III.-Квантовая-механика (1109680), страница 134
Текст из файла (страница 134)
1137.8) Противоположный предельный случай, е » нй, соответствует переходу к классической механике 1см, конец 2127). В формуле 1137.7) этот переход происходит весьма своеобразно. При е2 » нй косинус в третьем члене в квадратных скобках есть быстро осциллирующая функция. При каждом данном О формула 1137.7) дает для сечения рассеяния значение, вообще говоря, заметно отличающееся от рсзерфордовского. Однако уже при усреднении по небольшому интервалу значений д осциллируюп1ий член в 1137.7) исчезает, и мы приходим к классической формуле. Все написанные формулы относятся к системе координат, в которой центр инерции покоится.
Переход к системе, в которой до столкновения одна из частиц покоилась, осуществляется, УПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ ГЛ ХЧП согласно 1123.2), просто путем замены О на 2д. Так, для столк- новения электронов получим из 1137.7) '-=(.'Й тесе l 1 з1п д сов~ д 1 х зш дсов'д 2 х сов( — 1п18~ д)1 соэ д 11о, 1137.9) Задача Определить сечение рассеяния двух одинаковых частиц со олином 1/2, имеющих заданные средние значения спина й1 и яз. Р е ш с н и Р. Зависимость сечения от поляризаций частиц должна выражаться членом, пропорциональным скаляру й1уз.
Ищем дп в виде а-ЬЬй1йь Для неполяризованных частиц 1й1 = йэ = О) второй член отсутствует и, согласно 1137.4), дп = а .= 1дп, + Здп )/4. Если же обе частицы полностью поляризованы в одном направлении 1й1вг = 1/4), то система заведомо находится в состоянии с Я = 1; в этом случае, следовательно, дп = а -ь Ь/4 = д т . Определив из полученных двух равенств а и 6, найдем 1 дп = — 1даз 4- Здл ) Ь 1дп — Йг,)й1йь 4 й 138. Резонансное рассеяние заряженных частиц При рассеянии заряженных ядерных частиц 1например, протонов протонами), наряду с короткодействующими ядерными силами, имеется также и медленно убывающее кулоново взаимодействие.
Теория резонансного рассеяния строится в этом случае тем же методом, который был изложен в 3 133. Разница заключается лишь в том, что в качестве волновых функций в области вне радиуса действия ядерных сил 1г» а) надо пользоваться вместо решения уравнения свободного движения 1133.2) точным общим решением уравнения Шредингера в кулоновом поле. При этом скорость частиц по-прежнему предполагается малой лишь настолько, что Йа « 1: соотно1пение же между 1/Й и кулоновой единицей длины а, = й /1тхзлйе ) 17п приведенная мас<га сталкиваюшихся частиц) может быть произвольным') . ') Излагаемая ниже теория была развита Л. Д, Ландау и Я. А.
Смородинсеим 11944). где 11о есть элемент телесного угла в новой системе координат 1при замене д на 2д элемент телесного угла с1о надо заменить на 4совдс1о, .так как взпдс)дс)1р = 4совдпйпдс1дсбр). 8 188 РезОнАнснОе РАсоеяние злгяженных чАОтн11 693 При движении с 1 = О в кулоновом поле отталкивания уравнение Шредингера для радиальной функции 1с = гйо есть Хв+ (й' — -') Х = О (138.1) Асимптотическое выражение этой функции на больших рассто- яниях есть Га = вра [1сг 1п(2гсг) + оо 1 до аг81 (1+ ) (138 3) а первые члены разложения при малых т (Йг « 1, т « 1) Го = АКР(1+ т+...).
(138.4) Теперь, однако, при изменившемся граничном условии поведение функции в нуле становится нссутцественным и нам нужно общее решение уравнения (138.1), представляющее собой линейную комбинацию двух ого независимых интегралов. Параметры вырожденной гипергеометрической функции в (138.2) таковы (целое значение параметра у = 2), что мы имеем дело как раз со случаем, упомянутым в конце 8с1 математических дополнений. В соответствии со сделанными там указаниями мы получим второй интеграл уравнения (138.1), заменив функцию Г в (138.2) какой-либо другой линейной комбинацией двух членов, сумма которых дает, согласно (8.14), вырожденную гипергеометрическую функцию. Выбрав в качестве такой комбинации разность этих членов, получим второе независимое решение уравнения (138.1) (обозначим его как Со) в виде') Со = 2 11п ' ' ( — 2гйг) ~~'~~С(1 — —, — —, — 211т) (138.5) Г(1+ $1к) х к е (функция же Го является вещественной частью стоящего здесь выражения).
Его асимптотический вид на больших расстояниях Са — сов(Ы вЂ” — 1п 2Ь + 5"Ув~~ 1 к (138. 6) ) Функции Ге и Се (как и определенные аналогичным образом функции Р1 и 0~ с 1 ф О) называют соответственно регулярной и нерегулярной еулоновыми функциями. (мы пользуемся здесь кулоновыми единицами). В 8 36 было найдено решение этого уравнения, подчиненное требованию конечности 1г/г при г = О. Это решение, которое мы обозначим здесь через Га, имеет вид (см. (36.27), (36.28)) Го = Ае'лг1сгГ( — + 1,2, — 211сг), Ай =, . (138.2) 694 УПРУГИЕ ОГОЛКНОВЕНИЯ ГЛ ХЧП а первые члены разложения при малых Г Со = — (1+ 2Г[1п2Г+ 2С вЂ” 1+ 6(6)] +... ), (138.7) где С = 0,577... †постоянн Эйлера, а 6(6) обозначает функ- цию 6(к) = 1ье г)1 ( — — ) + 1п к.
