III.-Квантовая-механика (1109680), страница 108
Текст из файла (страница 108)
При поставленном условии, 52лн» те 225~, влияние кулонова поля ядра на движение электрона в поперечной к Н плоскости можно рассматривать как малое возмущение. Мы возвращаемся поэтому к рассмотренной в задаче 2 ситуации, и можно применить уравнение (3), причелг (7) о Написав в атом выражении радиальную функцию 77ее, мы ограничиваемся ниже уровнями энергии продольного движения, относящимися к нулевому уровню Ландау (Б»н 222) поперечного движения. Волновая функция основного состояния, т е(2), простирается на расстояния ф < ав, медленно меняясь на их протяжении (не имея нулей, она не обращается в нуль при 2 =- О). Поэтому для основного уровня выполняются условия, использованные в решении задачи 1 5 45, и можно воспользоваться основанной на этом решении формулой (6).
При этом логарифмически расходящийся интеграл «обрезается» сверху на расстояниях 2 ав, а внизу — на расстояниях ~2~ ал (где ~2~ р и замена А7Р2+ 22 на ~2~ в (7) не 559 бпЗ АТОМ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ допустима). В результате находим 2те г ав тие г 62Н ЕŠ— — 2 П вЂ” = — П 62 ан 262 то~с,'е~г (8) г 2т 22 дг (, 112,| (9) совпадающему по форме с уравнением для радиальных волновых функций э-состояний в трехмерной кулоновой задаче. Поэтому искомые уровни да- ются формулой (Зб.10) Е = — 2 2 (10) причем и = 1,2, 3,... Это выражение тоже имеет лишь логарифмическую точность — следуюп1ий поправочный член был бы мал по сравнению с основным литпь в отношении 1/ 1п(ав)ан).
Уравнение (9) определяет волновую функций лишь при г > 0; она может быть продолжена в область г ( 0 как т( — ) = т(г) или Х(-г) = —.Т(л). Соответственно этому, в рассмотренном приближении уровни (10) двукратно вырождены. Это вырождение, однако, снимается в высших приближениях по ант'ав 8 113.
Атом в магнитном поле Рассмотрим атом, находящийся в однородном магнитном поле Н. Его гамильтониан Й = — 2 ~р + — А(г )~ + 57+ — НЯ, (113.1) а где суммирование производится по всем электронам (заряд электрона написан как — ~е~); (т' энергия взаимодействия электронов с ядром и друг с другом: й = ~,э, оператор полного (электронного) спина атома.
Если векторный потенциал поля выбран в виде (111.7), то как уже было отмечено, оператор р коммутативен с А. Учитывая, это обстоятельство при раскрытии квадрата в (113.1) и обозначив через Йе гамильтониан атома в отсутствие поля, Эта формула имеет, как говорят, логарифмическую точность: предполагается, что не только само отношение авттан, но и его логарифм велики; при этом числовой множитель в аргументе логарифма остается неопределенным. Возбужденные состояния дискретного спектра получаются как решения уравнения Шредингера (3) с полем 17(2) — — е~/2 (получающимся из (7) при г ав лт р).
Но это уравнение подстановкой т = 222(г) приводится к виду 560 ГЛ ХЕ ДВИ7КЕНИЕ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ находим 2 277 = НС+ ~ Аара+ ' г ~~ Аа+ ~е~~™ гле 2тс тс а а Подставив сюда А из (111.7), получим Й = Йс+ ' Н 2 [г,р,]+ ', ~~7 [Нг,]2+ — НЙ. Но векторное произведение [г,р,] есть оператор орбитального момента электрона, а суммирование по всем электронам дает оператор 72А полного орбитального момента атома. Таким образом, г Я = Но+1гв[В+28)Н+, ~~7 [Нг ] (113.2) а (рн магнстон Бора). Оператор 77аг — 7АВ(Ь + 2В) (11 3.3) можно рассматривать как оператор «собственного» магнитного момента атома, которым он обладает в отсутствие поля.
Внешнее магнитное поле расщепляет атомные уровни, снимая вырождение по направлениям полного момента (эффект Зеемана). Определим энергию этого расщепления для атомных уровней, характеризующихся определенными значениями квантовых чисел 7, А, Я (т. с, предполагая для уровней случай АЯ-связи см. 272). Будем считать магнитное поле настолько слабым, что 1«ВН мало по сравнению с расстояниял|и между уровнями энергии атома, в том числе по сравнению с интервалами тонкой структуры уровней.
Тогда второй и третий члены в [113.2) можно рассматривать как возмущение, причем невозмущенными уровнями являются отдельные компоненты мультиплетов. В первом приближении третьим членом, квадратичным по полю, можно пренебречь по сравнению с линейным вторым членом.
В этом приближении энергия расщепления ЬЕ определяется средними значениями возмущения в состояниях (невозмущенных), отличающихся значениями проекции полного момента на направление поля. Выбрав это направление в качестве оси е, имеем АЕ = ГАВН[7 + 25 ) = РВН(,7 + Я ) [113.4) Среднее значение 7, совпадает просто с заданным собственным значениелГ,У, = ЛХ7. СРеДнее же значение ог можно найти следующим образом с помощью «поэтапного» усреднения (ср. з 72).
6П3 АТОМ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ Усредним сначала оператор Й по состоянию атома с заданными значениями Я, Ь и Л, но не ЛХу. Усредненный таким образом оператор Й может быть «направлена лишь вдоль Л единственного сохраняющегося ввектора», характеризующего свободный атом. Поэтому можно написать Б = сопэ1 Л. В таком виде, однако, это равенство имеет лишь условный смысл, поскольку три компоненты вектора Л не могут иметь одновременно определенных значений.
