этих формул совнадаст с (142.3).
Полное же сечение реакций п„(из входного канала 4) есть сумма и„= 2,' оу; по всем 7 ~ 1. В силу унитарности о'-матрицы имеем ~~ ~Яу,~э = = 1 — ~ЯН~Е, и мы возвращаемся к формуле (142.4) для ои. Симметрия процесса рассеяния по отношению к обращению времени (теорема взаимности) выражается равенством Уу; = У,*Р. (144.11) мАРРицА РАссеяния пРи нАли 1ии РеАкций 729 Здесь 1'* и у* обозначают состояния, отличающиеся от состояний 1 и у изменением знаков импульсов и проекций спинов частиц'); о них говорят как об обращенных по времени по отношению к состояниям 1 и 1.
Соотношения (144.11), (144.12) обобщают формулы (125.11), (125.12), относящиеся к упругому рассеянию') . Равенство (144.12) приводит к следующему соотношению для сечений реакции: Й~у;(руйоу = Йпг 1*(р; Йо,*. (144. 13) Оно выражает собой принцип детпального равновесия.
Как было указано в ~ 126, в случае применимости теории возмущений в первом ее приближении, наряду с теоремой взаимности, имеет место также и дополнительное соотношение между амплитудами прямого и обратного (в буквальном смысле слова) процессов; 1 — Э 1 и у — 1 1.
Это свойство, выражающееся равенством )7; = 1;.*~, имеет место (в том жс приближении) и для неупругих процессов. Сечения при этом связаны равенством Йпу,(р~~Йоу = Йст,у(р~Йо,. (144.14) Разница между переходами 4 -Э 7 и 1' — > 7* исчезает, если рассматривать интегральные сечения, проинтегрированные по всем направлениям р«, просуммированные по направлениям спинов конечных частиц н17, л21 и усредненные по направлениям импульса р, и спинов з1;, а2, начальных частиц. Обозначим такое сечение через оу,: 1 4я12а„+ 1И2е„ь 1) (тп, ) сумма берется по проекциям свинов всех частиц; множитель же перед знаком сумм и интегралов связан с тем, что по величинам, относящимся к началытым частицам, производится не суммирование, а усреднение.
Написав (144.13) в виде 2 2 р; Йсту;Йог* = руЙа;.1.Йоу и произведя указанные действия, получим искомое соотнотпение а«Р,«т1« = Куру«у«1; (144. 15) ) Для сложных частиц (атом, атол«нос ядро) под «спином» надо понимать здесь полный собственнь«й момент, составленный как нз спннов, так н из орбитальных моментов внутренних движений составных частей. ~) Мы отвлекаемся здесь от множителя — 1, который может возникнуть для столкновений частиц, обладающих олином (ср.
(140.11)). Это обстоятельство не отражается, конечно, на соотношении (144.13) для сечений. 730 гл луп| НЕУПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ через й; и кг здесь обозначены величины д, = (2гп+ 1)(2гй, + 1), дг = (2в11 + 1И2ггг+ 1), (14416) определяющие числа возможных ориентаций спинов пары начальных и пары конечных частиц; эти числа называют статистическими весами состояний 1 и 1. Наконец, отметим следующее свойство амплитуд ~уь Мы видели в предыдущем параграфе, что сечение реакции меняется при р; -+ О по закону ау; 1/р; (при достаточно быстром убывании взаимодействия на болыпих расстояниях).
Согласно формуле (144.4) это означает, что уу, — ~ сопв$ при р, — > О. В силу симметрии (144.12) отсюда следует, что уу; стремится к постоянному пределу также и при ру — з О. Мы еще вернемся к этому свойству в ~ 147. я 145. Формулы Врейта и Вигнера В й 134 было введено понятие о квазистационарных состояниях, как о состояниях, обладающих конечной, но сравнительно большой продолжительностью жизни.
С широкой категорией таких состояний мы имеем дело в области ядерных реакций при не слишком болыпих энергиях, идущих через стадию образования составного ядра ') . Наглядная физическая картина происходящих при этом процессов заключается в том, что падающая на ядро частица, взаимодействуя с нуклонами ядра, «сливается» с ним, образуя составную систему, в которой привнесенная частицей энергия распределяется между многими нуклонами. Резонансные энергии соответствуют квазидискретным уровням этой составной системы. Большая (по сравнению с периодами движения нуклонов в ядре) продолжительность жизни квазистационарных состояний связана с тем, что в течение большей части времени энергия распределена между многими частицами, так что каждая из них обладает энергией, недостаточной для того, чтобы вылететь из ядра, преодолев притяжение остальных частиц.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