(138.8) Таким образом, бо есть дополнительный сдвиг фазы волновой функции, обусловленный короткодействующими силами. Мы должны связать его с постоянной, фигурирующей в граничном условии (~'/~)]„,о = сопз1, заменяющем собой рассмотрение волновой функции в области действия ядерных сил. Однако, ввиду расходимости (как 1пг) логарифмической производной ~'/~ при à — Р О, это условие должно быть отнесено теперь не к нулю, а к некоторому сколь угодно малому, но все же конечному значению Г = р. Вычисляя (с помощью формул (138.4) и (138.7)) производную )Г (р)/~(р) и приравнивая се постоянной, получим граничное условие в виде ЙА с18бо+ 2(1п2р+ 2С+ 6(й)] = сопв1.
Выражение в левой части равенства содержит не зависящие от 6 постоянные 2 1п 2р+ 4С; включим их в сопэ1, обозначив ее после этого через — Рг. В результате получим окончательное выражение для с18до, которое мы выпишем здесь в обычных единицах: с18 бо = (е2™ — 1) [6(йа ) + (138.11) ') Разложение (138.7) получается из (138.3) с помощью разложения (11.17). При атом использовано известное соотношение М1+ с) =- Ф(з) +— 1 з (которое легко получить из Г(з + 1) =. зГ(з)) и значения 1Р(1) =. — С, я1(2) .= = — С -У 1.
(где ф(г) = Г'(е)11Г(г) . логарифмическая производная Г-функции) ') . Общий интеграл уравнения (138.1) напишем в виде суммы т = сопз1 (гос18бо+ Со) (138.9) где с18бо постоянная. Обозначение этой постоянной выбрано так, что асимптотический вид этого решения будет ж со згп [Кà — — )п(2КГ) + Оа + ОЕ~ (138.10) З 138 РезОнАнснОе РАсоеянне зАРягкенных 'чАОтнц 696 В пределе 1/а, — » О, т.е.
при переходе к незаряженным части- цам, формула (138.11) переходит в соотношение С18ое = — г«/й, совпадающее с (133.6). На рис. 49 дан график функции )1(х) ') . Таким образом,при наличии кулонова взаимодействия «постоянной» оказывается "(*) следующая величина: 1,0; + — И,(йпс) = — »г. (138.12) 0, 8— а(е ~ "— 1) а, Мы поставили слово «постоянная» в кавычки, поскольку гг представляет собой в действительности первый член разложения по степени малой величины йа некоторой функции, зависящей от свойств короткодействующих сил. Резонансу при малых энергиях соответствует, как было указано в 8 133, случай аномально малого значения постоянной гс. Ввиду этого для улу ппения Рнс 40 точности следует учесть также и следующий ( й ) член разло- жения, содержащий коэффициент «нормального» порядка вели- чины, т.
е. надо заменить в (138.12) — гг на') — »ге+ — той . 2 0,6 Наличие резонанса может быть связано, как было указано в 8133, с существованием как истинного, так и виртуального ) Для вычисления функции й(й) можно пользоваться формулой й(й) = й г ~ ~— С+!и й, ,п(п + й ) которую легко получить с помощью фар»гулы 1 1 гй~г) = — С вЂ” — + г 2 , п(11+ г) (см. 3. Уиттекер и Длс. Ватсон.
Курс современного анализа. Т. П, 8 12.16.— М.1 Физматгиз, 1063). Предельные выражения функции 11(й)1 йг 1,2 й(й) — при й « 1, й(й) =- — С -~- 1п й -~- — ' при й >> 1 12 йг (последняя формула дает правильные, с погрешностью < 4%, значения й(й) уже прн й > 2,5), ) Укажем значениЯ постоЯнных О = 1/ые и ге ДлЯ РассеЯниЯ пРотона на протоне, О = — 7,8 10, ге = 2,8 . 10 см 1кулонова единица длины — 1» — 1» 25~/тре = 57,6 10 1» см). Этн значения относятся к паре протонов с анти- параллельнымн спинами 1при параллельных спинах система двух протонов, в силу принципа Паули, вообще не может находиться в а-состоянии).
упРуГие стОлкнОВения ГЛ ХЧП дискретного связанного состояния системы. Можно показать'), что критерием истинности или виртуальности уровня по-прежнему является знак постоянной РГ. Полные фазовые сдвиги волновых функций, согласно [138.10), равны суммам б,'У'" + бп Поэтому сечение рассеяния 110) = — 2 121 + 1) [ехр[2Ы, ' + 2441) — 1)Рай[сов О). 1138.13) ~=о Разность в квадратных скобках представим в виде ехр1216,'У + 2151) — 1 = [ехр[2Ы Уа) — Ц+ + [ехр[215, Ул)[е~м1 — Ц. 1138.14) Кулоновы фазы б~ У" вносят одинаковый по порядку величины вклад в амплитуду рассеяния при всех й Фазы же БО связанные с короткодействующими силами, при 1 ф 0 малы [при малых энергиях). Поэтому при подстановке 1138.14) в [138.13) первую скобку оставляем во всех членах суммы; эти члены суммируются в кулонову амплитуду рассеяния [135.9) ~ду [О): а а ехР ( — — 1п в1п — + 2Ые '") . [138.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
