III.-Квантовая-механика (1109680), страница 121
Текст из файла (страница 121)
Из второго же условия видно, что оно во всяком случае применимо для достаточно быстрых частиц. В соответствии с 245 ищем волновую функцию в виде уг = = ф~о~ + г)г(Ц, где ф~о~ = е'1" соответствует падающей частице с волновым вектором 1с = р/6. Из формулы (45.3) имеем г)г(Ц(х, у, е) = — ™, Г(х', у', з')еда" ~ ~~г . (126.3) Л = )Ке — г'! — Ле — г'и'. Подставив это в (126.3), получим следующее асимптотическое выражение для ф(ц: ~(Ц нг е*' ' / ОГ( с) с(1с — 1сйг'с,1,с (где 1с = Йп волновой вектор частицы после рассеяния). Сравнивая с определением амплитуды рассеяния в (123.3), получим для нее выражение г нг 1 5г„- ч,11у.
2хвг 1 (126.4) в котором мы произвели переобозначение переменных интегри- рования и ввели вектор (126.5) с абсолютной величиной с1 = 2йе1п В (126.6) где 0 угол между 1с и 1', т. с. угол рассеяния. Наконец, возведя в квадрат модуль амплитуды рассеяния, получим следующую формулу для сечения рассеяния в элемент телесного угла с1о: с1сг = ™ / о'е си сй' с1о. (126.7) Выбрав рассеивак1щий центр в качестве начала координат, введем радиус-вектор КЕ в точку наблюдения г)с1 1 и обозначим че- 1Ц рез и' единичный вектор в направлении И.е. Пусть радиус-вектор элемента объема с1'у" есть г', тогда К = Ке — г'. На больших расстояниях от центра Ле » т', так что упРуГие столкновения ГЛ ХЧП Мы ~~д~~, лто рассеяние с измеллением ивлпульса на йс1 определяется квадратом модуля соответствующей компоненты Фурье поля Бл. Формула (126.7) была впервые получена Борном (М. Вогп, 1926); такое приближение в теории столкновений часто называют борновсним приближением.
Отметим, что в этом приближении имеет место соотношение 7(1с,1с ) = 7*(1с,1с) (126.8) между амплитудами прямого и обратного (в буквальном смысле слова) процессов рассеяния, т.е. процессов, отличающихся друг от друга перестановкой начального и конечного импульсов, без изменения их знаков, как при обращении времени. Таким образом, в рассеянии появляется дополнительное (помимо теоремы взаимности (125.12)) свойство симметрии.
Это свойство тесно связано с малостью амплитуд рассеяния в теории возмущений и непосредственно следует из условия унитарности (125.8), если пренебречь в нем интегральньнл членовл, квадратичным по 7" ') . Формула (126.7) может быть получена также и другим способом (который, однако., оставляет неопределенной фазу амплитуды рассеяния). Именно, мы можем исходить из общей форклулы (43.Ц, согласно которой вероятность перехода между состояниями непрерывного спектра дается формулой Г1ло1л = — ~11~; ~~5(Е7 — Ел)Ы~. й В данном случае мы должны применить эту формулу к переходу из состояния падающей свободной частицы с импульсом р в состояние частицы с импульсом р, расссянной в элемент телесного угла 11о'.
В качество интервала состояний л1п7 выбираем л13р'л1(2п11)3. Подставив для разности конечной и начальной энергий Еу — Е, = (р'3 — рз)(2тп, имеем Волновые функции падающей и рассеянной частиц плоские волны. Поскольку в качестве интервала состояний 11пг выбран элемент пространства рЛ(2плл), то конечная волновая функция должна быть нормирована на д-функцию от р/(2пб)1 ,,1, Елй'г/й (126.10) ) Отсюда ясно, что зто свойство исчезает уже при переходе ко второму приближению теории возмущений. Мы убедимся в атом непосредственным образом в 1 130 в связи с формулой (130.13).
