III.-Квантовая-механика (1109680), страница 132
Текст из файла (страница 132)
Пренебрегая также амплитудой потенциального рассеяния гу, получим формулу ~ = — ~1lс — хУ2т,ге(6 у] совпадающую с формулой 1133.7) (причем м = — ъ'2тео,УЬу). Она соответствует резонансу на уровне Е = Е2у'72, являкпцемся истинным или виртуальным дискретным уровнем в зависимости от того, положительна или отрицательна постоянная РГ. й 135. Формула Резерфорда Рассеяние в кулоновом поле представляет собой интерес с точки зрения физических применений. Оно интересно также и в том отношении, что для этого случая квантовомеханичсская задача о столкновениях может быть решена до конца точно. При наличии выделенного направления 1в данном случае направление падающей частицы) уравнение Шредингера в кулоновом поле удобно решать в параболических координатах ~, уу, у усм.
2 37). Зада га о рассеянии частицы в центральном поле 681 ФОРМУЛА РЕЗЕРФОРДА обладает аксиальной симметрией. Поэтому волновая функция з5 не зависит от угла со. Частное решение уравнения Шредингера (37.6) пишем в виде Ф = ЛЫ)Ь(г)) (135.1) ((37.7) с т = О) и., соответственно этому, после разделения переменных получаем уравнения (37.8) с тп = 0'): — '(~'~') + [ — '~ — Р,~У, =0, (135. 2) — (0 ~')+ [ — 0 —,В2]У2=0, А+р2 = 1. Энергия рассеиваемой частицы, разумеется, положительна; мы положили Е = к2/2. Знаки в уравнениях (135.2) соответствуют случаю поля отталкивания; для сечения рассеяния в поле притяжения получается в точности тот же окончательный результат.
Мы должны найти такое решение уравнения Шредингера, которое при отрицательных г и больших т имеет вид плоской волны: ф е™' при — оо(я(0, г — эоо, Гси ф ехр[ — (с — п)1 при т) — э оо и всех ~. 2 Ему можно удовлетворить, только если ут (~) Щ/2 а 72(т)) подчиняется условию (135. 3) 12(т)) е ' л~ при г) -э со.
(135. 4) Подставляя (135.3) в первое из уравнений (135.2), убеждаемся в том, что эта функция действительно удовлетворяет уравнению, если Д = з)с/2. Второе из уравнений (135.2) с 82 = 1 — )э1 ) В этом параграфе пользуемся кулоиовыми единицами (см. с. 154). что соответствует частице, падающей в положительном направлении оси г. Мы увидим из дальнейшего, что поставленному условию можно удовлетворить одним частным интегралом (135.1) (а не суммой интегралов с различными значениями Д, Д2).
В параболических координатах это условие имеет вид 682 упРуГие стОлкнОВения ГЛ ХЧП приобретает тогда вид Ищем его рсп1енис в виде 1135. 5) где функция и1(11) стремится к постоянному пределу при 11 — > со. Для 1л(11) получаем уравнение (135.6) п1л + 11 — 1Ь~)ш — ю = О, которос путем введения новой переменной Гп = гй~ приводится к уравнению вырожденной гипсргеометричсской функции с параметрами о = — 1/й, 7 = 1. Мы должны выбрать то из решений уравнения 1135.6), которое, будучи умножено на ~~(~), содержит в себе только расходящуюся (т.е.
рассеянную), но не сходящуюся, сферическую волну. Таким решением будет функция ю = сопв1 г ( — — 1 гУГ11) . ~ ) Таким образом, собирая полученные выражения, находим следующее точное решение уравнения Шредингера,. описывающее рассеяние: У1 = ехР( — — )Г(1+ — ) ехР~ — (( — 11)~Г( — —,1,11ГЦ). 1135 7) Мы выбрали нормировочную постоянную в у1 таким образом, чтобы падающая плоская волна имела единичную амплитуду 1см. ниже).
Для того чтобы выделить в этой функции падающую и рассеянную волны, надо рассмотреть ее вид на болыпих расстояниях от центра. Воспользовавшись первыми двумя членами асимптотического разложения 1Й.14) вырожденной гипергеометрической функции, получим при больших 11 Подставив это в 1135лу) и переходя к сферическим координатам 1С вЂ” 11 = 2В, 11 = т — В = Г11 — сов 0)), получаем следующее 683 Фогмулх Резегаогцх окончательное асимптотическое выражение волновой функции: у) = [1+ з ] ехр~ Лез+ — 1п(ат(1 — созд)))+ + ехр(зЬ.
— — 1п(2йг)), (135.8) где у(в) =— 1 Г(1-~-1/й) / 21 . 01 ехр( — — 1пз|п — ). (135.9) 20г з1пг(0/2) Р(1 1Я) й 2 Первый член в (135.8) представляет собой падающую волну. Мы видим, что в связи с медленностью спадания кулонова поля падающая плоская волна искажается даже на больших расстояниях от центра, как зто показывает наличие логарифмического члена в фазе, а также члена порядка 1/г в амплитуде волны') .
Искажаюп1ий логарифмический член в фазе имеется также в рассеянной сферической волне, изображающейся вторым членом в (135.8). Эти отличия от обычного асимптотического вида волновой функции (123.3), однако, несущественны, так как дают для плотности потока поправки, стремящиеся к нулю при г э со. Таким образом, получаем для сечения рассеяния сух=~ ((0) ~2до формулу <Ь = Но 4й~ з1п~(0/2) или, в обычных единицах, (135.10) (о = Йуг/т — скорость частицы).
