III.-Квантовая-механика (1109680), страница 106
Текст из файла (страница 106)
Подставив сюда (109.3), (109.4) и воспользовавшись формулой суммирования 1108.8), получим искомую формулу, выражающую матричные элементы скалярного произведения через приведенные матричные элементы каждого из тензоров по отно- 546 СЛО1КЕНИЕ МОМЕНТОВ ГЛ. Х11 тлению к волновым функциям соответствующих подсистем: (п,паААУЛХ~(~„~ь )оо~п~п~йузЯМ) = 111 Ж (2) 1)11 1-,1г -~ Т,19 уд х х (п~Я~~„~~пД~)(ппуД~„~~~пх12), (109,5) я 110.
Матричные элементы для аксиально-симметричных систем Основой для вычисления матричных элементов величин, характеризующих системы типа симметричного волчка, служит выражение интеграла от произведения трех Р-функций. Для вывода этой формулы вернемся к разложению (106.11) ф,11„11)гзгтг = ~~1 (ут~т~т2)г)11т, т = тг+ т2 и преобразуем обе части равенства конечным поворотом системы координат. Каждая из г(г-функций преобразуется согласно (58.7), так что получим Е т~ т Рт'т ~~гт' г)гогт' = ~~~,~ (у~~~~~~~~~2)~т'тФ~т' ° т' ! т11пг Выразив теперь функции у в правой части равенства в виде разложения (106.9) и сравнив коэффициенты при одинаковых ПРОИЗВЕДЕНИЯХ ф.г „1111 „ПОЛУЧИМ СООтНО1ПСНИЯ Р г, (ы)РВ,, (Вг)=~~ (т~т~)1т )Р ~, (ы)(т~т2~ут) (1 10.1) (причем т = т1 +т2, т' = т' +т~, а ы обозначает совокупность трех эйлеровых углов а, 11', у.
1гыражснная через Зу-символы, эта формула принимает вид РВ') (Ог)Р('1) (Вг) = ~(2у+ 1) (~~ ~~ ~ 1) х т', т1 т.' тг '1 т~ пгз — т / х ( ~~ уе ~ ) Р(г~", (Вг) (110.2) 1т1 те — тг -т',-т (здесь использовано также свойство Р-функций (58.19)). 3 110 мАтРи 1ные элементы Для АксиАльно-симметРи 1ных систем 547 Умножив равенство (110.2) с обеих сторон на П т, (аг) О) и проинтегрировав его по 31ег с помогцью соотношения ортогональности (58.20), получим 1)(2)) ~ ) ОО2) ~ ) Обз) тгтг т2тг тзтз вх (для большей симметрии здесь произведено очевидное изменение обозначений индексов). Это и есть искомая формула') .
Пусть )Ае — сферический тензор ранга й, характеризующий волчок в связанных с ним координатных осях х у'л' = Щ (ось ~ по оси волчка); это может быть, например, тензор мультипольного электрического или магнитного момента. Пусть лье компоненты того же тензора относительно неподвижных осой координат хуе. Связь между теми и другими определяется матрицей конечных вращений согласно Ьд ='Я7~д".,'МБ, (110.4) е! Волновые функции, описывающие вращение системы как целого, отличаются от Р-функций лишь нормировкой: где у —. полный момент системы; т--- его проекция на неподвижную ось л; р-- проекция на ось системы; фазовый множитель выбран так, чтобы при целочисленном уг и )2 = 0 функция (110.5) переходила в собственную функцию свободного момента (ср.
(103.8)). Вычисляя по этим функциям матричный элемент величины (110.4) с помощью (110.3) (причем комплексно сопряженная П-функция выражается согласно (58.19)), получим х У,, У ), У ()2'~~Ее ~)2) (110.6) (причем д = )2 — )2, д = т' — пт). 1 ) Г!Ри целых значениЯх 22 = 12, 12 = 1г, уз = 1з и тз = тг = тз = 0 фУнкции Ре своддтси, согласно (58.25), к шаРовым фУнкциам, и фоРмУ- ла (110.3) дает выражение для интеграла от произведения трех шаровых функций (107.14).
548 Гл. хп ОЛО'КЕНИЕ МОМЕНТОВ Эта формула решает поставленную задачу. Она определяет зависимость матричных элементов от моментов 7, 1 и их проекций гп, т'. Что касается зависимости от квантовых чисел р, р, то она остается, разумеется, неопределенной: значения этих чисел зависят от «внутренних» состояний системы, между которыми берется «внутренний» матричный элемент (д'~~Ее ~р). Зависимость матричных элементов 1110.6) от чисел т,, т', такая же, как для всякой системы с заданным полным моментом.
Отделив эту зависимость введением приведенных матричных элементов согласно (107.6), получим для последних выражение х 1,, ~ (р'~ДЕ ~р). 1110.7) Квадрат модуля матричного элемента (110.6), просуммированный по всем значениям конечного числа т' (и по д = ш' — т) при заданном ш, не зависит от значения т и равен, по общему правилу (107.11): )Ц р т ~~ъ,Црт)~ = (Ц д ))~д!)1р)) дт' Соотношения эрмитовости (107.9) для приведенных матричных элементов в координатах хуе (110.7), как и следовало, находятся в согласии с соотношениями (107.8) для матричных элементов в координатах (ц~. Вращение таких аксиально-симметричных систем, как двух- атомная молекула (или аксиальное ядро), описывается всего двумя углами (а: — д, р' = В), определяющими направление оси системы.
