III.-Квантовая-механика (1109680), страница 127
Текст из файла (страница 127)
д ехр( — яп — 11п то) . 6 2 (131.16) Если же в качестве те приходится взять корень уравнения (131.12), то вид экспоненты зависит от конкретных свойств поля. Так, для функции 17 = б'ое ~"7') (не имеющей вовсе особых точек на конечных расстояниях) из уравнения 1г р' . 20 — =1 — —, вгп Е Г 2 иагсем 1'Е .
20'~ тп ти 1п( — яп — ). (, б'е 2) (13Е17) ') Напомним (см. 2 126), что если с(т) имеет особенность при вещественном Г, то убывание сечения происходит вообще не по зкспоненниальному закону. Ввиду слабости зависимости от О тв можно считать постоянным при интегрировании в (131.13) и для амплитуды рассеяния мы получим формулу (131.16) с тд из (131.17). 655 3131 РАОСЕЯНИЕ ПРИ БОЛЬШИХ ЭНЕРГИЯХ Задачи 1.
Опроделить полное сечение рассеяния сферической прямоугольной потенциальной ямой радиуса о и глубины Па при условии 1131.Ц: Уа « « б Й'/т. Р е ш е н и е. Имеем У 212 2Уа игог рг Согласно 1131.7) амплитуда рассеяния вперед 1«1 = О) 10) = — — / [ехр ( у'аг — рг) — 1] 2хр сГр = а г). г, 2 22 АО ). Е* г г /(е ) ~~ [ 2~ )] 2 ! Р 2Р а где Р = Пап/йи — «борновский параметр».
С помощью оптической теоремы 1123.9)находим отсюда полное сечение г ~ 1 в1п2и соэ2Р1 и = 2ха 1-~- —— 2Р~ и 2Р~ В предельном аборновскоки) случае и « 1 это выражение дает о = 2яо~и~ в согласии с задачей 1 3 126. В обратном предельном случае Р >> 1 имеем просто и = 2ко, т.е. удвоенное геометрическое сечение. Этот последний результат имеет простой смысл. При и » 1 все частицы с прицельным расстоянием р < о рассеиваются, т.
е. выбывают из падающего пучка. В этом смысла яма ведет себя как «поглощающий» шар: при этом, согласно принципу Вабине 1см. П, конец 36Ц, полное сечение равно удвоенному сечению «поглощения». 2. То же в поле У = О'а ехр1 — г г' о ). Р е ш е н н е. В этом случае имеем У 212 = оьгЯПа ехР( — Р (о'). Подставив в 1131.7) и произведя в интеграла очевидную замену переменной, получилг для амплитуды рассеяния на нулевой угол гьог г 110) = — / (е» вЂ” Ц вЂ”, а где снова и =- Уаа/би. Отсюда полное сечение 2 3и а = 2ка у1 П вЂ” сов и) —. и а УПРУГИЕ СГОЛКНОВЕНИЯ гл хуп При и « 1 подынтегральное выражоние сводится к и/2 и сечение и = = паап~/2 в согласии с результатом задачи 2 З 126 (прн 1са )> 1), При Р >) 1 пишем подынтегральное выражение в виде (1 — с "сози)/и с малым параметром Л, устремляемым затем к нулю.
Интегрированиепл по частям находим тогда г1и 11 — сози) ге1п(и~/я) — / 1пиэ1пиди = 1п1иугя) -~-С и 1С вЂ” постоянная Эйлера). Таким образом, и.= 2яа 1п1ичгяс ) при и » 1. 3. Определить сечение рассеяния на малые углы электронов в магнитном поле, сконцентрированном в цилиндрической области радиуса а (1. АЬагопои, В. Войт, 1999). Р е ш е н н е, Пусть магнитное поле направлено вдоль оси у, совпадающей с осью цилиндрической области, а направление падения электронов выберем в качестве оси ж Тогда вся картина рассеяния не зависит от координаты у, и ниже рассматривается двумерная задача в плоскости хю Вне цилиндрической области напряженность Н = О, но векторный потенциал отличен от нуля н равен Ф А = — 17эг, 2я где 1Р-- полярный угол в плоскости хх, а Ф вЂ” поток магнитного поля; дей- ствительно, интегрируя по плоглади круга (радиуса Г > а) в этой плоскости, имеем Потенпиал (1) меняет фазу волновой функции (плоской волны) электронов; согласно (111.9) имеем <р е™м ехр ( |р) 12) Это выражение, однако, неприменимо в узкой области вдоль полуоси з > О, поскольку движение частиц, прошедших через область поля, возмущено им.