Эта формула совпадает с известной формулой Резерфорда, к которой приходит классическая механика. Таким образом, для рассеяния в кулоновом поле квантовая и классическая механика дают одинаковый результат (Х. Мо11, И'. Согйоп, 1928). Естественно, что и формула Бориа (126.12) приводит к тому же выраженике (135.10).
) Происхождение этого искажения можно уяснить уже из классической картины. Если рассмотреть семейство классических кулоновых гиперболических траекторий с одинаковым направлением падения (параллельным оси з), то уравнение нормальной к ним поверхности на больших расстояних от рассеивающего центра (з -э — оо) стремится, как легко показать, не к з = сопвФ, а к з+ к !и а(г — з) = сопеа Эта поверхность как раз и совпадает с поверхностью постоянной фазы падающей волны в (138.8). 684 упРуГие ОГОлкнОВения ГЛ ХЧП Приведем для справочных целей выражение амплитуды рассеяния (135.9), написанное в виде суммы по сферическим функциям. Оно получается подстановкой в (124.5) фаз из (36.28) '): г~1 э г -~ 1Ю 1 (1 -~- 1 — 1/й) Таким образом, получим Знаки в амп;титуде (135.9) соответствуют кулонову полю от- талкивания.
Для поля притяжения выражение (135.9) должно быть заменено комплексно сопряженным. В последнем случае ~(0) обращается в бесконечность в полюсах функции Г(1 — г/й), т. е. в точках, где аргумент 1-функции есть отрицательное целое число или нуль (при этом 1пт й ) 0 и функция Г1д затухает на бесконечности). Соответствующие значения энергии ез — — — п= 1,2,3,..., 2п и совпадают с дискретными уровнями энергии в кулоновом поле притяжения (ср. 3 128).
й 136. Система волновых функций непрерывного спектра При изучении движения в центрально-симметричном поле в гл. 11 рассматривались стационарные состояния, в которых частица обладает, наряду с определенными значениями энергии, также и определенными значениями орбитального момента 1 и его проекции т. Волновые функции этих состояний дискретного (Щ,йи) и непрерывного фню, энергия 6212/2т) спектров образуют вместе полную систему, по которой может быть разложена волновая функция произвольного состояния. Такая система, однако, не адекватна постановке задач в теории рассеяния.
Здесь удобна другая система, в которой волновые функции непрерывного спектра характеризуются определенным асимптотическим поведением: на бесконечности имеется плоская волна ехр(г1сг) и наряду с ней расходящаяся сферическая волна; в этих состояниях частица имеет определенную энергию, но не имеет определенных момента и его проекции. ) Величина О1 ~ в этой формуле отличается от истинной (расходящейся) кулоновой фазы на величину, одинаковую для всех й 3 13б СИСТЕМА ВОЛНОВЫХ ФУНКЦИЙ НЕПРЕРЫВНОГО СПЕКТРА 685 Согласно (123.6), (123.7) такие волновые функции (мы обозначим их здесь как фй ) даются форьбулой М ф„= — ~ г~(21 + 1)емб Им(г) Рб ( — ) .
б.=в (136.1) Аргумент полиномов Лежандра написан здесь в виде созд = = )сгббйг, благодаря чему это выражение уже не связано с каким-либо определенным выбором осей координат (как это было в (123.6), где ось з совпадает с направлением распространения плоской волны). Давая вектору К все возможные значения, мы получим набор волновых функций, которые, как сейчас будет показано, взаимно ортогональны и нормированы обычным для непрерывного спектра правилом Для доказательства ) замечаем, что произведение ф„, б)б„ 1 (т)* (-Р) выражается двойной суммой по 1 и 1' членов, содержащих про- изведения (-"„')'(Й) Интегрирование по направлениям г осуществляется формулой ф(т)*ф(т),л, 00 со = —,2 бббРбб Р~ббббб — ббббб/Рб Рб)ем,вм б, б=е о ) Специального доказательства требует по существу лишь взаимная ортогональность функций б)б„. Что касается их нормировки, то она могла Срб бы быть установлена непосредственно по асимптотическому виду функций (ср.
3 21). В этом смысле выполнение (136.2) очевидно уже из того, что при г — б ос единственный не убывающий в этих функциях член ббб, е (ср. формулу (с.12) математических дополнений), после чего остается УПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ ГЛ ХЧП где у -угол между 1с и 1с'. Но радиальные функции Лы ортогональны и нормированы согласно Кь ~Лыг~йг = 2ЛВ(к' — й).
о Поэтому в коэффициентах перед интегралами можно положить й = 10', воспользовавшись также формулой (124.3), имеем Г 2 00 ф~,, ) 2)2и( ~ЙЪ' = —,5(М вЂ” й) ~(21+ 1)Р~(соз )) = 2=В = —,с()0' — Г2)б(1 — сов у). 8Я~ ф, = — ~24(21+1)е '~'ЯЫ(г)Р2( — ). (136.5) Очень важен случай кулонова поля. Здесь функции фк ) (и фи ) могут быть написаны в замкнутом виде, непосредствен(-) но по формуле (135.7). Параболические координаты выражаем посредством )0 2 — (~ — 2)) = ЙВ = 1сг, Ит) = )2(à — я) = 1т — 1сг.
Стоящее справа выражение равно нулю при всех 1с ф 1с', а при умножении на 2кй~ вш) д-(Г(к/(2Я)з и интегрировании по всему 1с-пространству дает 1, что и доказывает формулу (136.2). Наряду с системой функций ф„, можно ввести также систе- (Р) му, соответствующую состояниям, в которых на бесконечности имеется плоская волна и вместе с ней сходящаяся сферическая.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
