III.-Квантовая-механика (1109680), страница 135
Текст из файла (страница 135)
15) 2а,к~ а1п~(й/2) 1, ка, 2 Вторую же скобку в [138.14) сохраняем только в члене с 1 = О. Таким образом, полная амплитуда рассеяния представится в виде 1" [д) = 1куа[О) + — [Е~' ' — 1) ЕХР[2Ы6УЯ). [138.16) Второй член в этом выражении можно назвать амплитудой ядерного рассеяния. Следует, однако, подчеркнуть, что такое разделение условно; ввиду определения бе, согласно [138.11), наличие кулонова взаимодействия существенно сказывается и на этом члене, который оказывается совершенно отличным от того, что было бы при тех же короткодействующих силах для незаРЯженных частиЦ. В частности, пРи Йао — У 0 фаза де, а с нею и весь второй член в [138.16) стремятся экспоненциально [как ехр[ — 2хфа,)) к нулю, т.
е. ядерное рассеяние полностью маскируется кулоновым отталкиванием. ') См. Л. Д. Ландау, Я. А. Смородинокий// ЖЭТЕ1. 1944. Т. 14. С. 269. 2 139 УпнУгив отолкноввнин выотвых элнктвонов о АтомАми 697 В сечении рассеяния обе части амплитуды интерферируют друг с другом; да — "' = ~~(в)!' = ("; 1 Г .,' 2тип~ / 1 в1п4ф/2) 4аа 7 2 . д 2 21 — япбо сов~ — 1пяп — + бо) + 4(ааа) япбо~.
1138.17) в1п 1а/2) на,. 2 Здесь предполагается, что сталкивающиеся частицы различны; для одинаковых частиц амплитуда рассеяния должна была бы быть перед возведением в квадрат предварительно симметризована (ср. 2137). 3 139. Упругие столкновения быстрых электронов с атомами Упругие столкновения быстрых электронов с атомами могут быть рассмотрены с помощью борновского приближения, если скорость падающего электрона велика по сравнению со скоростями атомных электронов. Ввиду большой разницы в массах между электроном и атомом последний можно считать при столкновении неподвижным, и система координат, в которой неподвижен центр инерции, совпадает с системой, в которой неподвижен атом.
Тогда р и р' в формуле (126.7) обозначают импульсы электрона до и после столкновения, т — масса электрона, а угол 0 совпадает с углом д отклонения электрона. Потенциальная же энергия Г(г) в формуле (126.7) требует должного определения. В 3126 мы вычисляли матричный элемент 17 энергии взаимодействия по отношению к волновым функциям свободной частицы до и после столкновения. При столкновении с атомом необходимо учитывать также и волновые функции, описывающие внутреннее состояние атома. При упругом рассеянии состояние атома нс меняется.
Поэтому Гр~р должно быть определено как матричный элемент по отношению к волновыы функциям фр и фр~ электрона, диагональный по отношению к волновой функции атома. Другими словами, Г в формуле (126.7) надо понимать как потенциальную энергию взаимодействия электрона с атомом, усредненную по волновой функции последнего.
Она равна ер(г), где р(г) потенциал поля, создаваемый в точке г средним распределением зарядов в атоме. Обозначив плотность распределения зарядов в атоме через рЯ,имеем для потенциала р уравнение Пуассона Ь~р = — 4нр(т). гл хуп 698 УПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ Искомый матричный элемент 11рр есть в основном компонента Фурье от бг (т.е. от р), соответствующая волновому вектору с1 = Ы вЂ” 1с. Применив уравнение Пуассона к каждой из компонент Фурье в отдельности, имеем Ь(~~ е'чг)»12~р е чг 4яр е чг откУДа ~Рч — — 4ТГРч/с1, т, е.
2 ,ре-зчг,Д» = ре — гч~сГЪ (139.1) ч,/ Плотность зарядов р(г) составляется из электронных зарядов иза я.ая а: Рд др р = — еп(Г) + к ео(г), где еп1Г) плотность электронного заряда в атоме. Умножив на е 'ч" и интегрируя, имеем ре гчгГП» = — е пе 'чгйЪ'+ Ее. Таким образом, получаем для интересующего нас интеграла вы- ражение г О㻠— гчг,1Ъ» 4»»е ~у р( о (139.
2) где величина г'(9) определяется формулой РЦ) = пе 'ч ЙЪ' (139.3) и называется атомным формфаетором. Он является функцией угла рассеяния, а также скорости падающего электрона. Наконец, подставив (139.2) в (126.7), получим окончательно следующее выражение для сечения упругого рассеяния быстрых электронов атомом '): йт =,, ~У вЂ” Р(д))1Г1о, д = вгп —. (139.4) Рассмотрим предельный случай 9ае « 1, где ао порядок величины размеров атома. Малым 9 соответствуют малые углы ) Мы пренебрегаем обменными эффектами между рассеиваемым быстрым электроном и атомными электронами, т. е. не производим симметризации волновой функции системы.
Законность этого пренебрежения заранее очевидна: интерференция между быстро осциллирующсй волновой функцией свободной частицы и волновой функцией атомных электронов в «обменном интеграле»» приведет к тому, что связанный с ним вклад в амплитуду рассеяния окажется малым. 2 139 упРуГие ОтОлкнОВения БыОтРых электРОИОВ О АтОмАми 699 подставив в (139.4), получим ГЬ = / пг ЙЪ' Но. зв' „/ (139.5) Таким образом, в области малых углов сечение оказывается независящим от угла рассеяния и определяется средним квадратом расстояния атомных электронов от ядра. В обратном предельном случае больших д (9ас » 1, д » » пс/п) множитель е 'ч' в поДынтегРальном выРажении в (139.3) есть быстро осциллирующая функция, и потому весь интеграл близок к нулю.
