III.-Квантовая-механика (1109680), страница 126
Текст из файла (страница 126)
48б). Интеграл по прямой линии обращается при г -+ оо в нуль (ввиду наличия в подынтегральном выражении множителя ехр( — Г1ш д)), а интеграл по замкнутой петле определяется вычетом подынтегрального выражения в полюсс д = Й (умноженным на 2гсг); окончательно находим 1д,(г) = ™, г(кп,йп) (130.11) 2яа Г (и.- единичный вектор в направлении 1с). Мы получили требуемый асимптотический вид волновой функции, причем амплитуда рассеяния Дст, и') = ™, г (1с~, 1с~').
(130.12) Таким образом, амплитуда рассеяния определяется значением при д = Й функции 1Р(1с,е1), удовлетворяющей интегральному уравнению (130. 9) . а б Рис.48 В случае применимости теории возмущений уравнение (130.9) легко решается пос,ледовательными итерациями.
В первом приближении, опустив интегральный член вовсе, получим 6 131 РАОСЕЯНИЕ ПРИ БОЛЬШИХ ЭНЕРГИЯХ 3 131. Рассеяние при больших энергиях Если потенциальная энергия не гнала по сравнению с гг~/гпаа (где а, как обычно, радиус действия поля), то возможна ситуация, когда энергия рассеиваемых частиц настолько велика, что йг ~У~ << Е г(йа), (131.1) но в то же время еще )Ц ~ гаа= —; та о (131. 2) при этом подразумевается, разумеется, что Йа»1. (131.3) В таком случае мы имеем дело с рассеянием быстрых частиц, к которому, однако, неприменимо борновское приближение (не выполняется ни одно из условий (126.1), (126.2)).
') Этот результат легко получить, конечно, и без перехода к импульсному представлению: тот факт, что формула второго приближения отличается от формулы первого приближения заменой бг(1г' — 1с) на выражение в фигурных скобках в (130.13), очевиден из сравнения формул (43.1) и (43.6). г (1с, с1) = — 11(с1 — 1с). В следующем приближении подставляем в интегральный член выражение г 1)с, с)) первого приближения; для амплитуды рассеяния (130.12) находим тогда (несколько изменив обозначения переменных) У1 ') = — '" )'11(~'-й) — ' 1~Ж "Ж" ") "" 1 зхбг 1 бг 1 йг ь г ьге (зт)г)1 1130.13) причем )с = йп, )с' = кп'. Первый член совпадает с формулой (126.4) первого борновского приближения, а второй дает вклад второго приближения в амплитуду рассеяния') .
Из (130.13) видно упомянутое уже в 3126 обстоятельство, что уже во втором приближении амплитуда рассеяния теряет свойство симметрии (126.8). На первый взгляд может показаться, что интегральный член в 1130.13) тоже симметричен по отнопгснию к перестановке начального и конечного состояний. В действительности, однако, такая симметрия отсутствует в связи с тем, что при переходе к комплексно сопряженному выражению м1еняется контур интегрирования (направление обхода полюса) .
650 УПРУГИЕ СГОЛКНОВЕНИЯ ГЛ ХЧП Для исследования этого случая можно воспользоваться выражением волновой функции в виде (45.9) 1У = е'ь'Е(г), Е(г) = ехр — — 51 сЬ, (131.4) для применимости которого энергия должна удовлетворять только условию ]с1] « Е.
В 3 45 было отмечено, что это выражение справедливо лишь при г « йа2; поэтому оно не может быть непосредственно продолжено до таких расстояний, где уже справедливо асимптотическое выражение (123.3). В этом, однако, нет необходимости: для вычисления амплитуды рассеяния достаточно знать волновую функцию на расстояниях е таких, что а « л « Йа; при этом интеграл в показателе в Е(г) может быть распространен до оо: ф = е' 'Я(р), (131. 5) где введено обозначение ОО(р) = ехр(2гб(р)], д(р) = — — / сгс1е (131,6) 2йе,1 (р радиус-вектор в плоскости ху).
