III.-Квантовая-механика (1109680), страница 112
Текст из файла (страница 112)
Третий член написан здесь в таком виде, чтобы обращаться в нуль при усреднении по направлениям и; описываемые этим членом силы обычно называют тензорныл«и. Мы приписали взаимодействию (117.1) индекс «обычное» с целью подчеркнуть тот факт, что этот оператор не меняет 1 ) В этом отношении взаимодействие нуклонов существенно отличается от взанмодействия электронов, у которых спин-спиновоо взаимодействие имеет лишь релятивистское происхождение и является (в атомах) малым.
) Здесь подразумевается, что ядерные силы инвариантны по отношению к пространственной инверсии, т.е. не могут содержать псевдоскалярных членов. В настоящее время нет экспериментальных данных, которые бы свидетельствовали об обратном. 2 117 ЯДЕРНЫЕ СИЛЫ зарядового состояния нуклонов. Наряду с этим взаимодействием допустимо и такое, в результате которого протон превращается в нейтрон и наоборот. Оператор этого аобмснногоа взаимодействия отличается по своему виду от оператора (117.1) наличием оператора перестановки частиц (116.4): Коем = 1с7е(г) + 17б(г)(втв2)+ 77е(г) [3(вгп) 1в2п) — втв2ЦР.
(117.2) Полный оператор взаимодействия дается суммой (117.3) = ыобыч + 17обм Таким образом, взаимодействие двух нуклонов характеризуется шестью различными функциями расстояния между ними. Все эти члены, вообще говоря, одинакового порядка величины') . Спиновыс операторы, входящие в (117.1) и (117.2), могут быть выражены через оператор полного спина В. Действительно, возводя в квадрат равенства Й = в1 + в2 и Йп = вгп+ в2п и учитывая, что в21 — — в2 2— — 3/4, (втп)2 = (взп)2 = 1/4 (см. (55.10)), найдем втвг = — (В~ — — 1, (вгп)(в2п) = — 1(Йп) — — 1. (117.4) 2' 2/ 2! 21 Оператор Й2 коммутативен с оператором Й, поэтому взаимодействия, описываемые двумя первыми членами в (117.1) и (117.2), сохраняют вектор полного спина системы. Тензорное же взаимодействие содержит оператор (Йп), коммутативный с квадратом Й2, но не с самим вектором Й.
В результате оказывается сохраняющейся ли1пь абсолютная величина полного спина, но не его направление. Полный спин о' системы двух нуклонов может иметь значения О и 1. Такие же два значения может иметь ее полный изотопический спин Т. Поэтоъту все возможные состояния этой системы распадаются на четыре группы, отличающиеся значениями пары чисел о', Т. Для состояний каждой из этих групп Укажем также, что взаимодействие, зависящее от скорости нуклонов, в линейном по скоростям приближении описывается оператором вида (у~(г) т ээээ(г)Р]т 3, где Ь =.
~гр] — орбитальный момент относительного движения нуклонов (р —- его импульс), а Б =- в1+вы этот оператор содержит две функции от г, Члены же вида рп и Бп исключаются требованиями инвариантности по отношению к инверсии и к обращению времени.
580 гл. ху| СТРУКТУРА АТОМНОГО ЯДРА имеется свой оператор взаимодействия вида А(г) (при Я = 0) или А(т) + В(г)((Яп)~ — 2,131 (при Я = 1), к которому сводится в этих случаях общий оператор (117.3) (см. зада гу 1) ') . При заданных значениях Я и Т состояния системы классифицируются по значениям полного момента 7 и четности. Как мы знаем, значению Т = 0 соответствуют состояния с симметричными, а значению Т = 1 с антисимметричными волновыми функциями ф.
Поскольку, с другой стороны, значение Я определяет симметрию волновой функции по отношению к спиновым переменным (симметричность при Я = 1 и антисимметричность при о' = 0), то ясно, что заданием пары чисел Я, Т определится и характер сиъгметрии волновой функции по отношению к пространственным переменным, т.с. чстность состояния. Очевидно, что состояния системы с изотопическим спином Т = 0 могуг быть лишь четными триплстами (Я = 1) или нечетными синглетами (о' = 0); состояния же системы с изотопическим спином Т = 1 являются нечетными триплетами или четными синглетами. Поскольку спин, как вектор, не сохраняется, то не должен, вообще говоря, сохраняться и орбитальный момент (сохраняется лишь сумма Л = Ь + Я).
Тем не менее абсолютная величина Л может оказаться сохраняющейся просто в силу того, что заданные значения 7, о и четности (или 7, о и Т) могут оказаться совместными лишь с одним определенным значением т' (напомним, что четность системы двух частиц есть ( — 1) ). Так, нес четное состояние с о = 1, 7 = 1 может иметь лишь Л = 1, т. е. являться состоянием Рг.
В других же случаях заданным значениям 7, о' и четности могут соответствовать два различных зна ~ения Л, так что Л не сохраняется. Так, в нечетном состоянии с о = 1, 7 = 2 может быть Л = 1 и Л = 3, т.е. такое состояние является суперпозициеи Рз + ~РТ. Таким образом, мы приходим к следующим возможным состояниям системы двух нуклонов (индекс ж указывает чстность); г) Экспериментальные данные о свойствах дсйтрона показывают, что при Т =- О, Я .=- 1 взаимодействие нуклонов содержит сильное притяжение с глубокой потенциальной ямой (наличие тензорных сил делает затруднительным формулировку етого факта в виде свойств функций А(г), В(г)); кроме того, можно утверждать (исходя из знака наблюдаемого квадрупольного момента дейтрона), что в атом состоянии коэффициент В(г) в тензорных силах отрицателен. Из данных о рассеянии нуклонов следует, что при Т =- 1, Я = О тоже имеется притяжение, но более слабое и не приводящее, в частности, к возникновению устойчивой системы двух частиц.