Можно, следовательно, пренебречь Р(9) по сравнению с е; тогда остается Ее 1 Но = (",) Т 2 2 (139.6) 2тР~ I 21В~(д/2) т. е. резерфордовское сечение рассеяния на ядре атома. Вычислим также транспортное сечение Ом = (1 — сов д) ГЬ.
(139. 7) В области углов д « пв/и имеем, согласно (139.5), йГ = сопв1 в|п д дд = сопв1 .д пд, где сопвФ не зависит от 29. Поэтому в этой области подынте- гральное выражение в рассматриваемом интеграле пропорцио- нально дздд, так что на нижнем пределе интеграл быстро схо- дится.
В области же 1 » д» пс/п имеем йт = сопвв. (дд/д~), подынтегральное выражение пропорционально дд/д, т.е. инте- грал (139.7) расходится логарифмически. РассеЯниЯ: д (( пс/и, где пе 6/тав — поРЯдок величины скоростей атомных электронов. Разложим Р'(д) в ряд по степеням д. Член нулевого порядка равен ) пйЪ', т.е. полному числу е электронов в атоме. Член первого порядка пропорционален ) гп(г) Л', т. с. среднему значению дипольного момента атома; это значение обращается тождественно в нуль (см. 375).
Поэтому надо произвести разложение до члена второго порядка, что дает 700 УПРУГИЕ СГОЛКНОВЕНИЯ ГЛ ХЧП Отсюда видно,что основную роль в интеграле играет именно эта область углов и можно ограничиться интегрированием только по ней. Нижний предел интегрирования должен быть взят порядка по/и; напишем его в виде езД 711с), где т безразмерная постоянная. В результате получим еле,чующую формулу: „=4 ("-',)'1 '",". (139.8) Точное вычисление постоянной э требует рассмотрения рассеяния на углы д ) се/с и нс может быть произведено в общем виде; см слабо зависит от значения этой постоянной, поскольку она входит под знаком логарифма, умноженная на большую величину бс/е . Для численного определения формфактора тяжелых атомов можно пользоваться распределением Томаса — Ферми плотности п(т).
Мы видели, что в модели Томаса .Ферми п(т) имеет вид (.) = г'у(гг'7'!Ь) (все всличины в этой и следующих формулах измеряются в атомных единицах). Легко видеть, что интеграл (139.3), вычисленный с такой функцией п(Г), будет содержать д лишь в определенной комбинации с и: Г(д) = гд(Ьдг '7з). (139.9) В табл. 11 приведены зна 1ения универсальной для всех атомов функции сг(х) ') .
Таблица 11 Атомный фактор по Томасу — Ферми С атомным формфактором (139.9) сечение (139.4) будет иметь вид 4У2 1 ~(6172-~7з))~до Я~12Ф(Я-~1зсзш — ) 11о (139 10 и 2/ 1 ) Надо иметь в виду, что при малых О эта формула неприменима, в соответствии с тоъ1, что интеграл от ПГ фактически не может быть вычислен г по методу Томаса — Ферми (см. Првмеч, на с.
563). Следует также помнить, что модель Томаса — Ферми не отражает индивидуальных свойств атомов, нарушающих их систематическое изменение с атомным номером. з 140 упРуГие столкнОвения БыстРых электРОИОБ с АтОмАми 701 где Ф(х) — новая универсальная функция. Интегрированием можно получить полное сечение.
В интеграле основную роль играет область малых д. Поэтому можно написать а =г273Ф(г-'73 97'2) 2 9Я, а интегрирование по Ю распространить до бесконечности: = г го') 4(г-'Р"— '1444= — ",го')' 4~ )4 . 2/ сг а Таким образом, 4Г имеет вид 34/3 о = сопз1 (139.11) Аналогичным образом легко убедиться в том, что постоянная у в формуле (139.8) будет пропорциональна Я 173, Задача Вычислить сечение упругого рассеяния быстрых электронов атомом водорода в основном состоянии.
Р е гп е н и е. Волновая функция нормального состояния атома водорода есть гд = е "/Агх (в атомных единицах), так что и = е г" /х. интегрирование в (139.3) по углам производится как при выводе формулы (126.12) и дает Р = — 1 п(г) зшдг41 = ) 1-~- — ) д 4 о Подставив в (139.4), получиьг 4(8 + дг) Н + д')' где д = 2е з1псд/2). Для вычисления полного сечения пишем 2г Но = 2хзгпдйд = — дйд г и интегрируем по дд от 0 до 243 поскольку, однако, о предполагается большим, а интеграл сходится, верхний предел можно заменить бесконечностью. В результате получим 7Е и=.— г. 3в Транспортное сечение вычиСляется как интеграл 1 ! п4, = — уг д 4п. 2с Заменив переменную интегрирования, согласно 4 -~- дг = и,и заменив везде, кроме члена ди/и,верхний предел бесконечностью, получим „= —,-(1 .+ — ) 4х 1 с~ 12 в соответствии с (139.8).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