Рассеяние быстрых частиц происходит в основном на малые углы, которые мы и будем рассматривать. При этом изменение импульса пс1 относительно мало (9 « Й), и потому вектор с1 можно считать перпендикулярным к волновому вектору падающей частицы 1с, т. е. лежащим в плоскости лу. Рассеянная волна получается вычитанием из (131.5) падающей волны е'"' (функция (131.4) при я = — оо).
Амплитуда же рассеяния с волновым вектором 1с' = 1с + с1 пропорциональна соответствующей компоненте Фурье рассеянной волны') у (о( ) 1] — 'чрез (с1~р = дхду). Коэффициент пропорциональности в этом выражении можно получить затем сравнением с предельным случаем борновского приближения (см. ниже). ') Такой способ определения амплитуды рассеяния аналогичен методу, применяемому при рассмотрении дифракции фраунгофера (см. 11, 1 61). Заметим, что именно дифракционные аффекты нарушают применимость формулы (131.4) при с > йа . 651 РАОСЕЯНИЕ ПРИ БОЛЬШИХ ЭНЕРГИЯХ Можно провести вычисление также и другим способом, который сразу приводит к вполне определенному выраженикь Для этого воспользуемся формулой (129.2), подставив в нее гд из (131.4).
Заметив при этом, что, согласно (45.8), 2ш „. Ог' гйло /Л получим для амплитуды рассеяния (коэффициент при е ~'Ло) — — Е мйгг(ХОуг(Л = — 1 [Г'(Л = ОО)— 2кг дг 2кг / — Г(л = — со)1е 1чйдтду. 11 Подставив выражение для Р, окончательно получим ) — [о'(р) — ц е'чрс12р. (131. 7) 2>гг / Если энергия настолько велика, что д [57[а/Гп « 1, то применимо борновское приближение.
Действительно, разложив Π— 1 — 2Ы, получим из (131.7) в согласии с (126.4) — ™, / УЕ ""'ГР~~~. 2лйг ) Воспользовавшись оптической теоремой (125.9), можно получить из (131.7) полное сечение рассеяния. Амплитуда рассеяния на нулевой угол есть зна Гение у при с1 = О. Поэтому находим и = 2Ве(1 — 8)Г(йр = 4в(и~5(р)Г(йр. (131.8) Выражение под знаком интеграла можно рассматривать как сечение рассеяния для частиц с прицельным расстоянием в интервале с( р') . ) В двумерном случае амплитуда рассеяния в поле о'(т, г), определенная как в задаче к 3 123, дается формулой — — [о'(т) — 1)е 'г де.
(131.7 а) г~2я/ Величина ,'7[ 4р есть сечение рассеяния, отнесенное к единице длины вдоль оси у, а >г — угол рассеяния в плоскости ег (ср. выражение для борновской амплитуды в задаче 6 3 126). г) В 3 132 будет дано обобщение формул (131.7), (131.8) на случай рассеяния на системе частиц. 652 гл хуп УПРУГИЕ СГОЛКНОВЕНИЯ Формула (131.7) не предполагает центральной симметрии поля. Поучительно увидеть, каким образом для центрально-симметричного поля эта формула может быть получена непосредственно из точной общей формулы (123.11).
В условиях (131.1) — (131.3) основную роль в рассеянии играют парциальные амплитуды с большими моментами 1. Поэтому для волновых функций выполняется условие квазиклассичности, что позволяет воспользоваться для д2 формулой (124.1). Положив в ней ГΠ— 1/)с, гт = за + 127к2, получим что совпадает со значением функции о(р) (131.6) при р = 1/Й') . Далее, в области малых углов (д « 1) полиномы Лежандра с болыпими 1 могут быть представлены в виде (49.6) Й(соей) =,7О(61) = — е тйлолтгйр О Подставив это выражение в формулу (123.11) и перейдя в ней от суммирования (по болыпим 1) к интегрированию, получим — /)е ' "~'"гцр 1Ж = — /1е "й2Г1 р (131.9) О где с1 и р-- двумерные векторы с абсолютными величинами д = йд, р = 1/й. Наконец, подставив сюда 6 в виде (123.15) с 52 = о11/й), мы вернемся к формуле (131.7).
