III.-Квантовая-механика (1109680), страница 140
Текст из файла (страница 140)
1ЬУ 2 / Х т. е. получающейся усреднением эффективных полей всех 11Г частиц среды по ее объему 1Г. Это становится очевидным, если рассмотреть сначала рассеяние на отдельном участке среды, в котором хотя и находится уже много рассеивающих центров, но эффект рассеяния еще мал (возможность выделения таких участков обеспечивается условием (142.16)). Ослабление пучка при прохождении через такой участок определяется амплитудой рассеяния на нулевой угол, которая в свою очередь в борновском приближении определяется интегралом от рассеивающего поля по всему объему рассеивающего участка. Это и значит, что интсресуюп1ие нас рассеивательные свойства среды полностью определяются усредненным по ес объему полем (142.17). Таким образом, проходящий через среду пучок частиц можно описывать плоской волной е' ' с волновым вектором ГЛ ХНП1 неупгугие столкновения Наряду с поглощением комплексный показатель преломления (142.18) определяет также (своей вещественной частью) закон преломления пучка при входе и выходе из рассеивающей среды') .
Задача Нейтроны рассеиваются тяжелым ядром, причем длина волны нейтронов мала по сравнению с радиусом а ядра (1га » 1). Предполагается, что все нейтроны, падающие с орбитальным моментом 1 < 1га = 1е (т. е. с прицельным расстоянием р = Я/шв = 1/й < а), поглощаются ядром, а при 1 > 1о не взаимодействуют с ним вовсе.
Определять сечение упругого рассеяния на малые углы. Р е ш с н и о. В указанных условиях движение нейтронов происходит в основном квазиклассическим образом, а упругое рассеяние представляет собой результат слабого отклонения, вполне аналогичного фраунгоферовской дифракцни света на черном шарике. Поэтому искомое сечение может быть написано непосредственно по известному решению дифракционной задачи ): 2 31 Яад) й|т = 1ГО, О. 1В Этот же результат можно получить и из (142.3).
По условию задачи имеем 91 =- О при 1 < 1е и 51 = 1 при 1 > 1о. Поэтому амппитуда упругого рассеяния ДВ) =- — ~ ~(214-1)Р11соэВ). 1 1=О Основную роль в сумме играют члены с большими 1. Соответственно этому, пишем 21 вместо 21+ 1, а для Р1(сов В) при малых д пользуемся приближенным выражением (49.6) и переходим от суммирования к интегрированию. 1(В) = — I 13о(В1) Ж = — 1о 71(В1а) = — 71фад), 1',) йд В о ) Интересный пример применения формулы (142.17) представляет смещение высших уровней атома щелочного металла, погруженного в посторонний газ. В высоковозбужденном состоянии валентный электрон находится на среднем расстоянии г от центра атома, болыпом по сравнению с размерами а как атомного остатка, так и посторонних нейтральных атомов. Эти последние атомы, находящиеся внутри сферы радиуса г, играют для валентного электрона роль центров рассеяния н приводят к сдвигу его уровня энергии на величину (142.17).
При этолг поскольку дебройлевская длина волны возбужденного валентного электрона тоже велика по сравнению с а, амплитуда ДО,Е) — о, где и — длина рассеяния (ср.(132.9)). Таким образом, указанный эффект приводит к сдвигу уровней на постоянную величину 2яб ои/т, где т — масса электрона, а Р— плотность числа 2 частиц постороннего газа (Е. Регтг, 1934). ) См. П, 3 61, задача 3 (задача о дифракции на черном шарике эквивалентна задаче о дифракцни от круглого отверстия, прорезанного в непрозрачном экране). Сечение рассеяния получается делением интенсивности дифрагнрованных волн на плотность падающего потока.
723 3 143 неупРугое РАосеяние медленных зяотнц что и требовалось' ). Полное сечение упругого рассеяния и, = ла ( з 2ЕВВВ = яа Г Уг (йаВ) э яВ а (ввиду быстрой сходнмостп интегрирование может быть распространено до со); как и следовало в данных условиях (ср. (142.8)), оно совпадает по величине с сечением поглощения, равным просто площади геометрического сечения шарика. Полное сечение щ = 2яаэ. 3 143. Неупругое рассеяние медленных частиц Изложенный в 3 132 вывод предельного закона упругого рассеяния при малых энергиях легко обобщается на случай наличия неупругих процессов. Как и прежде, основную роль при малых энергиях играет рассеяние с 1 = О. Напомним, что, согласно полученным в 3132 результатам, соответствующий элемент о-матрицы был равен оа = ей' ' = 1+ 2гбо = 1 — 24)со. Использованные в 3 132 свойства волновой функции меняются только в том отношении, что налагаемое на нее условие на бесконечности (асимптотический вид (142.1)) теперь комплексно вместо вещественной стоячей волны в случае чисто упругого рассеяния.
