III.-Квантовая-механика (1109680), страница 118
Текст из файла (страница 118)
хн| СТРУКТУРА АТОМНОГО ЯДРА я 122. Сверхтонкая структура молекулярных уровней Сверхтонкая структура уровней энергии молекулы имеет природу, аналогичную природе сверхтонкой структуры атомных уровней. У огромного большинства молек1л полный электронный спин равен нулю. Основным источником сверхтонкого расщепления уровней является для них квадрупольное взаимодействие ядер с электронами; при этом, конечно, во взаимодействии участвуют лишь те из ядер, спин 1 которых отличен от О или 1/2-- в противном случае квадрупольныи момент равен нулю.
Ввиду сравнительной медленности движения ядер в молекуле усреднение оператора квадрупольного взаимодействия по состоянию молекулы производится в два этапа: сначала должно быть произведено усреднение по электронному состоянию при закрепленных ядрах, а затем — усреднение по вращению молекулы. Рассмотрим сначала двухатомную молекулу.
В результате первого этапа усреднения взаимодействие каждого из ядер с электронами выразится оператором, пропорциональным скаляру Я1тв1пы составленному из оператора тензора квадрупольного момента ядра и единичного вектора и в направлении оси молекулы единственной величины, определяющей ориентацию молекулы относительно направления спина ядра.
Учитывая, что Яп = О, этот оператор можно представить в виде / 1 611гь ~ и;пА — — д;ь); (122.1) при заданной величине проекции 1~ спина ядра на ось молекулы эта величина равна й ~г — — г'(г + 1)1. 1. з В результате же усреднения оператора (122.1) по вращению молекулы он оказывается выраженным через оператор К сохраняющегося вращательного момента. Усреднение произведения и;пА производится по формуле, полученной в задаче к ~29 (с вектором К вместо 1), и дает в результате (2к — цвак,-з~ ' [ — г,гь ДК Кь+ КРК, — — 61АК(К+ 1)]. (122 2) 3 Собственные значения этого оператора находятся так же, как это было указано для оператора (121.6). В случае многоатомной молекулы вместо (122.1) получается, вообще говоря, оператор вида Ь,ьг,АА, (122.3) 608 ГЛ.
ХЮ СТРУКТУРА АТОМНОГО ЯДРА Для вычисления энергии расщепления он должен быть подвергнут усреднению по состоянию молекулы, подобному описанному вьппе. При наличии в молекуле тяжелых атомов сравнимый вклад в сверхтонкое расщепление вносит, наряду с прямым, также и непрямое взаимодействие ядерных моментов через посредство электронной оболочки. С формальной точки зрения это взаимодействие представляет собой эффект второго приближения теории возмущений по отношению к взаимодействию ядерного спина с электронами. С помощью результатов Э 121 легко найти, что отношение величины этого эффекта к эффекту прямого взаимодействия ядерных моментов порядка (к еэ,16с)~; при больших Я оно сравнимо с единипей.
Наконсп, определенный вклад в сверхтонкое расщепление молекулярных уровней дает эффект взаимодействия ядерного момента с вращением молекулы. Вращающаяся молекула, как движущаяся система зарядов, создает определенное магнитное поле; это поле может быть вычислено с помощью известных из электродинамики формул по заданной плотности тока ) = р~йг~, где р--плотность зарядов (электронов и ядер) в неподвижной молекуле, а й--. угловая скорость ее вращения. Величина расщепления уровней получается как энергия магнитного момента ядра в этом поле, причем компоненты угловой скорости молекулы должны быть выражены через компоненты ее момента (ср.
~103). ГЛАВА ХУ11 УПРУГИК СТОЛКНОВКНИЯ я 123. Общая теория рассеяния В классической механике столкновения двух частиц полностью определяются их скоростями и прицельным расстоянием (расстоянием, на котором они прошли бы друг мимо друга при отсутствии взаимодействия). В квантовой механике меняется сама постановка вопроса, так как при движении с определенными скоростями понятие траектории, а с нею и прицельного расстояния теряет смысл. Целью теории является здесь лишь вычисление вероятности того, что в результате столкновения частицы отклонятся (или, как говорят, рассеются) на тот или иной угол.
Мы говорим здесь о так называемых упругих столкновениях,при которых нс происходит никаких превращений частиц или (если это частицы сложные) не меняется их внутреннес состояние. Задача об упругом столкновении,как и всякая задача двух тел, сводится к задаче о рассеянии одной частицы с приведенной массой в поле о'(г) неподвижного силового центра'). Сведение осуществляется переходом к системе координат, в которой покоится центр инерции обеих частиц. Угол рассеяния в этой системе обозначим через О.
Он связан простыми Формулами с углами О1 и О2 отклонения обеих частиц в «лабораторной» системе координат, в которой одна из частиц (вторая) до столкновения покоилась; тг э1п 0 я — и Фелюг = 2 = тг Етпгсоер 2 (123. 1) В я — д Од= —, О2= 2 2 (123.2) ') Мы пренебрегаем спин-орбитальным взаимодействием частиц (если они обладают спином). Предполагая поле центрально-симметричным, мы тем самым исключаем здесь из рассмотрения также и такие процессы, как, например, рассеяние электронов на молекулах.
