III.-Квантовая-механика (1109680), страница 104
Текст из файла (страница 104)
Этим определяется зависимость коэффициентов от чисел т, т', в соответствии с чем представим матричные элементы в виде > (и'2«т'~)ьч~п2т) = г~( — 1)> "", (и',1'~~~ь~~пЯ, (107.6) где у' „большее из чисел > и уч; (пУ97ь((пЯ -. величины, не зависящие от т, т', д', их называют приведенными матричными элементами. Эта формула решает поставленный вопрос об определении зависимости матричных элементов от проекций моментов. Эта зависимость оказывается полностью связанной со свойствами симметрии по отношению к группе вращений, между тем как зависимость от остальных квантовых чисел определяется уже физической природой самих величин лье ') .
) Из полученных результатов, в частности, следуют указанные в з 29 правила отбора для матричных элементов вектора и формулы (29.7) — (29.9) для них. 535 з 107 МАТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ТЕНЗОРОВ Операторы )ье связаны друг с другом соотношениями У;, = (-1)'-'У.,, (107. 7) Поэтому для их матричных элементов имеет место равенство (и')чш'~~ь ~п~т)* = ( — 1) е(п)т()ь ~п'~чт'). (107.8) Подставив сюда (107.6) и воспользовавшись свойствами 37-символов (106.5), (106.6), получим для приведенных матричных элементов соотнотпение еэрмитовостиь ') (п 7 ))Д((п)) = (п)й7ьйп 7 ) . (107.
9) Матричные элементы скаляра (107.4) диагональны по 7' и ш. Согласно правилу умножения матриц имеем (и'1'ш~Цьдь)ос~из ш) = ( — 1)" ч ~~» (п'~то~~~, )ил)ншн)(и"~лт"~йь е~п~т), Ч и'йлсва Подставив сюда выражения (107.6) и произведя суммирование по о и тл с помощью соотношения ортогональности 3)тсимволов (106.12), получим следующую формулу; (и',7т((~дР,)00)п)ш) = ~~1 (и'7//~Е)(пл)ч')(ил)" ((81))пЯ.
о ау' (107.10) Аналогичным образом легко получить следующие формулы суммирования квадратов матричных элементов: ~ )(п'у'ш ~~Бе путЯ = . )(пУЦА((п))( (107.11) чт' )(и',7'ш'/,)ь, /п)т) (~ = )(пЯ )д()и)) (~. (107.12) В первой из них суммирование производится по д и ш' при заданном ш, а во второй — по ш и т' при заданном о (причем всегда ти = т + о). Рассмотрим, со справочными целями, случай, когда величинами ~ье являются сами шаровые функции УЕФ и дадим выражения их матричных элементов для переходов между состояниями ) Фазовый множитель в определении (107.б) выбран именно тае, чтобы обеспечить это равенство. гл. хг« сложение моментов одной частицы с целочисленными орбитальными моментами 11 и 12, т. е.
интегралов (11гп1%тп~12гп2) = КтшгКтпКгптг ~1о (107.13) Помимо правила отбора, соответствующего правилу сложения моментов (1+ 12 = 11), для этих матричных элементов имеет место также правило, согласно которому сумма 1+ 11+ 12 должна быть четным числом. Оно связано с сохранением четности, в силу которого произведение чстностей ( — 1)1гг1г обоих состояний должно совпадать с четностью ( — 1)1 рассматриваемой физической величины (см. 230). Матричные элементы (107.13) являются частным случаем более общего интеграла, который будет вычислен в 2 110 (см. примеч.
на с. 547). Они даются формулой (11т1/11 !12т2) = ( — 1) "г " ' ( — т т т )7(0 0 0) х ! (21-~. 1)(21т -~- 1)(21г -~- 1) г 1/2 х В частности, при т1 = т2 = т = 0 находим значение интеграла от произведения трех полиномов Лежандра я 108. 61-символы Мы определили в 3 106 31-символы как коэффициенты в сумме (106.4), представляющей собой волновую функцию системы трех частиц с равным нулю полным моментом.
С точки зрения трансформационных свойств по отношению к вращениям эта сумма является скаляром. Отсюда следует, что набор 31-символов с заданными значениями 11, 12, 12 (и всеми возможными т1, т2, тз) можно рассматривать как совокупность величин, преобразующихся при вращениях по закону, контраградиентному закону преобразования произведений от т~г1гтпгфгг г так, чтобы обеспечить инварпантность всей суммы.
В связи с такой точкой зрения можно поставить вопрос о построении скаляра, составленного из одних только 31-символов. Такой скаляр должен зависеть только от чисел 1, но не от 537 3108 63-символы чисел т, меняющихся при вращениях. Другими словами, он должен выражаться в виде сумм по всем числам т.
Каждое такое суммирование состоит в «упрощении» произведения двух 32-символов по правилу 1108. 1) «П асср. способ составления скаляра 1106.2)). Поскольку в каждом «упрощении ' фигурирует пара чисел т, для составления полного скаляра надо рассъ|атривать произведения четного числа 32-символов. Упрощение произведения двух 32-символов приводит, в силу свойства их ортогональности, к тривиальному результату: (Ш1 Ш2 Ш3) ( — Ш1 — Ш2 — Ш3) т1т2»13 2 ( 1)11«22«33 — т1 — тз — тз 3~ 3 / 21 32 13 1 (т1 т2 тз) п11т2тз 1здесь использовано равенство т1+ т2 + тз = 0 и форзлулы 1106.6) и 1106.12)). Поэтому наименьшее число сомножителей, необходимое для получения нетривиального скаляра, равно четырем.