625 э 126 ФОРМУЛА БОРНА Начальную же волновую функцию нормируем на единичную плотность потока (126.11) Тогда выражение (126.9) будет иметь размерность площади и представляет собой дифференциальное сечение рассеяния. Наличие 5-функции в формуле (126.9) означает, что р' = р, т. е. абсолютная величина импульса не меняется, как и должно быть при упругом рассеянии. Можно исключить д-функцию, перейдя к сферическим координатам в импульсном пространстве (т.
е, заменив 44ар' на р~~41р'йо = (1) 2)р 41(рг ) г4о ) и проинтегрировав по дфв). Интегрирование сводится к замене абсолютного значения р на р в подынтегральном выражении, и мы получим сЬ вЂ” 4(,174)4 411' до . 4-4Б4 1 и 4Ф 2Л СФ Г У, )саг '~с~ в Д,1,4 1«1г = 4 У(г тгг Ь. ооо о Подставив это выражение в (126.4), получим следующую формулу для амплитуды рассеяния в центрально-симметричном поле: = — — ~ 17(г) Д г4Ь.
о (126.12) Подставив сюда функции (126.10), (126.11), мы снова вернемся к формуле (126.7). В виде (126.7) эта формула применима к рассеянию в поле Г(х, у, Б), являющемся функцией от координат в любой их комбинации, а не только от г. Но в случае центрального поля Г(г) она может быть подвергнута дальнейшему преобразованию.
В интеграле 77(г)е 4ч'4Д" воспользуемся сферическими пространственными координатами т, д, у с полярной осью, выбранной в направлении вектора с1 (полярный угол обозначаем через д в отличие от угла рассеяния д). Интегрирование по д и у может быть произведено, и в результате получим гл хуп упРуГие ОтолкнОВВния При и' = О (т.е. д = О) стоящий здесь интеграл расходится, если У(г) убывает на бесконечности, как 1/гз, или медленнее (в согласии с общими результатами 3 124). Обратим внимание на следующее интересное обстоятельство.
Импульс р частицы и угол рассеяния О входят в (126.12) только через д. Таким образом, в борповском приближении сечение рассеяния зависит от р и д только в комбинации р В1п(0/2). Возвращаясь к общему случаю произвольных полей П(х, у, В), рассмотрим предельные случаи малых (йа «1) и болыпих (Йа » 1) скоростей. При малых скоростях можно в интеграле (126.4) положить е "'ч" — 1, так что амплитуда рассеяния (126.13) — П ~1'У', а если Г = о'(г), то (126.14) Рассеяние оказывается здесь изотропным по направлениям и не зависящим от скорости, что находится в согласии с общими результатами ~ 132.
В обратном предельном случае больших скоростей рассеяние резко анизотропно и направлено вперед, в узком конусе с углом раствора ЬО 1/йа. Действительно, вне этого конуса величина и велика, множитель е 'ч' есть быстро осциллирующая функция и интеграл от его произведения на медленно меняющуюся функцию П близок к нулю. Закон убывания сечения при болыпих значениях д не является универсальным и зависит от конкретного вида поля. Если поле П(г) имеет какую-либо особенность при г = О или при каком-либо другом вещественном значении г, то определяющую роль в интеграле в (126.12) играет область вблизи этой точки и убывание сечения происходит по степенному закону.
То же самое относится и к случаю, когда функция Г(г) не имеет особенности, но не является четной -- основную роль в интеграле играет при этом область вблизи г = О. Если же Г(г) есть четная функция г, то интегрирование можно формально распространить и на отрицательные значения г, т. е. производить его вдоль всей вещественной оси переменной г, после чего (если 0Я не имеет особых точек на вещественной оси) можно сместить путь интегрирования в комплексную область до его «зацепленияь за ближайшую комплексную особую точку. В результате при больших и интеграл оказывается убывающим по экспоненциальному 627 2 126 ФОРМУЛА ВОРНА закону.