Вращательная волновая функция отличается в этом случае от (110.5) отсутствием множителя е'"т/хая (ср. примеч. на с. 389). Это изменение, однако. не отражается на матричных элементах: поскольку зависимость Р ~, (о,р', у) от у сводится ~ 110 мАтги ~иыв элементы Лля АксиАльво-симмвтги шых систем 549 к множителю енв з, то (110.3) можно переписать в виде 5 Г Р~з',~ 1о, ~3, 0)РВ'~ 1о, 13,0)РВ'~ 1о, ~3,0) 7Г (где т = т,~ + тз + тз) и результат вычисления интеграла не меняется.
При этом правило отбора по проекции момента на ось системы соблк>дается в прежнем виде (д' — д = д'), возникая (как следствие симметрии молекулы относительно оси ~) в результате ортогональности электронных волновых функций. В формулах 1110.6), (110.7) под (д'~~';, ~(д) надо понимать теперь матричные элементы по отношению к электронным состояниям при неподвижных ядрах.
ГЛАВА ХЪ ДВИжКНИК В МАГНИТНОМ ПОЛК я 111. Уравнение Шредингера в магнитном поле Частица со сливом обладает также и определенным «собственным» магнитным моментом и. Соответствующий ему квантовомеханический оператор пропорционален оператору спина в, т. е. может быть записан в виде (111.1) где г- величина спина частицы, а и- характерная для частицы постоянная. Собственные значения проекции магнитного момента равны р, = до/г.
Отсюда видно, что коэффициент 1« 1который и называют обычно просто величиной магнитного момента) представляет собой наибольшее возможное значение р„ достигаемое при проекции спина о = г. Отношение фйг дает отношение собственного магнитного момента частицы к ее собственному механическому моменту (когда оба направлены по оси г). Как известно, для обычного (орбитального) момента это отношение равно е/(2тс) (см.
11, 2 44). Коэффициент же пропорциональности между собственным магнитным моментом и спином частицы оказывается иным. Для электрона ои равен ~е~/тс, т.е, вдвое больше обычного значения (такое значение получается теоретически из релятивистского волнового уравнения Дирака — см. 1Ъ', 233). Собственный магнитный момент электрона (спин 1/2) равен, следовательно, — дн, где М~~ 9 927 19 — 2о т 1111.
2) 2тс Гс Эту величину называют магнетоном Бора. Магнитный момент тяжелых частиц принято измерять в ядерных магнгтонах, определяемых как ей((2трс), где тр масса протона. Эксперимент, чает для собственного магнитного момента протона значение 2,79 ядерных магнетонов, причем момент направлен по спину.
Магнитный момент нейтрона направлен противоположно спину и равен 1,91 ядерного магнетона. 551 1 111 уРАВнение шРединГеРА В мАГнитнОм пОле Н = — (р — -А) + е~р, где сс — скалярный, А векторный потенциал поля, а р обобщенный импульс частицы (см. П, ~ 16).
Если частица не обладает спином, то переход к квантовой механике производится обычным образом: обобщенный импульс надо заменить оператором р = — гпу', и мы получим гамильтониан') Й = — (р — — А) + ест. (111.З) Если же частица обладает олином, то такая операция недостаточна. Дело в том, что собственный магнитный момент частицы непосредственно взаимодействует с магнитным полем.
В классической функции Гамильтона это взаимодействие вообще отсутствует, поскольку сам спин, будучи чисто квантовым эффектом, исчезает при переходе к классическому пределу. Правильное выражение для гамильтониана получится путем введения 1в 111.3) дополнительного члена йН, соответствующего энергии магнитного момента )А в поле Н. Таким образом, ) Отметим, что это равенство 1а тем самым и существование электрического момента у элементарной частицы) противоречило бы также и симметрии по отношению к обращению времени: изменение знака времени не меняет с1, но меняет знак спина 1как это очевидно, например, из определения этих величин при орбитальном движении: в определение о входят лишь координаты, а в определение момента — также и скорость частицы).
) Мы обозначаем здесь обобщенный импульс той же буквой р, что и обычный импульс 1вглесто Р в 11, 116), с целью подчеркнуть, что ему отвечает тот же оператор. Обратим внимание на то, что величины )А и в, стоящие в обоих частях равенства 1111.1), как и следовало, одинаковы по своему векторному характеру: обе являются аксиальными вектораьпл. Аналогичное же равенство для электрического дипольного момента с1 1с1 = сопв$.в) противоречило бы симметрии по отношению к инверсии координат: при инверсии менялся бы относительный знак обеих частей равенства') . В нерелятивистской квантовой механике магнитное поле может рассматриваться только в качестве внешнего поля. Магнитное взаимодействие частиц друг с другом является релятивистским эффектом, и его учет требует последовательной релятивистской теории. В классической теории функция Гамильтона заряженной частицы в электромагнитном поле имеет вид 552 ДВИ2КЕНИЕ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ ГЛ ХГ гамильтониан частицы, обладающей олином, имеет вид') 12 1 2' е Й = — ~р — -А) — 1ГН+ еьз.
2пг с 1111.4) Согласно правилу коммутации (16.4) оператора импульса с любой функцией координат имеем рА — Ар = -тйс11ЕА. 1111.6) Таким образом, р и А коммутативны, если йе А = О. Это, в частности, имеет место для однородного поля, если выбрать его векторный потенциал в виде А = (112)~Нг). (111. 7) Уравнение тйдФ/д1 = ЙФ с гамильтонианом (111.4) представляет собой обобщение уравнения 1Предингера на случай наличия магнитного поля.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
