III.-Квантовая-механика (1109680), страница 105
Текст из файла (страница 105)
Используя ортонормированность функций аозт, найдем теперь 012 ~У23) = ггзэ гзмггзгззм Я (ШЗШ12 ~ 3М) (Ш1Ш23 ~ 3М) (Ш1Ш2 ~212 гп12 ) (Ш2Ш3 ~)23п123) (т) Сумма в правой части равенства берется при заданном значении М,но результат суммирования в действительности (по указанной выше причине) от М не зависит. Поэтому сумъзирование можно распространить и по значениям М, введя при этом перед суммой множитель 1/(21 + 1). Выразкая затем коэффициенты (ш1ш2~)ш) через 3)-символы согласно (106.10), получим; О 2~)23)=( — 1)"'"'"" (2у12+1)(2у23+1) ~ ' у ' ) (108.6) Связь бутсимволов с коэффициентами преобразования (108.5) позволяет легко получить некоторые полезные формулы для суммирования произведений б~-символов. Прежде всего, в силу унитарности преобразования (108.5) (и вещественности его коэффициентов), имеет место соотношение ~(2 ' + 1)(2 'и + 1) у1 22 ) 23 Л .1 пг (108 7) ) Уз У4 ) ~ ).)1 34 .) ) Далее рассмотрим три схеъзы связи трех моментов.
— с промежуточными суммами соответственно у12, )23 и у31. Коэффициенты соответствующих преобразований (108.6) связаны между собой, согласно правилу умножения матриц, соотношением 012 ~723) ()23 531) ()12 ~731). эгз 3 108 бзооимволы Подставив сюда (108.6) и изменив обозначение индексов, полу- чим ~ ~~( 1)д+зе+м(2 ) 1) (Э2 24 д6) (д4 д1 дб) ~д1 д2 дз) Э (108.8) Наконец, путем рассмотрения различных схем связи четырех моментов можно получить ') следующую формулу сложения для произведений трех 61зсимволов! 1)14-3'.11(2 + ц ~у4 Л .Й) (Л д1 дз) ~д4 дз 25) дз дз)(дб д1 дб~ (1089) (Л. С.
Вгег(епЬагп,,1. Р. Е111озз, 1963). Приведем, для справок, некоторые явные выражения для 62-символов. 62-сиътвол может быть представлен в общем случае в виде следующей суммы: ) = 1а(1132дз)са(11дбзб)А(143236)са(143533) Х (~.' ~. '2— Е (-1)=( +1)! х ! ' ' ' ! . ' ' ! 3! 22 33) (г 21 15 34) (в 24 22 зб) (в 24 35 23) Х (31+32+34+35 3) (72+33+35+36 3)((33+31+36+34 3) ~ (108. 10) где 13(аЬс)— (а+ Ь вЂ” с)!(а — Ь+ с)!( — а+ Ь+ с)!1 (аб-Ьб с-51)! а сумма берется по всем положительным целым значениям 3, при которых ни один из факториалов в знаменателе не имеет отрицательного аргумента.
В табл. 10 даны формулы 61-символов для случаев, когда один из параметров равен О, 1/2 или 1. В заключение сделаем несколько замечаний о составляемых из 3у-символов скалярах более высокого порядка. Следующим по сложности после 31-символа является скаляр, составляемый путем упрощения произведений шести 31-символов. Эти 32-сизгволы содержат 18 попарно совпадающих чисел 1, ) Си. цитированную выше книгу Здиоидга.
