III.-Квантовая-механика (1109680), страница 107
Текст из файла (страница 107)
Волновые функции, на которые действует гамильтониан в этом уравнении, -- симметричные спиноры ранга 2ж Волновые функции частицы в электромагнитном поле обладают неоднозначностью, связанной с неоднозначностью потенциалов поля. Как известно (см. П, 218), последние определены лишь с точностью до калибровочного преобразования А — гА+~~, ~р — «~р — — —, 1 ду (111.8) с дг' где у--- произвольная функция координат и времени. Такое преобразование не отражается на значениях напряженностей поля. ЯснО НОэтому, чтО Ое!О не ДОлткнО существсннО измснять также и решоний волнового уравнения; в частности, должен оставаться неизменным квадрат ~Ф~2. Действительно легко убедиться в том, что мы вернемся к исходному уравнению, если одновременно с заменой(111.8) в гамильтониане произвести также и замену волновой функции согласно Ф вЂ” у Фехр( — 1). 1111.9) ') Обозначение магнитного поля и гамильтониана одинаковой буквой не может привести к недоразумениям: гамильтониан снабжен Гпляпкой над буквой.
При раскрытии квадрата (р — (е,1с)А)2 надо иметь в виду, что оператор р, вообще говоря, не коммутативсн с вектором А, являющимся функцией координат. Поэтому надо писать 2 д'= 1 ра — е (рА+Ар)+,А2 — рвН+е~р. (1115) 2т 2гпс 2гпс г 553 1 112 уРАВнение шРединГеРА В мАГнитнОм пОле е ту = р — -А, В (111.10) в точности аналогичному классическому. Для операторов ком- понент скорости имеют место правила коммутации . ЕЕ . еа (п„иу1 = г, Н,, (пю и,) = 4, Н,, (Ш.П) Я,0,~=4', Н„, тп с которые легко проверить непосредственным вычислением. А4ы видим, что в магнитном поле операторы трех компонент скорости частицы (заряженной) оказываются некоммутативными. Это значит, что частица не может иметь одновременно определенных значений скорости по всем трем направлениям.
При движении в магнитном поле симметрия по отношению к обращению времени имеет место лишь при условии изменения знака поля Н (и векторного потенциала А). Это значит (см. 218 и 60), что уравнение Шредингера Йф = Еф должно сохранить свой вид при переходе к комплексно сопряженным величинам и изменении знака Н. Для всех членов в гамильтониане (111.4), за исклк> шнием члена — ЕН, это непосредственно очевидно. Член же — ВН~ в уравнении 111редннгера переходит при указанном преобразовании в ивН4*, и на первый взгляд нарушает требуемую инвариантность, поскольку оператор вв нс совпадает с — в. Следует, однако, учесть, что волновая функция есть в действительности контрвариантный спинор 4 "", который при комплексном сопряжении переходит в ковариантный ф ""'* (см.
260). Контрвариантным же является спинор д* Находя с помощью определений (57.4), (57.5) компоненты (ЕНф)* и выражая их через ф*„, убеждаемся в том, что операция обращения времени приводит к уравнению Шредингера для компонент фх„того же вида, который имело исходное уравнение для компонент фх'" . Эта неоднозначнсх:ть волновой функции не сказывается ни на какой имеющей физический смысл величине (в определение которой нс входят в явном виде потенциалы). В классической механике обобщенный импульс частицы связан с се скоростью соотношением ту = р — еА/с.
Для того чтобы найти оператор у в квантовой механике, надо прокоммутировать вектор г с гамильтонианом. Простое вычисление приводит к результату 554 движение В мАГнитнОм пОле ГЛ ХУ 3 112. Движение в однородном магнитном поле Определим уровни энергии частицы в постоянном однородном магнитном поле 1Л.Д.
Ландау, 1930). Векторный потенциал однородного поля удобно выбрать здесь не в виде 1111.7), а в следующей форме: А, = — Ну, 1112.1) Ае — — А,=О 1ось е выбрана в направлении поля). Тогда гамильтониан при- обретает вид 1 ( еН А р» р, и »» Й = — (р + — у) + — + — ' — — Е,Н. 2т ~ с 2»н 2т е 1112.2) Т1режде всего замечаем, что оператор е, коммутативен с гамильтонианом 1поскольку последний не содержит операторов других компонент спина).
Это значит, что е-проекция спина сохраняется и потому в, можно заменить собственным значением э, = и. После этого спиновая зависимость волновой функции становится несущественной и ф в уравнении Шредингера можно понимать как обычную координатную функцию. Для этой функции имеем уравнение «Н вЂ” (р, + — у) +р +р, Г) — ДГГН»~т= Еф. (112.3) »р = ехр~ — 1р х+р»е)]Х(у).
1112.4) Собственные зна Гения р и р, пробегают все значения от — оо до оо. Поскольку А, = О, то г-компонента обобщенного импульса совпадает с компонентой обычного импульса п»н,. Таким образом, скорость частицы в направлении поля может иметь произвольное значение; можно сказать, что движение вдоль поля «не квантуется», Подставив 1112.4) в 1112.3), получим следующее уравнение для функции ~~(у); Ж+»~Е+Н(ын1ууе)~ЕО(1125) л 2т~/ да р»1 т 2 2 ( Гае»ильтониан этого уравнения не содержит явно координат х и г.
Поэтому с ним коммутативны также и операторы р, и р, (дифференцирования по х и е), т. е. х- и е-компоненты обобщенного импульса сохраняются. Соответственно этому ищем ф в виде 2 112 ДВИ1КЕНИЬ В ОДНОРОДНОМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ где введены обозна ~ения ув = — ср,/еН и ~е~Н а1Н = (112.6) 1ПС Уравнение (112.5) по форме совпадает с уравнением Шрредигера (23.6) для линейного осциллятора, колеблющегося с частотой олн. Поэтому мы можем сразу заключить, что выражение в круглых скобках в (112,5), играюп1ее роль энергии осциллятора, может принимать значения (и + 1/2) 11а1н, где и = О, 1, 2,...