где тп т2. массы частиц (см. 1, 2 17). В частности, если массы обеих частиц одинаковы (тг = т2), то получается просто б)О УПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ ГЛ ХУП сУмма 01+до = кгг2, т. е. частиЦы РазлетаютсЯ поД пРЯмым Углом. Ниже в этой главе мы пользуемся везде 1где противное не оговорено особо) системой координат, связанной с центром инерции, а под т подразумевается приведенная масса сталкивающихся частиц. Свободная частица, движущаяся в положительном направлении оси л, описывается плоской волной, которую мы запишем в виде г)г = е'ь', т.е. выберем нормировку, при которой плотность потока в волне равна скорости частиц и.
Рассеянные частицы описываются вдали от центра расходящейся сферической волной вида 1(0)ег~"ггг, где 1(0) "-некоторая функция угла рассеяния О (угол между осью я и направлением рассеянной частицы); эту функцию называют амп итудой рассеянил. Таким образом, точная волновая функция, являющаяся регпением уравнения Шредингера с потенциальной энергией сг (Г), должна иметь на болыпих расстояниях асимптотичсский вид гггг + Й ) гкг 1123.3) ГЬт = )~(0)(зсго.
(123.4) Эта величина имеет размерность площади и называется эффек- тивным сечением (или просто сечением) рассеяния внутри те- лесного угла до. Если положить его = 2х гйп О ггО, то мы получим сечение йг = 21ггйпО~)'(ОЯ~~МО (123.5) для рассеяния в интервале углов между О и О+ сгО. Решение уравнения Шредингера, описываюгцее рассеяние в центральном поле сг'(Г), должно, очевидно, быть аксиальносимметричным относительно оси л — направления падающих частиц. Всякое такое решение может быть представлено в виде ) В этом рассуждении молчаливо подразумевается, что падающий пучок частиц ограничен широкой (во избежание дифракционных эффектов), но конечной диафрагмой, как это и имеет место в реальных экспериментах по рассеянию. По этой причине нет интерференции между обоими членами в выражении Г123.3); квадрат ~ф~~ берется в точках, в которых отсутствует падающая волна.
Вероятность рассеянной частице пройти в единицу времени через элемент поверхности гго' = Г Йо (его элемент телесного угла) равна иг з)Я~~Г)Б = п~~~йг)ог) . Ее отношение к плотности потока в падающей волне равно 611 2 123 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ суперпозиции волновых функций непрерывного спектра, отвечаюп1их движению в данном поле частиц с заданной энергией 6~А:~/2т и орбитальными моментами с различными величинами 1 и равными нулю --проекциями (эти функции не зависят от азимутального угла р вокруг оси я, т.е. аксиально-симметричны). Таким образом, искомая волновая функция имеет форму ф = ~~ А~Р~(сов В)Лы(г), (123. 6) г=о где А~ постоянные, а Лм(г) радиальные функции, удовлетворяющие уравнению —,— (т ' ') + [Й вЂ”, — —,77(г)1Лы = О.
(123.7) Коэффициенты А~ должны быть выбраны так, чтобы функция (123.6) имела на болыпих расстояниях асимптотический вид (123.3). Покажем, что для этого надо положить А~ = — (21+ 1)г~ ехр(М~), 2е (123. 8) где 6~ -- фазовые сдвиги функций Льь Тем самым будет решена также и задача о выражении амплитуды рассеяния через эти фазы.
Асимптотический вид функции Лы дастся формулой (33.20) 2, йг Лы - -— гйп(/сг — — + 6~) = 2 = — 1( — 1)' ехр[г(Ь + б~)[ — г~ ехр[ — 1(Ь. + 4Ц. 1 Подставив это выражение, а также (123.8) в (123.6), получим асимптотическое выражение волновой функции в виде (21 + 1)Р~(сов 0) [( — 1) + е ' " + ЯЕ1 "[, (123.9) ~=о где введено обозначение Л~ = ехр (2Ы~ ) . (123.10) С другой стороны, разложение плоской волны (34.2) после такого же преобразования есть е'"~ ~ (21 + 1)Р~(сов О)[( — 1)~т~е '~" + е1~Р[. ~=о 612 УПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ ГЛ ХУП Мы видим, что в разности ф — е1~' все члены, содержащие мно- жители е 1~", как и следовало, выпадают.
Для коэффициента же при Р.' ")Г в этой разности, т.е. для амплитуды рассеяния, на- ходим Дд) = — ~(21+ 1)(Н~ — 1)Р~(созд). 21Е 1=-О (123.11) Эта формула регпает задачу о выражении амплитуды рассеяния через фазы д1 (Н. Рпхеп, Х НОЪпщЮ, 1927) ') . Проинтегрировав 11о по всем углам, мы получим полное сечение рассеяния о, представляющее собой отношение полной вероятности рассеяния частицы (в сдинипу времени) к плотности потока в падающей волне. Подставляя (123.11) в интеграл о = 2п ~ 1'(д) ~~ вгп д с)д О и помня, что полиномы Лежандра с различными 1 взаимно ор- тогональны, а Г Р1~(сов д) вгпдс1д = 21Ч 1' О получим следующее выражение для полного сечения: о. = —, ~~1 (21 + 1) вш др (123.12) 1=О Каждый из членов этой суммы представляет собой парциальное сечение о1 для рассеяния частиц с заданным орбитальным Принципиальный интерес представляет вопрос о восстановлении вида рассеивающего потенциала по предполагаемылг известным фазам б1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