542 ОЛО'КЕНИЕ МОМЕНТОВ гл. х~г так что возникающий в результате скаляр зависит от 9 параметров у. Его принято называть 92-символом и определять следующим образом (Е. И'здпег, 1951) '): х /31 232 з33 ) ( з««зг« /3«) х ( )( ). гпЗ«гпзг гп33) (п««1 гпг« газ«/ (гп«2 гпгг гп32) (гп13 гпгз тпзЗ) Таблица 10 Формулы для 6/-символов а Ь с ~~ ~ ~ | в=а-~-6+с и 72ггсв ° ) < с «[ (в — 2Ь)(в — 2с+ Ц вЂ” с — — Ьт — < [(2Ь ' Ц(2Ь+ 2)2с(2с+ Ц) =-( — Ц'[ 2 2 2 < а Ь с ( сц( га) — с — — Ь вЂ” — ) (26(26+ Ц2с(2с ~- Ц) =-( — Ц'[ 2 2 2 с о Ь с 1 „[ в(в+ Ц(в — 2а — Ц(в — 2а) 1 с — 1 6 — «< ((26 — Ц26(26-~- Ц(2с — Ц2с(2с+ Ц| (=( — Ц" [ гс ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ | | 2 ~ и з а Ь с 1, [2(в+ 1НŠ— 2а)(в — 26)(в — 2с+ Ц1 Ь )[ [26(26-Ь Ц(26+ г)(гс — Цгс(гс-> Ц) = (-Ц' < а 6 с )<, [ (в — 2Ь вЂ” Ц(в — 2Ь)(в — 2с-Ь Ц(в — 2с-Ь 2)1пз 1 с — 1 Ь-~- 1< [ (2Ь+ Ц(2Ь+ 2)(2Ь+ 3)(гс — Ц2с(2с+ Ц ) ( =( — «)' [ < а Ь с<,т, 2[Ь(Ь+ Ц+ с(с т.
Ц вЂ” а(а+ Ц] с Ь < [26(26 т Ц(26-,- 2)гс(гс-Ь Ц(ге+ 2)]'~' ) По общему правилу упрощения (108.Ц надо было бы писать аргументы пз в последних трех ЗУ-символах со знаком минус и ввести под знак суммы множитель ( — Ц« 0 Ц Воспользовавшись, однако, свойством (106.6) 3/-символов н учитывая, что в данном случае, как легко сообразить, сумма г тп всех девяти чисел т равна нулю, мы придем к определению (108.1Ц. млтРичные элементы НРи сложении мОментОВ 543 3109 Эта величина может быть также представлена в виде суммы произведений трех бутсимволов; < ,711 „712 ,713 ) 721 722 723 = ~( — 1) (27 + 1) ~ .
) Х ,731 „732 дзз х ) У12 722 д32), ) 713 Уйз .1331 (108 12) 1уз~ д у231 1 д ун д12) ' В эквивалентности (108.11) и (108.12) можно убедиться, подставив в (108.12) определение (108.2) и воспользовавшись свойствами ортогональности Зу-символов. 9дтсимвол обладает высокой симметрией, следующей непосредственно из определения (108.11) и свойств симметрии Здтсимволов. Легко убедиться, что при перестановке любых его двух строк или двух столбцов 97-символ умножается на ( — 1)ь'. Кроме того, 9дтсимвол не меняется при транспонировании, т.
е. при взаимной замене строк и столбцов. Скаляры еще более высоких порядков зависят от еще большего числа параметров 71 Очевидно, что это число должно быть всегда кратно трем (Зпу-символы). Мы не будем останавливаться здесь на свойствах этих величин. Упомянем лидпь, что при каждом п ) 3 имеется более чем по одному различному не сводящемуся друг к другу типу Зпдтсимволов.
Так, имеется два различных типа 127'-символов') . 9 109. Матричные элементы при сложении моментов Рассмотрим снова систему, состояшую из двух частей (о которых будем говорить как о подсистемах 1 и 2), и пусть Дь (1) сферический тензор, характеризующий первую из них. Его матричные элементы по отношению к волновым функпиям этой же подсистемы определяются, согласно (107.6), формулой (НДдтд(Х (нДдтд) = гл г 00 =1 ( — 1)л " ' ~дг ~ (пдуд(((~~ )/)НДд). (109.1) т1 ') Более подробное изложение тоории 91-символов, а также о свойствах ЗНУ-символов см, цитированную на с. 272 книгу Эдмондса и книги: А.
