III.-Квантовая-механика (1109680), страница 103
Текст из файла (страница 103)
В результате получим') ( 1)л — 3 -~- г2 +1 '~ (Зл 32 3 ) фЮ ф(2) дш = ЛтЛ та — т) П г дгшг' тг,пгг (106.8) где суммирование по тл и т2 производится с учетом условия тл +та = т. Формула (106.8) дает искомое разложение волновой функции системы по волновым функциям обеих частиц, обладающих определенными моментами 3'л и 32. Ее можно записать в виде 4 = ~~~ (тлт2~3т)л)гу,,43... т2 = т — тл. (106.9) пи юг Коэффициенты (тлт,ут) = (-1)»-эг'--,"23+1(3л " ' ) (106.10) составляют ьлатрицу преобразования от полной ортонормированной системы (23л + 1)(232 + 1) волновых функций состояний ~тлт2) к такой же систегле волновых функций состояний ~3т) (при заданных зна гениях Зл, 32).
Их называют коэффициентами векторного сложения или коэффициентами Клебига — Гордана. Обозначение символом (тлт2~3т) соответствует общему способу обозначений коэффициентов разложения одной системы функций по другой согласно (11.18). Для упрощения записи мы опустили в этом символе совпадающие в обеих системах функций квантовые числа 3Л, 32; при необходимости эти числа включаются в обозначение: (3лт132тйл323т) ) . Матрица преобразования (106.9) унитарна (см. 8 12). Поэтому коэффициенты обратного преобразования )г-гдг г(г.
ф,, = ~~ (3, тл + тз~тлт2)ф.~, ~„„(106.11) э= эг гл~ комплексно сопряжены с коэффициентами преобразования (106.9). Мы увидим ниже, что эти коэффициенты вещественны; ') При обращении времени волновые функции заменяются, согласно (60.2); л3,„„— г ( — 1)' "'М, дегко проверить, что при таком преобразовании функций Лггг .. ггг„г в правой части (106.8) таким же образом преобразуется и функция Лг в левой части.
) В литературе используется также обозначение Сг, или Сг„„, для коэффициентов Клебша — Горлана. 528 гл. Хьт СЛО'КЕНИЕ МОМЕНТОВ поэтому просто (тгт21)т) = ()т~тгт2). Согласно общим правилам квантовой механики квадраты коэффициентов разложения (106.11) определяют вероятности системе иметь те или иные значения 7, т (при заданных 71, т1 и 72, тз). Унитарность преобразования (106.9) означает, что его коэффициенты удовлетворяют определенным условиям ортогональности. Согласно формулам (12.5), (12.6) имеем ~(-т~9-)(гп 2К ')= шг газ (т1т2 ~,)т) (т1т2 ~ут) = Явное общее выражение 37-символов довольно громоздко. Оно может быть представлено в виде') ,71,72 93 5 1Ог туг — бг)И и — зг 4-уз)!( — 2з -~уг-~1г)! 1 ( )-~ х т1 т2 тз) (11+зг+уг+ Ц) х Ц1+т1))(71 — тг))(72+тз))(72 — тз))(73+тз))Оз — тз)!)Е~вх х'>'И( — 1)' " " г)ФЬ+З вЂ”,7'3 — ))У вЂ” т — з)г с х О2+гп2 — 2))Оз,)2+гп1+з))Оз А — тз+з)!) ).
(106.14) Суммирование производится по всем целым числам з; однако, поскольку факториал отрицательного числа равен со, число ') Коэффициенты разложения (106.9) были впервые вычислены Вагнером (1931). Свойства жс симметрии этих коэффиционтов и симметричное выражение (106.14) для них найдены Рака (С. Васа1г, 1942).
Наиболее прямым путем вычисления является, вероятно, прямой переход от спинорного представления фе (надлежащим образом нормированного) к представлению в виде суммы (106.4) с помощью формулы соответствея (67.6) (заметим, что вещественность коэффициента в этой формуле автоматически приводит к вещественности 31-символов). Другой вывод дан в книге Здмондса (см.