В связи с этим оказывается комплексной и постоянная сг = — с2,Гс1. При этом модуль ~ЯО~ уже не равен единице; условие ~Я>~ ( 1 означает, что мнимая часть а = о' + 4ол должна быть отрицательна (сгн < О). Подставив оо в (142.7), найдем сечения упругого и неупругого рассеяний ое = 4н)гт)~, (143.1) сг„= (4ЛГ'й) !ал!. (143.2) Таким образоъц сечение упругого рассеяния по-прежнему не зависит от скорости. Сечение же неупругих процессов оказывается обратно пропорциональным скорости частиц так ) Аналогичным образом может быть рассмотрена задача о дифракционном рассеянии на эчерном» ядре быстрых заряженных частиц. При этом граничное значение 1е надо определять из условия, чтобы кратчайшее расстояние между ядром и частицей, движущейся по классической траектории в кулоновом поле, было как раз равно радиусу ядра.
При 1 ( 1е надо по-прежнему положить Я =- О, а при 1 .= 0 Я~ = е ' ', где 6~ — кулоновы фазы 2 б из (135.11). См. А. И. Ахиезер, И. ЯИомеранчук. Некоторые вопросня теории ядра. — М.: Гостехиздат, 1950, 3 22; 3. РЬуэ1сз 088Н.
1945. 'у'. 9. Р. 471. неупгугие стОлкнОВения Гл х\"и1 называемый закон 1/и (Н.А. ВЕ1Ие, 1935). Следовательно, при уменьшении скорости роль неупругих процессов по сравнению с упругим рассеянием возрастает') . Предельные законы (143.1) и (143.2) являются, конечно, лишь первыми членами разложения сечений по степеням к. Интересно, что следующий член разложения в обоих этих сечениях не содержит никаких новых постоянных, помимо фигурирующих в (143.1), (143.2) величин (Ф. 7. Шапиро, 1958).
Это обстоятельство ЯвлЯетсЯ следствием четности фУнкции 8о(й ) в выРажении (142.13) уо(1с) = 1/(8о(й~) — г1с] парциальной амплитуды рассеяния (/ = О). При малых 1с эта функция разлагается, следовательно, по четным степеням Й, так что следующим за яо — 1/о будет член к~. Пренебрегая этим членом, мы имеем право написать все же в Д(Й) два члена разложения уо(Й) — сл(1 — »1со). Соответственно можно сохранить следующие члены разложения и в сечениях, для которых легко получить следующие выражения; О, = 4к(сл(~(1 — 2й(слл!), (143.3) сгг = (4и~ол~/й)(1 — 21~он~). (143.4) Полученные результаты предполагают достаточно быстрое убывание взаимодействия на больших расстояниях.
Мы видели в 3 132, что амплитуда упругого рассеяния стремится при й — » О к постоянному пределу, если поле Б(г) убывает быстрее, чем г Это условие требуется и для справедливости аналогичного закона (143.1) при наличии неупругих каналов') . Закон же 1/и для сечения реакции требует выполнения более слабого условия: поле должно убывать быстрее, чем г ~, что ясно из следующего наглядного обоснования этого закона. Вероятность осуществления реакции при столкновении пропорциональна квадрату модуля волновой функции падающей частицы в «зоне реакции» (в области г а). Физически это утверждение выражает собой тот факт, что, например, сталкивающийся с ядром медленный нейтрон может вызвать реакцию, лишь «проникнув» в ядро.
Ксли взаимодействие убывает быстрее, чем г ~, то на пути от больших г до г а оно не меняет ') Аналогичным образом можно определить зависимость от скорости парцнальных сечений реакции для отличных от нуля орбитальных моментов 1. Ю Они оказываются пропорциональными п~ со к~~ л. Сечения же упругого ш рассеяния пл~ по-прежнему пропорциональны йл, т.е.
убывают при к — л О Ю быстрое, чем п~~ ~, с телля же 1. ) Формула же (143.3), учитывающая следующий член разложения по степеням к, требует убывания СГ более быстрого, чем г 725 неупРугое РАссеяние медленных ГАстиц порядка величины волновой функции; другими словами, отношение ((У(а)/2)2(сс) ~~ стремится при й — + 0 к конечному пределу (это видно из того, что в уравнении Шредингера член уф оказывается малым по сравнению с Ьф).
Сечение реакции получится делением ~ф~ на плотность потока. Взяв 2)1 в виде плоской волны, нормированной на единичную плотность потока, имеем ~2)2~ 1/н, т. е. искомый результат При столкновении заряженных ядерных частиц, наряду с короткодействующими ядерными силами, имеется также медленно убывающее кулоново поле. Это поле может существенно изменить величину падающей волны в зоне реакции. Сечение реакции получится умножением 1/п на отношение квадратов модулей кулоновой и свободной волновых функций (при г -+ О); это отношение дается формулами (136.10), (136.1Ц. Таким образом, получим (в кулоновых единицах) а„= (143. 5) АА2) А2,'2 1~ ~ знак плюс в показателе соответствует отталкиванию, а знак минус притяжению.
Коэффициент А есть постоянная закона 1/п; если скорость велика по сравнению с кулоновой единицей (Й » 1), то кулоново взаимодействие не играет роли, и мы возвращаемся к закону о„= А,))с. Если же скорость мала по сравнению с кулоновой единицей ()с « 1, т. е. в обычных единицах х1х2е /ГГП » 1, где х1е, Еэе— заряды сталкивающихся частиц), то кулоново взаимодействие играет доминирующую роль в определении величины волновой функции в зоне реакции.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
