III.-Квантовая-механика (1109680), страница 111
Текст из файла (страница 111)
Мы перейдем к нему естественным образом, если заметим, что изотопическая инвариантность сводится к установлению возможности классифицировать состояния системы нуклонов по симметрии ее координатно-спиновых волновых функций у1, вне зависимости от того, к какому из двух типов относятся нуклоны. Поэтому искомый аппарат должен дать возможность ввести лля характеристики состояний системы новое квантовое число, задание которого однозначно определяло бы симметрию функций 1з. Но с аналогичной ситуацией мы уже имели дело в связи со свойствами системы частиц со олином 1/2. Именно, мы видели (см.
9 63), что задание полного спина Я такой системы однозначно определяет симметрию ) В литературе для этой инвариантности используется также название изоборвческой. ~) Это было показано на основе анализа экспериментальных данные о рассеянии нейтронов и протонов на протонах Брейтом, Кондовом и Презентом (О.
Всей, Е. К Сопооп, Л. П. Ргезепй 1936). з ) Надо думать,что в действительности эта разница в массах нейтрона и протона тоже имеет электромагнитное происхождение. 574 гл. хуг СТРУКТУРА АТОМНОГО ЯДРА о — Х А Тс'=2 тг,= =ю 2 2 (1 1б.1) т.е. Тг определяет, при заданном числе нуклонов, полный заряд системы. Ясно поэтому, что имеет место строгое сохранение величины ТО выражаюгцее собой просто сохранение заряда. Абсолютная же величина полного изотопического спина системы Т определяет симметрию «зарядовой частиа го волновой функции системы, подобно тому, как полный спин О определяет симметрию спиновой волновой функции. Тем самым она определяет и симметрию координатно-спиновой (т.с.
обычной) волновой функции гр, поскольку полная волновая функция системы нуклонов (т. е. произведение фог) должна иметь определенную симметрию: как и для всяких фермионов, она должна быть антисимметричной по отношению к одновременной перестановке координат, спинов и «зарядовых переменных» тг частиц. Поэтому наличие определенной симметрии у волновых функций ф ) Она была введена Гейзенбергом (1932) и применена к описанию изотопивеской инвариантвости Коссеном и Кондоном (В. Саггеп, Е. В.
Сопйоп, 193б). 2 ) В литературе используется также и обратное определение. ее координатной волновой функции 9г, вне зависимости от того, какие из двух возможных значений (ж1/2) имеют проекции Гт спинов каждой из частиц. Естественно поэтому, что для формального описания изотопической инвариантности надо рассматривать нейтрон и протон как два различных зарядовых состояния одной и той же частицы (нуклона), отличающихся значением проекции нового вектора т, по своим формальным свойствам аналогичного вектору спина 1/2. Эта новая величина, которую принято называть изотопинеским снином (или просто изоспином) '), является вектором в некотором вспомогательном «изотопическом пространстве» ~г1~ (не имеющем, разумеется, ничего общего с реальным пространством). Проекция изотопического спина нуклона на ось ~ может иметь лишь два значения тг = ж1/2.
Значение +1/2 условно приписывается протону, а значение — 1/2 нейтрону'). Изоспины нескольких нуклонов складываются в полный изоспин системы по правилам сложения обычных спинов. При этом ~-компонента полного изоспина системы равна сумме значений тг всех составляющих ее частиц. Для ядра с числом протонов (т.
е. атомным номером) У, числом нейтронов АГ и массовым числом А = к + Аг имеем ИЗОТСПИНЕСКАЯ ИНВАРИАНТНОСТЬ любой системы нуклонов как раз и выражается в излагаемой схеме сохранением величины Т. Можно также сказать, другими словами, что изотопическая инвариантность означает инвариантность свойств системы относительно любых поворотов в изотопическом пространстве.
Состояния, отличающиеся лишь значением Т~ (при заданных значениях Т и остальных квантовых чисел), одинаковы по своим свойствам. В частности, зарядовая симметрия инвариант- ность свойств системы относительно замены всех нейтронов протонами и наоборот, являющаяся частным случаем изотопической инвариантности, описывается при этом как инвариантность относительно одновременного изменения знака всех тг, т.е.
относительно поворота в изопространстве на угол 180' вокруг оси, лежащей в плоскости ~0. Отметим также, что очевидное нарушение изотопичсской инвариантности кулоновым взаимодействием видно в рассматриваемой схеме и формально; кулоново взаимодействие зависит от заряда, т.е. от ~-компонент изоспина, не инвариантных относительно поворотов в пространстве Щ. Рассмотрим, например, систему из двух нуклонов. Ее полный изотопический спин может иметь значения Т = 1 и Т = О.
Для Т = 1 возможны зна ~ения проекции Тт = 1,0, — 1. Этим значениям соответствуют, согласно (116.1), значения заряда 2, 1„0, т.е. система с Т = 1 может быть реализована как рр, рп и пи. Зарядовая часть волновой функции ы с Т = 1 является симметричной (подобно тому, как значению спина о = 1 соответствует симметричная спиновая функция, ср. ~62). Поэтому значению Т = 1 соответствуют состояния с антисиммстричными обычными волновыми функциями в'. Для Т = 0 возможно лишь Т~ = 0 и соответствующая функция ы антисимметрична; сюда относятся, следовательно, состояния системы рп с симметричными волновыми функциями ф. Изотопическому спину отвечает оператор т, действующий на зарядовую переменную тт в волновой функции, подобно тому, как оператор спина в действует на спиновую переменную и.