Буквальный же смысл имеет его г-проекция 3, = сопвФ .7, = сопэФ ЛХу и равенство ВЛ = сопвФ Л~ = сопв1 О7(,7 + 1), получающиеся умножением обеих его частей на Л. Внеся сохраняющийся вектор Л под знак среднего, пишем ВЛ = ОЛ. Среднее же значение ЯЛ совпадает с собственным значением ЯЛ = — (Л(Л + 1) — 7 (7 + 1) + Я(Б + 1)), которому оно равно в состоянии с определенными значениями м', Я~, Л~ (ср. (31.4)).
Определив сопэ1 из второго равенства и подставив в первое, имеем, таким образом, (113.5) Собрав полученные выражения и подставив в (113А), находим следующее окончательное выражение для энергии расщепления: 73Е = 7гнаМуН, (113.6) где 3. =1+ 3(У-~ Ц вЂ” б(7,-~1)-Г Я(Я-> Ц ( ) 21(7 т 1) есть так называемый множитель г7анде или гиромагнитный множитель. Отметим, что 3 = 1, если спин отсутствует (Я = О, так что,7 = 7), и д = 2, если 7 = О (так что .7 = Я) ') . ') Расщепление, описывасмоо общей формулой (113.6), (113.7), иногда называют аномальным эффектом Зеемана. Это неудачное название возникло исторически в связи стем,что до открытия спина электрона считался нормальным эффект, описываемый формулой (113.6) с я = — 1.
562 движение В мАГнитнОм пОле ГЛ ХЭ" Й = Йо — 1лн = Йо — Глан. Применив теперь формулу (11.16) (с полем Н в качестве пара- метра Л), найдем, что среднее значение магнитного момента для Р дн' (113ь8) где ХхŠ— — сдвиг уровня энергии данного состояния атома. Подставив сюда (113.6), мы видим, что атом в состоянии с определенным значением ЛХу проекции момента на некоторое направление з обладает средним магнитным моментом в том же направлении: Р, = — 7лвКМу (1 13.9) Если атом не обладает ни спином, ни орбитальным моментом 1о = Х = 0), то второй член в 1113.2) не дает смещения уровня ни в первом, ни в более высоких приближениях (так как все матричные элементы от 1 и Я исчезают).
Поэтому весь эффект связан в этом случае с третьим членом в (113.2) и в первом приближении теории возмущений смещение уровня равно среднему значению ХХЕ = зл ~Нга]т. (11 3.10) ' ) Рассуэкдения, примененные в этой связи в з 7о к электрическому случаю, для магнитного поля не годятся. Дело в том, что Н вЂ” аксиальный вектор и потому меняет знак при отражении в плоскости, проходящей через его направление. Поэтому состояния, получающиеся друг из друга в результате этой операции, относятся по существу к атому в различных полях.
Формула (113.6) дает различные значения энергии для всех 21+ 1 значений ЛХу = — Х, — 1+ 1,..., 7. Другими словами, магнитное поле полностью снимает вырождение уровней по направлениям момента в противоположность электрическому полю, оставлявгпелиу нерасщепленными уровни с ЛХл = ~(ЛХу( Я 76) ') . Отметим, однако, что линейное расщепление, определяемое формулой (113.6), отсутствует, если я = 0 (что возможно и при ,У ~ О, например, для состояния Х7777). Мы видели в 3 76, что существует связь между сдвигом уровня энергии атома в электрическом поле и его средним электрическим дипольным моментом.
Аналогичная связь существует и в магнитном случае. Потенциальная энергия системы зарядов в классической теории дается выражением — НН, где и-- магнитный момент системы. В квантовой теории она заменяется соответствующим оператором, так что гамильтониан системы АТОМ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ Написав ~Нг )~ = Н2Е2 гйп й', где д угол между г, и Н, и усреднив по направлениям г, получим; гйп О = 1 — сов2 й = 2/3 (волновая функция состояния с ь = Б = 0 сферически-симметрична и потому усреднение по направлениям производится независимо от усреднения по расстояниям та).
Таким образом, 2 ЬЕ =,Нв ~ т2. (ПЗ.П) 12тсэ а Магнитный момент, вычисленный по формуле (113.8), будет теперь пропорционален величине поля (атома с Ь = Я = 0 в отсутствие поля магнитным моментом, конечно, не обладает). Написав его в виде ТН, мы можем рассматривать коэффициент т как магнитную восприим гивость атома. Для нее получим следующую формулу Ланжевека (Р.
Бапуеот, 1905): (113. 12) а Эта величина отрицательна, т. е. атом диамагнитен') . Коли же,7 = О, но Б = Б ф О, то линейное по полю смещение уровня тоже отсутствует, но квадратичный эффект второго приближения от возмущения — 1са,Н превышает эффект (113.11)'). Это связано с тем, что, согласно общей формуле (38.10), поправка к собственному значению энергии во втором приближении определяется суммой выражений, в знаменателе которых стоят разности невозмущенных уровней энергии в данном случао интервалы тонкой структуры уровня, являющиеся малыми величинами. В 238 было отмечено, что поправка второго приближения к нормальному уровню всегда отрицательна. Поэтому магнитный момент в нормальном состоянии будет величиной положительной, т.е. атом, находящийся в нормальном состоянии с,7 = О, Б = Я ф О,парамагнитен (Х Н.пап Бес/с, 1928).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