примеч. на с. 272). Из этой же книги взята приведенная ниже таблица ЗУ-символов. 530 гл. х1' СЛО'КЕНИЕ МОМЕНТОВ получаются непосредственно из (106.14). Вывод же формулы д1 22 да') 1 1)р')У -Ьу'з — у'з)'Π— 1'в-» 'Г1 — 11-'уз-ЬЫ1 '1' ( ) =(-')" ~ 0 0 О/ (2рж Ц1 х ~', (106.18) Ь вЂ” Ы'Ь вЂ” Ы и — уз)1' где 2Р = Л + Л + дз есть четное число, требует ряда дополнительных вычислений') (при нечетном 2р зтот 31-сиегвол равен нулю в силу свойства симметрии 1106.6)). В табл.
9 приведены, для справок, значения 31-символов для 12 = 1/2, 1, 3/2, 2. Для каждого уа указано минимальное число 31-символов, из которых с помощью соотношений (106.5), (106.6) можно получить остальные. Таблица 9 Формулы Зу-снмволов с 1 -ь 1/2 1 1/21~ , 111 ~ 1 — т — 112 — — 112 112/ ~ (21 -ь 1Н21 -ь 2) ~ ) См. указанную выше книгу Эдмондса. 531 6166 ЗуипимВОлы Т а б л и ц а 9 ( продолжение) у'-ш41/2 г гуг — (у -~- Зт+ Зу'2) [ 2у(21 -~ Ц(2у 4- 2)(2у + 3) [ З(у — т+ 1уУ2)(у — т+ 312)(у+ т+ ЗУ2)] 1 ,у + 2 (21 4- Ц (21 + 2)(2у + ЗН2у 4 4) тз = ЗУ2 3(у — т — 1у2) (у — т 4- 1уУ2) (у' 4- т -> 3/2) ] -[ 2у(21' 4- Ц(2у 4- 2)(2у -~ 3) [ (у — т — 1/2)(у — т+ 112)(у — т+ 312)] (2у' 4- Ц (21'-~- 2)(2у 4 3)(2у 4- 4) 3 2 тз =-0 2(Зт — у(у+ Ц] ((21 — Ц2у(21+ Ц(24+2)(2у 4-3))'У' 6(у 4 т з- Ц (у' — тп -> Ц -'ш[ 2у(2у -~ Ц (21' 4- 2)(2у 4- 3)(21 + 4)] [- 6(у' + т 4 2) (у 4- ш 4- Ц (у — т -~- 2) (у' — т -> Ц ] (21 4 «(21 -~- 2)(2у + З)(21 4- 4)(21 4- 6) у+2 упз =1 6(у — т — Ц (у — т) (у' -~- ш -~- Ц(у' -> т 4 2) ] [ (2у — Ц2у(2у -~ Ц(2у' 4- 2)(2у 4- 3) (у — т — ЦΠ— т)(у — ш + Ц(у + т+ 2)] -[ у -~- 1 2у(21' + Ц(2у + 2)(2у 4- ЗН21' + 4) [ (у — т — Ц(у' — т)(у — т+ ЦО -- т 4-2)) (2у 4- Ц(2у + 2)(21 -~ З)(2.1 + 4)(2у + Ь) 1 6(у + т -~ Ц(у' — тп) (1 4- 2т) ( (2у — Ц21(2у + Ц(2у + 2)(2у + 3)] 2 ' 2 2 — (+ ° )[ 2у(2у -~ Ц(2у' + 2)(2у 4- 3)(2у -~ 4)] (у + т + 2) Π— т + 2) (у — т + Ц ( у' — т) ] (2у+ Ц(2у+2П2у+3)(2у+4Н21+ б) 532 гл.
хг" СЛО'КЕНИЕ МОМЕНТОВ Задача Определить утловую зависимость волновых функций частицы со спином 1/2 в состояниях с заданными значениями орбитального момента 1, полного момента у и его проекции т. Р е ш е н и е. Задача решается общей формулой (106.8), в которой надо под 62 ~ понимать собственные функции орбитального момента (т.е. сферические функции К,), а под 2/~О~ — спиновую волновую функцию Х(а) (где п = Т1/2): Подставив значения Зу-символов, получим члтг/2, . Х ( / 1ь — 1,'2+ .
Х ( / 1С +Н2 21' 1,2,/ ' )/ 21 (, 2! У вЂ” т+1 111, У+го+1 1 11 Ф1 — Н2, Х( /~С вЂ” Н2Т . Х( /1С еп2 24+2 (,2,/ 21+2 (, 2/ 9 107. Матричные элементы тензоров Б 8 29 были получены формулы, определяющие зависимость матричных элементов векторной физической величины от значения проекции момента.