581 З 117 ЯДЕРНЫЕ СИ,ИЫ при 7 13Р— .'!Р— (зР)зг') — зе †.!~-»1Р-»1С-» у 1) (З~ +Згэ )-~- Згэ+(Згэ +ЗС )Ъ . 1р 1ы Ядерные силы являются, всюбще говоря, не ад11итйвныыи. Это значит, что взаимодействие в системе из более чем двух нуклонов не сводится к сумме взаимодействий всех пар частиц между собой. По-видимому, однако, тройные и т.д. взаимодействия играют относительно малую роль по сравнению с парными и потому при рассмотрении свойств сложных ядер можно в значительной мере основываться на свойствах парных взаимодействий.
Опытные данные о ядрах показывают, что по мере увеличения числа частиц А система нуклонов начинает вести себя как макроскопическое еядерное вещество», объем и энергия которого растут пропорционально А (с точностью до эффектов, связанных с кулоновским взаимодействием протонов и наличием свободной поверхности ядра). Свойство ядерных сил, с которым связанно это явление называют свойством их насыщения.
Существование этого свойства накладывет определенные ограничения на функции Г1,..., Гб, определяющие парные взаимодействия нуклонов. Представим себе, что все частицы сконцентрированы в обьеме размерами порядка радиуса действия ядерных сил; тогда все пары частиц взаимодействуют друг с другом. Если при этом сугцествует такая конфигурация каких-либо нуклонов 1и ориентация их спинов), при которой между всеми парами действуют силы притяжения, то потенциальная энергия такой системы будет отрицательной величиной, пропорциональной Аз. Кинетическая же энергия такой системы величина положительная, пропорциональная А'1З, т.е.
меньшей степени А ') . Ясно, что в таких условиях совокупность достаточно большого числа нуклонов действительно концентрировалась бы в не зависящем от А малом объеме, т.е. не создавала бы ядерного вещества. Поэтому условие насыщения ядерных сил должно выражаться условияьли отсутствия конфигурапий, приводящих к пропорциональной АЗ отрицательной энергии взаимодействия (сы. задачу 2). Пропорциональность объема ядерного вещества числу частиц выражается соотношением вида Л = тоА'ч~, !117.
5) 1 ) Плотность п, с которой частицы сконцентрированы в данном объеьге, пропорциональна их числу А, а кинетическая энергия каждой иэ них пропорциональна при этом и 1~ (ср.(70.1)). Поэтому полная кинетическая энергия пропорциональна АА~1». 582 ГЛ. ХУ1 СТРУКТУРА АТОМНОГО ЯДРА связывающим радиус ядра Л с числом частиц А в нем. Опытные данные 1о рассеянии электронов на ядрах) приводят к значению го -- 1, 1 10 ' см. Определим предельный импульс нуклонов в ядерном веществе (ср.
3 70). Объем фазового пространства, соответствующий частицам, находящимся в единице объеьла физического пространства и обладающим импульсами р < ре, равен 4про/3. 3 Разделив его на 12пб)3, получим число «клеток», в каждой из которых может находиться по два протона и два нейтрона. Положив число протонов равным числу нейтронов, получим 4я( р. ~3 А где 1г объем ядра. Подставив сюда (117.5), получим 6= =14 10 14г см с "=( ')"' = 2И l 2га Соответствующая энергия роэ/2тр 1лпр масса нуклона) составляет - 30 МэВ, а скорость ро/тр - с/4.
Задачи 1. Найти операторы взаимодействия двух нуклонов в состояниях с определенными значениями о' и Т. Р е ш е н и е. Исколлые операторы Пзт получаются из общего выражения 1117.1) — 1117.3) при учете соотношений 1116.3) и 1117.4); 3 3 «ОО «'1 «'22 «'4 «4 4 3 3 Оог = 01 — — Пг — О« + — Ол, 4 4 1 1 1 г 171о = 171 + — 172 + 174 4- — пв э — 1172 4- 174) )З«лов) — 2), 4 4 2 1 1 1 г 1241 '= Ол -~- — Ог — 174 — — Ог -~- — лог — Ое) ~3(8п) — 2). 4 4 2 2. Найти условия насыщения ядерных сил, предполагая тензорные силы отсутствующими; радиусы действия всех остальных типов сил предполагаются одинаковыми. Р е ш е н и е. Рассмотрим некоторые крайние случаи 11«ежду которыми находятся все другие возможные случаи) для состояния системы из А нуклонов и напишем условия того, чтобы энергия взаимодействия «средней» пары нуклонов в этой системе была положительной. Пусть полный спин и изотопнческий спин ядра имеют наибольшие возможные значения: о = Т„= А«12 лвсе частицы в системе — протоны с параллельными спинами).
Тогда для каждой пары нуклонов имеем о = Т = 1, и мы получаем условие 1711 ) О. 11) 583 3 118 МОДЕЛЬ ОБОЛОЧЕК Пусть теперь Т =. А/2, Я„а =- О. Тогда для каждой пары нуклонов Т =- 1, а для отдельного нуклона равно нулю среднее значение а,. Последнее означает, что нуклон с равной вероятностью может иметь з, = 1/2 и о, = = -1/2: в этих условиях вероятности паре нуклонов находиться а состояниях с Я =- О или Я = 1 равны соответственно 1/2 и 3/4 (они пропорциональны числу 2Я -~- 1 возможных значений Я.).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