Этим объясняется кажущаяся неоднозначность функции 12) при обходе начала координат (угол д получает прирашение 2я). В действительности вблизи полуоси с > О имеется разрыв (конечной ширины), связанный с нсприменимостью (2); по обе стороны разрыва 1г имеет значения, отличаюпгиеся на 2я, например ~я. Для рассеяния на малые углы д с малой передачей импульса д — 19 1да « 1, 9 « Ц существенны поперечные расстояния т 1/д» а н шириной разреза можно пренебречь. Рассматривая область пространства с» ~т~, можно также пренебречь в ней зависимостью Ф от я по обе стороны 657 3 132 РАссеяние медленных чАстиц от оси 2; имеем тогда ) ехр( — — Ф), 26с ехр ( Ф), Ф = е Г(х), Г(х) = х>0, (3) х < О.
«Двумерная» амплитуда рассеяния вычисляется по формуле (131.7а) ) Прн о ф 0 имеем Интеграл вычисляется путем введения в него множителя е А с последую- щим переходом к пределу Л -э О. В результате находим 2 Г2А' . еФ вЂ” — з1п —. о~l к 2йс Отсюда сечение рассеяния г 2 . 2еФВВ оп = (Я ЕВ = — юп ХЬ 26с В2 (4) и при еФ/йс « 1 получается выражение е2Ф2 ВВ оп = 2кей~с' В2 ' отвечающее случаю применимости теории возмущений. Обратим внимание на периодическую зависимость сечения (4) от напряженности магнитного поля, а также на расходимость полного сечения (за счет В -2 0),хотя поло сосредоточено в коночной области пространства: то и другое — специфически квантовые эффекты. 3 132. Рассеяние медленных частиц Рассмотрим свойства упругого рассеяния в предельном случае малых скоростей рассеиваемых частиц. Именно, скорость предполагается настолько малой, что длина волны частицы велика по сравнению с радиусом а действия поля 12'(г) (т.е.
Йа «1), а ее энергия мала по сравнению с величиной поля внутри этого радиуса. Решение этого вопроса требует выяснения предельного закона зависимости фаз б1 от волнового вектора й при малых значениях последнего. ) Формула (3) (как и (131.4)) теряет применимость при слишком больших 2, когда сказываются дифракцнонные эффекты. ) Напомним, что эта формула (при д ф 0) может быть получена (как было объяснено в тексте) и без применения уравнения Шредингера в потенциальном поле. (Угол рассеяния обозначим через В в отличие от полярного угла 22.) 658 УПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ ГЛ ХЧП При т < а, в точном уравнении Шредингера (123.7) можно пренебречь лишь членом с )Г2: В области же а « т « 1/е можно опустить также и член с 77(т), так что остается Ла+'Л« '(",') Л~ =О, (132. 2) т т Общее решение этого уравнения (132.3) Л~=с1т + Значения постоянных с1 и с2 могут быть в принципе определены лишь путем решения уравнения (132.1) с конкретной функцией 17(т); они, разумеется, различны для разных 1.
На еще ббльших расстояниях, т 1/й, в уравнении Шредингера может быть опущен член с Б(т), но при этом нельзя пренебрегать К2, так что имеем т т т.с. уравнение свободного движения. Решение этого уравнения (см. 233) Н(21+ 1)!! ~ 7 д 1~ Вшйт тат Постоянные коэффициенты выбраны здесь таким образом, чтобы при )Гт « 1 это решение переходило в (132.3); тем самым достигается «сшиваниеа решения (132.3) в области )ст « 1 с решением (132.5) в области кт 1. Наконец, при ет » 1 решение (132.5) принимает асимптотический вид (см.
233) Е' Эта сумма может быть представлена в виде Л~ — сопв1 — тйп(йт — — + д~), 1 . / Я1 (132.6) т 2 659 2 132 РАССЕЯНИЕ МЕДЛЕННЫХ ЧАСТИЦ где фаза бл определяется равенством Фкб' = б = '2 12~+1 сл(21 — 1)!!(21л Пп (132. 7) (ввиду малости й все фазы бл оказываются малыми). Согласно (123.15) парциальныс амплитуды рассеяния ~я= — (е ' — 1)- —, 1 21б1 б1 22Е й и мы приходим к выводу, что в предельном случае малых энерЛг а121 (132.8) Таким образом, все парциальные амплитуды с 1 ф О оказываются малыми по сравнению с амплитудой рассеяния с 1 = О (или, как говорят, з-рассеяния).
Пренебрегая ими, имеем для полной амплитуды бз С2 у(в) = Ь = — = — =— Й Сл (132.9) так что 11о = о~с(й, а полное сечение о =4по . 2 (132.10) 1 ) При рассеянии электронов на атомах роль длины а, с которой должно сравниваться 1/Й (условие Йа « П, играет атомный радиус, достигающий для сложных атомов нескольких боровских радиусов (нескольких тл'(те~).
Ввиду большой величины этого радиуса постоянство сечения фактически имеет в этом случае место лишь до энергий порядка долей электрон-вольта. При больших же энергиях электронов появляется сильная зависимость сечения от энергии (так называемый эффект Рамзауэра). При малых скоростях рассеяние оказывается изотропным по всем направлениям, а его сечение не зависит от энергии частиц') .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