Следует, однако, иметь в виду, что для вычисления этой экспоненциально малой величины борновское приближение, вообще говоря, непригодно (см. также 6 131). Хотя величина дифференциального сечения рассеяния внутри конуса Ало 1ггка от скорости в основном не зависит, но, благодаря уменьшению угла раствора конуса, полное сечение рассеяния (если интеграл ) дгт вообще сходится) при больших энергиях убывает. Именно, полное сечение убывает вместе с величиной телесного угла, вырезываемого конусом, пропорционально (гад) 11'6~а~, т.е. обратно пропорционально энергии.
Во многих физических применениях теории столкновений в качестве величины, характеризуктщей рассеяние, фигурирует интеграл (126.15) гтм = (1 — сов о)г)гт, называемый часто транспортным сечением. Соображения, аналогичные указанным выше, показывают, что при болыпих скоростях эта величина обратно пропорциональна квадрату энергии.
Задачи 1. Определить в борновском приближении сечение рассеяния сферической потенциальной ямой: Ст = — Сто при г ( а, ст = 0 при т > а. Р е ш о н и о. Вычисление интеграла в (126.12) приводит к результату: 2 (т1тоа ' (а1поа — дасоеоа) 2 4 2 сЬ=.4а ) г1о. 6 (да) Интегрирование по всем углам (которое удобно произвести, переходя к переменной 4 = 26 ьтп(6/2) и заменив г1о на 2х441476~) дает полное сечение рассеяния 24г /тооа '1 ) 1 згп 46а вггг~ 26а) 2 3 4 к~ г, 62 ) ~ (26а)~ (26а)~ (26а)~ ~ В предельных случаях зта формула дает 162га гг т1тоа а= ( ) прийа((1, 6 (, 6' ) 2 2 2тг ггт1тоа а=- ( ) при йа)) 1. 12 ( 62 ) „от 2 2.
То жс в поле 1т = 1тое Р е ш е н и е. Вычисление удобно производить по формуле (126.7), выбрав направление ч в качестве направления одной из осей координат. В результате получим 2 2 гга' ггтХтоа ' 2 2 го 4 г, 62 628 ГЛ ХЧП УПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ и полное сечение гт 2 тг )т ттттоа ~ — гь' 2) 2ьг 1 йг Условия применимости этих формул даются неравенствами (126.1), (126.2) с бто в качестве бт. Кроме того, формула для 11а неприменима, если показатель экспоненты велик по своей абсолютной величине ') . 3. То же в поле 11 = — е Р е ш е н и Г. Вычисление интеграла в (126.12) дает Полное сечение ата 2 1 гт = 16яа ")-...
Условие применимости этих формул получается из (126.1), (126.2) с отта в качестве бт: Ота,тгт « 1 или а,тйв « 1. 4. Определить фазы бт для рассеяния в центрально-симметричном поле в случае, соответствующем бориовскому приближению. Р е ш е и и е. Для радиальной волновой функции я = г11 движения в поле 11(г) и для функции ~~В свободного движения имеем уравнения (см. (32.10)) 1(1+ 1) 2ти ! 2 32 ~й 1(1+ Ц! Умножив первою уравнение на ~~ ~, второе — на у, вычтя почленно одно из тот другого и проинтегрировав затем по гтг (с учетолт граничного условия тт = 0 при г =- О), получим Х ттг)у~ М вЂ” хттг)Х~ ~ ттг) =- лг / бтХХ~ ~" .
о Рассматривая бт как возмущение, можем положить в правой части равенства ~~ ~. При г -т оо в левой части равенства пользуемся асимптотическими выражениями (33.12), (33.20), в интеграл же подставляем точное выражение (33.10). В результате получаем тгт 2 гйпбт бт = — —, ~ ~3(т)ттУтэ1~211т)) *гг1г. 62 l ) В неприменимости теории возмущений в этом случае легко убедиться, вычислив амплитуду рассеяния во втором приближении (см. ниже (130.13)) т хотя предэкспоненциальный множитель в ием мал по сравнению с коэффициентом в члене первого приближения, но величина отрицательного показателя экспоненты оказывается в два раза меньшей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