В каждом 32-символе три числа 2 составляют геометрически замкнутый треугольник. Поскольку каждое число 2 должно фигурировать, при «упрощении», в двух Зз-символах, то ясно, что при составлении скаляра из произведений четырех 32-символов имеется 6 чисел у, которые геометрически должны изображаться длинами ребер неправильного тетраэдра 1рис. 45); каждому из 32-символов соответствует одна из его граней.
В определении искомого скаляра принято определенное условие в отношении произведения процесса упрощения, выражаемое следующей формулой: ('~ " ")= ~~-' ' (-'-' -'-' 3)' (П11 -тз П26) (П24 т2 — те) (-т4 тз тз) ( ) Суммирование производится здесь по всем возможным значениям всех чисел ш; поскольку, однако, сумма трех т в каждом Зу'-символе должна быть равна нулю, фактически лишь 538 СЛО'КЕНИЕ МОМЕНТОВ гл. хп' Рис. 45 1.... 1 д1 (д2+дз+дз 26) (дЗ+Уб+У2 дз) дз дз)7 2 2 (108 3) 24 — (дз+25+дб — уз) — (дз+де+дз — дз) (Т. Ледде, 1959)') . Укажем полезное соотношение между 62- и Зд-символами, которое можно получить с помощью определения (108.2): ( 1)74тзз-~-де — ~п4 — тз — те / 71 35 76 1 / 34 22 26 --- / )/ (7П1 — 7П5 Ш6) (7П4 7П2 — Ш6) ИЫВ7зте ( — Ш4 7П5 Ш3) (ГП1 7П2 Ш3) ~34 35 361 Выражение, суммируемос в левой части равенства, отличается от суммы в (108.2), отсутствием одного множителя (31-символа).
Можно сказать поэтому, что сумма в (108.4) изображается тетраэдром (рис. 45) без одной из его граней; этим определяется отличие суммы от скаляра. Другими словами, по сво- ') В литературе используется также обозначение (у Мзуы 'зу ) = (- )"+"+""'(~,' ' з). ) Если представить себе четырехгранник рис. 45 как правильный тетраэдр, то 24 эквивалентные перестановки чисел 4 могут быть получены как результат применения 24 преобразований симметрии (поворотов и отражений) тетраздра.
) См. примеч. на с. 529. три из шести ш независимы. Величины, определенные формулой (108.2), называют 6д'-символами или козффициенталзи Рака' ) . Из определения (108.2), с учетом свойств симметрии 31-символов, легко убедиться в том, что бд'-символ не меняется при любой перестановке трех его столбцов, а в каждой паре столбцов можно переставить верхнее и нижнее числа. В силу этих свойств симметрии ~з последовательность чисел д1...уб в бд-символе можно представить в 24 эквивалентных видах') . уз,' Кроме того, бд-символы обладают еще одним, менее очевидным, свойством симметрии, устанавливающим равенство между символами с различными наборами чисел дц 539 з 108 6Х-символы им трансформационным свойствам она соответствует одному ЗХ-символу стоящему в правой части равенства (108.4), которому она должна быть пропорциональна.
Коэффициент же пропорциональности (6Х-символ в правой части равенства) легко получить, умножив обе части равенства на (т1 пгг тз) и просуммировав по оставшимся числам т1, тг, тз. 6Х-символы появляются естественным образом при рассмотрении следующего вопроса, связанного со сложением трех моментов. Пусть три момента Х1, гг, гз складываются в результирующий момент Х. Заданием момента У (и его проекции ЛХ) состояние системы, однако, еще не определяется однозначным образом; оно зависит и от способа сложения моментов (или, как говорят, от схемы их связи).
Рассмотрим, например, такие две схемы связи: 1) сначала моменты 11 и гг складываются в суммарный момент Х1г, а затем Х1г и гз склаДываютсЯ в окончательный момент,У; 2) моменты гг и гз склаДываютсЯ в Хгз, а затем ггз и 11 в,У. ПеРвой схеме соответствуют состояния, в которых (наряду с Хы Хг Хз, ,У, ЛХ) имеет определенное значение величина Х1г, их волновые функции обозначим через ф.„зм (опуская, для краткости, по- втоРЯющиесЯ индексы 11.гггз). Аналогично, волновые фУнкции второй схемы связи обозначим через ф.„зм В обоих случаях значения «промежуточного» момента (Хгг или ггз), вообще говоря, неоднозначны, так что мы имеем (при заданных У, ЛХ) два различных набора состояний, различающихся значениями Х1г или Х1з.
Согласно общим правилам функции этих двух наборов связаны друг с другом определенным унитарным преобра- зованием 'Фг„зм = ~ (31гЪз)'Фл,.хм. (108. 5) Из физических соображений очевидно, что коэффициенты этого преобразования не зависят от числа ЛХ. — они не могут зависеть от ориентации всей системы в пространстве. Таким образом, они зависят лишь от значений шести моментов Хз з1г Хпгз Х, но не от их пРоекЦий, .т. е. ЯвлЯютсЯ скалярными (в указанном выше смысле) величинами.
Фактическое вычисление этих коэффициентов легко произвести следующим образом. 540 гл. хг« сложение моментов Путем двукратного применения формулы (106.9) находим г)гз, )з4 = ~ (Ш1Ш23~ЯМ) фн„п,г)гг. (т) = 'УУ~(Ш1Ш23~,БАЛХ)(Ш2Ш3У23Ш23)Фэзтз)3)гтгАзтз~ (т) 242зг 1м = 4~ (шзш12~.1Л )(шзш2~1)12ш12)гг4зтз Р)гтггзгэзтз (т) )знак (ш) под знаком суммы означает, что суммирование производится по всем входящим в выражение числам ш1, ш2,... ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
