III.-Квантовая-механика (1109680), страница 115
Текст из файла (страница 115)
определитель вида (б1.5)) индивидуальных волновых функций 16 нуклонов. Функция (Ц должна обращаться в нуль при воздействии на нее операторов 3 3 Т =~ г' и Х~=~ 7'т' -(О =1 =1 (ср. задачу к 367). Операторы т(1) превращают протонную функцию 1-го нуклона в нейтронную (а нейтронную функцию — в нуль). Легко видеть поэтому, что оператор Т обращает первый член в (Ц в определитель с двумя одинаковыми строками, т. е. в нуль, а определители в трех остальных членах становятся одинаковыми; поэтому получаем условие Ь -Р с -1- 11 = — О. Далее, для отдельного нуклона с ьюментом 1 =- 3/2 и различныъги значениями т имеем (согласно (27.12Н ~312 О 1,6112 3,Г1,372 . ~-172 2,6172 т,6-372 Уг3~ — 172 Отсюда легко найти, что при воздействии оператора Хт на функцию (Ц получается 'УР31'17г-172 = У'3(о Ь Ь с) [3617~2 16 — '1~2 Ф-г~г] Ь 2(с 11) [Ф 172 рг~г Р1' — О~г1 (изменение знака некоторых членов связано с перестановкой строк определителя).
Условие равенства этого выражения нулю дает а-ЬЬ вЂ” с=О, с — 11=0. Вместе с условием нормировки функции (Ц полученные соотношения дают 3 2 1 а=, Ь= —, с=11= ~/15 УГ15 У'15 Учитывая, что среднее значение проекции магнитного момента протона (или нейтРона) в состоЯнии с Данным гл есть Ррш,г7 (или Д„т1117), найДем, что среднее значение момента системы, вычисленное с помощью волновой функции (Ц, равно 9 4 11'1 2 '3 1/1 З 11 =Д, = 11р +. Рр+ [ — Др + — Р„) + [ — — Рр-Р— Р„) = (13РР+Р„).
15 15 15 1,3 3 ) 15 г, 3 4 ,) 15 По формулам (118.12), (118.13) найдем,что для нуклона в сосгоянии р3121 р = -1,91, рр —— 3,79. В результате р = 3,03. 593 3 119 НЕСФЕРИЧЕОКИЕ ЯДРА 4. Определить магнитный момент ядра, в котором все нуклоны вне заполненных оболочек находятся в одинаковых состояниях, причем число протонов равно числу нейтронов. Р е ш е н и с.Поскольку при Ж = ь проекция изоспина Тс = О., то диагональные матричные элементы имеет только изотопически-скалярная часть оператора 9 = ~: 8.1. + ~: 8,1Р (см.
конец 3116). Выделяя зту часть в соответствии с формулой (116.5), найдем, что она равна 1 1 2 -(8-+ 8Р) ~1= -(8- 4-8Р)~. 2 Поэтому полный средний магнитный момент ядра равен (1/2)(8„+ 8р).7. 5. Вычислить дополнительный магнитный момент нуклона с механическим моментом ь выразив его через величину спин-орбитального расщепления (118.6) (М. СоррегЬМауег, з. Н. Хепзеп, 1952). Р е ш е н и е. Усреднение угловой части оператора (118.14) (выражение в фигурных скобках в (118,14); обозначим его как и) производится по формуле, полученной в задаче к 3 29, и дает — 2 (в1)! -~- 1(а1) — (2/3)1(1.~- Цв 3 (21 — Ц(21 -Ь 3) С другой стороны, после полного усреднения по движению нуклона среднее значение а может быть направлено лишь по 4', т.е.
3 = аз; отсюда а = (81)Д~. Произведя проецирование вектора (2) на1 (причсм надо учесть, что оператор 1 коммутирует с (1в)) и переходя к собственным значениям величин 1а, 1 и т. п., получим, после простого вычисления, следующее выражение для дополнительного магнитного момента нуклона (в единицах ядерного магнетона): ИА = ~У(г) "з при У = 1 ~ 1/2 шр21~ 21 -Р 1 й,з 4(У -~- 1) (3) (гпр масса нуклона; Л радиус ядра; при усреднении г 1 множитель г заменен на 11~ ввиду быстрого убывания 1(т) в глубь ядра). Среднее значение 1 в (3) может быть выражено через спин-орбитальное расщепление согласно (118.6). 8 119.