Таким образом, получаем следующее выражение для уровней энергии частицы в однородном магнитном поле; 11 рп Е = (и+ — )Ь 1н+ — ' — — Н 2) 2т о (112. 7) Первый член в этом выражении дает дискретные значения энергии, отвечающие движению в плоскости, перпендикуляр- ной к полю; их называют уровнями Ландау. Для электрона р/я = — ~е~б/гис, и формула (112.7) принимает вид Е = (и + — + т)Ьлн + =. 1 р~ 2 2т (112. 8) Собственные функции 1га(у), отвечающие уровням энергии (112.7), даются формулой (23.12) с соответствующим изменением обозначений (ан = Ауй~тын) „(у) =,, „, ехр( У-Уо )Н (У вЂ” У") (1129) 1 ) Действительно, для классического движения по окружности радиуса сти*7еН (с1 — проекция скорости на плоскость ху, см.
11, 2 21) имеем уо = — ср /ен = — (ставен)и -~- у. Иэ этого выражения очевидно, что у есть координата центра окружности. Другой координатой будет хо = (ст/еН) со т х = сро/еН т х. В классической механике движение частиц в плоскости, перпендикулярной к полю Н (плоскость ху), происходит по окружности с неподвижным центром.
Сохраняющаяся в квантовом случае величина уо соответствует классической у-координате центра окружности. Наряду с ней сохраняется также величина хе = (ору/еН) + х (легко убедиться в том, что ее оператор коммутативен с гамильтонианом (112.2)). Эта величина соответствует классической амкоординате центра окружности ') . 556 ДВИ2КЕНИЕ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ ГЛ Х" еНЯ Ь еНИ 2хбс 2х6 4х»6»с Р» = 2 2 Р» (112.10) Для электрона имеет место еще дополнительное вырождение: уровни энергии (112.8) совпадают для состояний с квантовыми числами и, и = 17'2 и и + 1, а = — 1/2. Задачи 1.
Найти волновые функции электрона в однородном магнитном поле в состояниях, в которых он обладает определенными значениями импульса и момента вдоль направления поля. Р е ш е н и е. В цилиндрических координатах Р, 22, » с осью 2 вдоль направления поля векторный потенциал в калибровке (111.7) имеет компоненты А„= Нр/2, А, =- А„= 0 и уравнение Шредингера ) 62 ~1 д / др''2 д~ф 1 д~2)2) 26ь2~ ды Мь»~~ и, ~-.е~ 1Ц 2М ~Р дР ~, дР) д»2 Р д22~~ 2 д22 8 Ищем решение в виде е'~" й = *"-*'"Н(Р) ъ'2я и для радиальной функции получаем уравнение Р Мын 2 6 »иш ~ л-.о. 2М 1, Р Р» ) ~ 2М 8 2 ') Заряд электрона пишем как е =- — ~е~, а его массу обозначаем здесь через М в отличие от момента т.
Не существенный для этой задачи член со спином частицы опускаем. Однако операторы хс и ус не коммутативны друг с другом, так что координаты хс и ус нс могут иметь одновременно определенных значений. Поскольку (112.7) не содержит величины р», пробегающей непрерывный ряд значений, уровни энергии вырождены с непрерывной кратностью. Кратность вырождения, однако, становится конечной, если движение в плоскости ху ограничено большой, но конечной площадью Я = Ь ьш Число различных (теперь дискретных) значений р, в интервале Ьр равно (Ь,/2пб)ЬР .
Допустимы все значения р, для которых центр орбиты находится внутри о (мы пренебрегаем радиусом орбиты по сравнению с болыпим Ье). Из условий О ( ув ( Ье имеем Ьр, еНЬР/с. Следовательно, число состояний (для заданных и и р,) есть сНО/2п6с. Если область движения ограничена также и вдоль оси е (длиной Ь,), то число возможных значений р, в интервале Ьр, есть (1.,)2ЛЦ22р, и число состояний в этом интервале есть 558 ДВИ2КЕНИЕ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ ГЛ ХЧ где е =- Š— 5«лн)2, П(2) = /77(',~~ 4 Р ~ргее(Р)рпр е (а ш — снова 22асса частицы). Это уравнение по форме совпадает с уравнением шредингера для одномерного движения в потенциальной яме Цэ), причем е — энергия этого движения.
Поэтому можно просто воспользоваться результатом задачи 1 к з 45, согласно которому дискретный уровень энергии 2 2 57(2) «12 / 77(,«Г22 + р2)Ко(р)р«(р«12 (4) 252,/ 252,/ — о Волновая функция 77ее(р) затухает на расстояниях р ал. Если лгагнитное поле настолько слабо, что ан» а, то интеграл по 21р определяется областью р < а, в которой можно положить Нее(р) — йее(0) = 1/ан.
Тогда е = —, 2 (/ 77(Г) «21') (5) («11« = 2хр21Р212 -э 4лгз «1г). В обратном случае сильного магнитного поля, когда ан «а, интеграл в (4) определяется областью р < ал, в которой можно положить 57(~~рз+22) 57(2). Тогда интеграл по «1р сводится к нормировочному интегралу функции Вес и обращается в 1, так что 2т е = — — 1 Цз) «12 52 / е (6) В обоих случаях оценка интегралов показывает, что е « 5«эн. 3. Определить уровни энергии атома водорода в магнитном поле настолько сильном, что ан «ов, где ав —. боровский радиус (11.,7. Е11«о10 71. Ьои4оп, 1960). Р е ш е н и е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