И. Юцос, И. Б. Левинсон, В. В. Ваногас. Математический аппарат теории момента количества движения. — Вильнюс, 1960; Д. А. Варш лоеич, А.Н. Москалее, В. К. Херсонский. Квантовая теория углового момента.— Мз Наука, 1975. 544 ГЛ. ХН ОЛО'КЕНИЕ МОМЕНТОВ Возникает вопрос о вычислении матричных элементов этих же величин по отношению к волновым функциям системы в целом; покажем, как они могут быть выражены через те же приведенные матричные элементы, которые фигурируют в выражениях (109.1).
Состояния системы в целом определяются квантовыми числами Яутя7Мп1п2 (,7, ЛХ вЂ” величина и проекция момента всей системы). Поскольку 7„ относится к подсистеме 1, ее оператор 60 коммутирует с оператором момента подсистемы 2. Поэтому ее матрица диагональна по Х2; она диагональна также и по остальным квантовым числам пт этой подсистемы. Эти индексы Оз, пт) мы будем для краткости опускать и будем писать искомые матричные элементы в виде (~~Я,7'ЛХ'~Х~~ ) ~~Д~.ХЛХ). Согласно (107.6) их зависимость от числа ЛХ определяется формулой (НД1,7'ЛХ'~ХЕ ~п17Т,ХЛХ) = = г ( — 1)~ '" ~ М, (п1у~~УЦ ~~аД1,7).
(109.2) Для установления связи между приведенными матричными элементами в правых частях (109.1) и (109.2) пишем, по определению матричных элементов; (пь71,7 М )7„~ ~пД1,7М) = ф~ м,~„~ фумод = '~ ~ ~( 1)Я вЂ” Т2 '-М' — М т1т', х ~ м) (п1у1т1~Х ~пь71т1). 7,П ут 7 1 !л г 60 Подставив сюда (109.1),(109.2) и сравнив полученное соотношение с формулой (108.4), мы увидим, что отношение приведенных матричных элементов (в 1109.1), (109.2)) должно быть пропорционально определенному 6Х-символу. Тщательное сравнение обоих указанных соотношений приводит к следующей оконча- МАТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕН'ГЫ ПРИ ОЛО>КЕНИИ МОМЕНТОВ 545 2 109 тельной формуле: (п12~У~~УВ 9п111У) = 1 — 1)л"' " ~12~ ~"м~~ 12У+ 1)12Х+ 1)х у Р) ( ',~01,"'~~,1А ОоАз) (здесь у1 большее из у1, Я;,У РА меньшее из У, У). Аналогичная формула для приведенных матричных элементов сферического тензора, относящегося к второй подсистеме: (п2у2У021 ~9п2у2'У) ( 1) А ( / у/ (п~~2~~Уь '9'п2у2).
1109.4) Отсутствие полной симметрии между выражениями 1109.3) и 1109.4) (в показателе степени у — 1) связано с зависимостью фазы волновых функций от порядка сложения моментов. Эту разницу надо иметь в виду, если приходится вычислять матричные элементы одновременно для обеих подсистем. Далее, найдем полезную формулу для матричных элементов по отношению к волновым функциям всей системы от скалярного произведения (см, определение 1107.4)) двух сферических тензоров одинакового ранга Й, относящихся к различным подсистемам (и потому коммутирую1цих друг с другом). Согласно 1107.10) эти матричные элементы выражаются через приведенные матричные элементы каждого из тензоров (по отношению к волновым функциям системы в целом) следующим образом: (П1П2,21у2УМ~(,УА Уь )00~П1П21132 УЛ1 ) = г ~ г г Ж 00 (п121,У((УА ~5п1у1 У )(п212У 91ь 9п222 У) ,П (здесь использовано, что матрица величины, относящейся к одной из подсистем, диагональна по квантовым числам другой подсистемы).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