Несферические ядра Система частиц, движущихся в сферически-симметричном поле, не может иметь вращательного спектра энергий; в квантовой механике понятие вращения для такой системы вообще не имеет никакого смысла. Это относится и к рассмотренной в предыдущем параграфе оболочечной модели ядра со сферически-симметричным самосогласованным полем. Разделение энергии системы на внутреннюю и вращательную части в квантовой механике вообще не имеет строгого смы- 594 гл. ху| СТРУКТУРА АТОМНОГО ЯДРА ела.
Оно может иметь лишь приближенный характер и возможно в тех случаях, когда по тем или иным физическим причинам является хорошим приближением рассмотрение системы как совокупности частиц, движущихся в заданном поле, не обладающем сферической симметрией. Вращательная структура уровней появляется тогда как результат учета возможности вращения указанного поля по отношению к фиксированной системе координат.
С таким случаем мы имели дело, например, в молекулах, электронные термы которых можно определять как уровни энергии системы электронов, движущихся в заданном поле фиксированных ядер. Опыт показывает, что больтпинство ядер действительно не обладает вращательной структурой. Это означает, что хорошим приближением для них является сфернчески-симметричное самосогласованное поле, т.е. ядра обладают (с точностью до квантовых флуктуаций) сферической формой. Существует, однако, и такая категория ядер, которые обладают энергетическим спектром вращательного типа (сюда относятся ядра в интервалах атомных весов примерно 150 < А < < 190 и А ) 220). Это их свойство означает, что приближение сферически-симметричного самосогласованного поля для них совершенно непригодно.
Самосогласованное поле для этих ядер должно в принципе искаться без каких-либо предварительных предположений о характере его симметрий с тем, чтобы форма ядра определилась также «самосогласованным» образом. Опыт показывает, что правильной моделью для ядер этой категории оказывается самосогласованное поле, имен>щее ось симметрии и перпендикулярную к ней плоскость симметрии (т.е. имеющие симметрию эллипсоида вращения).
Представление о несферических ядрах наиболес полно было разработано в работах О. Бора и Мотшельеона (А. ВО1и; В. Л. МО11е1эоп, 1952— 1953). Подчеркнем, что мы имеем дело с двумя качественно различными категориями ядер. Это проявляется, в частности, в том, что ядра оказываются либо сферическими, либо несферическими с отнюдь не малой «степенью несферичностиэ. Возникновению несферичности способствует наличие в ядре незаполненных оболочек;.
существенную роль в этом явлении играет, по-видимому, также явление спаривания нуклонов. Напротив, замкнутость оболочек способствует сферичности ядра. Характерным в этом смысле является дважды магическое ядро ~фРЬ; в силу резко выраженной замкнутости его нуклонной конфигурации это ядро (а также и близкие к нему ядра) является сферическим, что и приводит к появлению разрыва в ряду не- сферических тяжелых ядер. з 119 НЕСФЕРНЧЕОКНЕ ЯДРА Уровни энергии несферического ядра представляются суммой двух частей: уровней «неподвижного» ядра и энергии его вращения как целого.
У четко- гетных ядер интервалы вращательной структуры уровней оказываются при этом малыми по сравнению с расстояниями между уровнями «неподвижного» ядра. Классификация уровней несферического ядра во многом аналогична классификации уровней двухатомной молекулы (состоящей из одинаковых атомов), поскольку симметрия поля, в котором движутся частицы (нуклоны или электроны) в обоих случаях одинакова. Мы сможем поэтому непосредственно воспользоваться рядом результатов, полученных в гл. Х1'), Остановимся сначала иа классификации состояний «неподвижного ядра»ч В поле с аксиальной симметрией сохраняется лишь проекция момента на ось симметрии. Поэтому каждое состояние ядра характеризуется прежде всего величиной й проекции его полного момента') „которая может иметь как целые, так и полуцелые значения.
В зависимости от поведения волновой функции при изменении знака координат всех нуклонов (по отношению к центру ядра) уровни делятся на четные (д) и нечетные (и). Кроме того, при П = О дополнительно различаются положительные и отрицательные состояния в зависимости от поведения волновой функции при отражении в плоскости, проходящей через ось ядра (см.
9 78). Основные состояния четно-четных несферических ядер являются состояниями Ое (цифра указывает значение П), соответствующими равному нулю моменту и наиболее высокой симметрии волновой функции; это обстоятельство является результатом попарного спаривания всех нейтронов и всех протонов. Если же ядро содержит нечетное число протонов или нейтронов, то в нем можно рассматривать состояние «нечетного» нуклона в самосогласованном поле четно-четного «остова» ядра. При этом значение П определяется проекцией момента этого нуклона. Аналогично, в нечетно-нечетном ядре значение П ' ) Подчеркнем, что речь идет об аналогии с классификацией уровней именно двухатомной »1олекулы, а не симметричного волчка.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