Эти формулы являются в действительности частным случаем общих формул, решающих такую же задачу для неприводимого (см. с. 268) тензора любого ранга') . Совокупность 2Й + 1 компонент неприводимого тензора ранга Й (Й целое число) по своим трансформационным свойствам эквивалентна совокупности 21+1 сферических функций Уьч (9 = — а,..., Й) (см. примеч. на с. 268). Это значит, что путем составления соответствующих линейных комбинаций коыпонснт тензора можно получить набор величин, преобразуюрдихся при вращениях как функции Уьч.
Совокупность таких величин, которые мы будем обозначать здесь через /ьч, назовем сферическим тензорози ранга )с. Так, вектору соответствует значение й = 1, а величины /19 связаны с компонентами вектора следующими формулами: /10 = 2а„~1В81 = ~(2/Я)(а ш зае) (107.1) (ср. (57.7)). Аналогичные формулы для тензора второго ранга ') Разработка вопросов, рассматриваемых в з 107 — 109, и болыпинство излагаемых в них результатов принадлежат Рака (1942/1943).
533 2107 МАТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ТЕНЗОРОВ имеют Вид ,60 = —.ь73/2 а.ю 1'2,ы = ~(а, ш тай,), 12,т2 = — (1/2)(а„— а„„ш 2га,„). причем атз + а„„+ а„= 0 ') . Составление тензорных произведений из двух (или болыпего числа) сфеРических тензоРов уйг „~й,е, пРоисхоДит в соответствии с правилами сложения моментов, причем Й1., Й2 играют формально роль «моментов», соответствующих этим тензорам. Таким образом, из двух сферических тепзоров рангов й1 и й2 можно образовать сферические тензоры рангов К = 1с1 + + Й2,...
~ ~ Й1 — Й2 ~ ПО фОРМУЛНМ (Б,аь,)кг7 = ~1,~ЧяМЮБ„,аь„, = шчз = (-1)" -" "с1 72К+ 1 ~ ~~1 ~2, ) у„„я„„(107.3) (ср. 1106.9)). Скалярное произведение двух сферических тензоров одинакового ранга Й принято, однако, определять как 17ь8ь)оо = ~( — 1) ~К~И,-е (107 4) что отличается от определения по формуле 1107.3) с К = Я = 0 множителем т72й+ 1 (ср. (106.2))') . Это определение можно представить также в виде (Б8ь)оо = ~, 1ь,аьч, если заметить, что комплексное сопряжение сферического тензора производится по правилу й,=(-1)" 'Л;,— й (ср.
128.9) ') . )Подразумевается, что комплексность величин Уьз связана только с переходом к сферическим координатам, т. е. исходные декартовы компоненты тензора вещественны. ) Если А и  — два вектора, соответствующих по формулам (107.1) сферическим тензорам ум и им, то (Угяг)ее = АВ. з) Повторим здесь замечание, сделанное выше в связи с формулой 1100.8): при таком правиле комплексное сопряжение тензоров рангов Йг и йз в правой части равенства (107.3) приводит к такому же сопряжению тензора ранга К в его левой части.
534 СЛО'КЕНИЕ МОМЕНТОВ ГЛ. ХГ" Представление физических величин в виде сферических тензоров в особенности удобно при вычислении их матричных элементов, так как позволяет воспользоваться для этой цели результатами теории сложения моментов. По определению матричных элементов, имеем 1ьеу> = ~ (и 3 т ~9' ь ~тут)>ра (107. 5) и'р ю' где >р„д волновые функции стационарных состояний системы, характеризуемых величиной ее момента >, его проекцией т и набором остальных квантовых чисел и.
По своим трансформационным свойствам функции в правой и левой частях равенства (107.5)) соответствуя>т функциям в правой и левой частях равенства (106.11). Отсюда сразу следуют правила отбора. Матричные элементы компонент ~ьч неприводимого тензора ранга к отличны от нуля лишь для переходов ~т — > > т, удовлетворяющих «правилу сложения моментова 2' = > + 1с; при этом числа 2', у, к должны удовлетворять «правилу треугольника> (т. е. могут измерять стороны замкнутого треугольника), а т = т+ >7. В частности, диагональные матричные элементы могут быть отличны от нуля только при условии 2> ) к. Далее, из той же трансформационной аналогии следует, что коэффициенты в сумме (107.5) должны быть пропорциональны коэффициентам в (106.11) (теорема Вагнера-Эккарта).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