') Квазиклассическая функция 2бб(р) представляет собой связанное с полем 12 изменение действия при пролетании частицы вдоль классической траектории. Для быстрой частицы эту траекторию можно считатылряллолинейной, и тогда 22(р) совпадает с разностью классических интегралов действия /ь2 1 Д ь 12 ~т 212 2т 1 ги I й2 ' / йлл / В этом смысле функция 26(р) играет здесь роль, аналогичную роли эйконала в геометрической оптико. В связи с этим рассматриваомоо приближение в теории рассеяния часто называют эйконалъимзс 11одчеркнелц однако, что амплитуда рассеяния отнюдь не сводится к своему квазиклассическому выражению, поскольку не выполняются, вообще говоря, условия О1 » 1, б~ >> 1.
653 РАОСЕЯНИЕ ПРИ БОЛЬШИХ ЭНЕРГИЯХ Отметим также, что для рассеяния в центрально-симметричном поле формула (131.7), после проведения в ней интегрирования по полярному углу со в плоскости хп (с11р = рйрд9э), принимает вид У' = — тй (ехр~2гд(р)] — 1зр19(др)р Г1р. (131.10) В 3126 уже было указано, что борновское приближение неприменимо при рассеянии быстрых частиц на большие углы, если сечение при этом оказывается экспоненциально малым.
Непригодна в этих условиях также и изложенная здесь методика. В действительности мы имеем в таких случаях дело с квазиклассической ситуацией, к которой теория возмущений неприменима. В соответствии с общими правилами квазиклассического приближения (ср. 3 52, 53) показатель степени в экспоненциальном законе убывания сечений рассеяния можно определить путем рассмотрения «комплексных траекторийэ в классически недоступной области движения ') . В классической задаче о рассеянии зависимость между углом О отклонения частицы в поле ~11Г) и прицельным параметром р определяется формулой (131.11) э П 'в Г 1 г Е где то минимальное расстояние от центра, являющееся корнем уравнения (131. 12) гэ В (скГ. (127.5)). Интересующий нас случай соответствует области углов, на которые классическая частица не могла бы отклониться') .
Этим углам отвечают поэтому комплексные репзения р(д) уравнения (131.11) (с соответственно комплексными значениями го). По найденной таким образом функции р(д) и классическому орбитальному моменту частицы тор вычисляется дей- стане О10) = тп р(д)Г1В (131.13) ) Исследование вопроса о предэкспоненциальном множителе в этом законе — см. А.
3. Паташинсеий, В. Л, Покровский, И. М. Халатников/( ЖЭТФ. 1963. Т. 45. С. 989. ) Излагаемый метод применим не только при больших Е, но вообще во всех случаях экспонснциально малого рассеяния. 654 УПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ ГЛ ХЧП (где и . скорость частицы на бесконечности). Амплитуда же рассеяния ехр( — — 1ш о(0)).
(131.14) Уравнение (131.12) имеет, вообще говоря, более чем один комплексный корень. В качестве то в (131.11) долгкен быть взят тот из них, который приводит к наименыпей по величине положительной мнимой части 1ш о. Кроме того, если функция 0(т) обладает комплексными особыми точками, то они тоже должны входить в число конкурирующих значений то ') . Основную роль в интеграле (131.11) играет область т то. При этом в случае больпгих энергии Е член 17/Е под знаком корня может быть опущен; произведя интегрирование, получим тогда О Р = то СОŠ—. 2 (131.15) Если то есть особая точка функции б1(т), она зависит лишь от свойств поля, но не от р или Е. Вычисляя о, согласно (131.13), найдем, что амплитуда рассеяния в этом случае 2те .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