Ввиду полной формальной аналогии между тем и другим, операторы тт, тш тг выражаются теми же матрицами 11аули (55.7), что и опеРатоРы В„вю В,. Отметим здесь некоторые комбинации этих операторов, имеющие простой наглядный смысл. Сумма, го тт = с~+ттл = 1О Ц есть оператор, который при воздействии на нейтронную 576 гл. хл СТРУКТУРА АТОМНОГО ЯДРА волновук> функцию превращает ее в протонную, а при воздействии на протонную функцию обращает ее в нуль. Аналогично, оператор >о о1 — о( превращает протон в нейтрон и уничтожает нейтрон. Наконец, оператор —,+%= (о с) оставляет неизменной протонную функцию и уничтожает нейтрон; его можно назвать оператором заряда нуклона (в единицах е).
Покажем еще, каким образом может быть выражен через операторы т>, т2 изоспинов двух частиц оператор Р перестановки этих частиц друг с другом. По определении> последнего, результат его воздействия на волновую функцию системы двух частиц ф(г>, сг>, г2, Т2) заключается в перестановке координат и спинов этих частиц, т. е. в перестановке переменных г>, с» и г2, 1>2. Собственные значения этого оператора равны ж1 и осуществляются при воздействии на симметричную или антисиммстричную функции >1>: Р>>>сим — асин~ Рт'анти — Фанти 1116.2) Ро>с = а>с, Ра» = — ыь (116.3) Этим условиям удовлетворяет оператор 1 — Т, в чем легко 2 убедиться, заметив, что о>т есть собственная функция оператора Т2, соответствующая собственному значению Т(Т + 1).
Наконец, написав Т = т> + с2 и учитывая, что г~~ и т2 имеют 2 одинаковые определенные значения т(т+ 1) = 3>>4, найдем искомое окончательное выражение') 1 Р = 1 — А = — — — 2Т>Т2. 2 1116.4) 1 ) С оператором такого вида, составленных> из обычных спинов частиц, мы уже встречались в задачах к З 62. Мы видели выше., что функциям у>,„и ц>,„,„соответствуют зарядовые функции а>т со значениями полного изоспина Т = 0 и Т = 1. Поэтому если мы хотим представить оператор Р в форме, в которой он действует на зарядовые переменные, то он должен обладать свойствами 2 117 ИЗОТОПИ 1ЕСКАЯ ИНВАРИАНТНООТЬ Для матричных элементов различных физических величин системы нуклонов существуют определенные правила отбора по изотопическому спину (1.А.Вадгса1г, 1952).
Пусть Г какая-либо величина (любого тензорного характера), обладаю1цая свойством аддитивности в том смысле, что се значение для системы равно сумме значений для отдельных нуклонов. Представим оператор такой величины в виде где суммирования производятся по всем протонам и нейтронам в системе. Это выражение х|ожно тождественно переписать в виде где суммирование в каждом члене производится по всем нуклонам (как протонам, так и нейтронам).
Первый член в (116.5) есть скаляр, а второй — — ~-компонента вектора в изопространстве. К ним относятся поэтому те же правила отбора по изотопическому спину, которые имеют место для скаляров и векторов в обычном пространстве по орбитальному моменту (см. 229). Изотопический скаляр допускает лишь переходы без изменения Т; ~-компонента же изотопического вектора имеет матричные элементы лишь для переходов с изменением 1АТ = О, ~1, причем дополнительно запрещены переходы с 1АТ = О между состояниями с Т~ = О, т.е. для систем с одинаковым числом нейтронов и протонов (последнее правило следует из того, что матричный элемент перехода с ЬТ = О пропорционален Ти-- см, (29,7)) Так, для дипольного момента ядра роль величин ~р играют произведения ег, а 1„= О.
Первый член в (116.5) есть тогда — — тг, 2 2т т.е. пропорционален радиусу-вектору центра инерции и может быть обращен в нуль надлежащим выбором начала координат; другими словами, дипольный момент ядра сводится к ~-компоненте изотопического вектора. 578 гл. ху» СТРУКТУРА АТОМНОГО ЯДРА й 117. Ядерные силы Специфические ядерные силы, действующие между нуклонами, характеризуются прежде всего своим малым радиусом действия; они убывают экспоненциально на расстояниях 10 1всм. В нерелятивистском пределе можно утверждать, что ядерные силы не зависят от скоростей нуклонов и имеют потенциал (скорости нуклонов в ядре составляют примерно 1»»4 от скорости света, см. ниже).
Потенциальная энергия бг взаимодействия двух нуклонов зависит не только от их взаимного расстояния г, но и от их спипов, причем зависимость от спинов отнюдь не является слабой ') . Точная зависи»ность от т могла бы быть установлена, разумеется, лишь последовательной теорией ядерных сил. Характер же зависимости от спиноз может быть найден уже из простых соображений, связанных со свойствами операторов спина. В нашем распоряжении имеется всего три вектора, от которых может зависеть энергия взаимодействия 5Г: единичный вектор п в направлении радиуса-вектора между двумя нуклонами и их спины в1 и в2.
По общим свойствам оператора спина 1»»2 всякая функция от него сводится к линейной функции (см. ~ 55). Кроме того, надо учесть, что произведение пв является не истинным, а псевдоскаляром (поскольку и- полярный, а в аксиальный вектор). Ввиду этих обстоятельств очевидно, что из трех векторов п, в1, в2 можно составить всего две независимые скалярные величины; вгв2 и (пв1) (пв2), линейные по каждому из спиноз') . Следовательно, в отношении своей зависимости от спинов оператор взаимодействия двух нуклонов может быть представлен в виде суммы трех независимых членов ьгобь»ч = с»1(~ ) + 772(~ )1в1в2) + ОЗ1г)181в1и)(в2и) з1в21» (117 1) из которых один не зависит, а два зависят от спинов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
