III.-Квантовая-механика (1109680), страница 110
Текст из файла (страница 110)
= — -"Нв., а (114.2) 1 ) Эти рассуждения можно применить также и к случаю, когда какая-либо частица (в том числе и заряженная) движется в неоднородном магнитном поле, причем ее движение можно считать квазиклвссичсским. Тогда магнитное поле, меняющееся по мере передвижения частицы вдоль ее траектории, можно рассматривать просто как функцию времени и применять к изменению спиновой волновой функции те же уравнения. Рассмотрим электрически нейтральную частипу, обладающую магнитным моментом и находящуюся в однородном, но переменном (во времени) магнитном поле.
Речь может идти как об элементарной (напригиер, нейтрон), так и о сложной (атоег) частице. Магнитное поле предполагается настолько слабым,что магнитная энергия частицы в поле мала по сравнению с интервалами между ее уровнями энергии. Тогда можно рассматривать движение частицы как целого при заданном ее внутреннем состоянии.
Пусть в есть оператор есобственногоь момента частицы спина для элементарной частицы или полного момента Л для атома. Оператор магнитного момента представим в виде (111.1). Гамильтониан для движения нейтральной частицы как целого записывается в форме 5б9 в 114 СПИН В ПЕРЕМЕННОМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ так что движение каждой из 2в «частиц> определяется независимо от других. После того как это сделано, достаточно снова ввести компоненты произвольного симметричного спинора ранга 2в вместо произведений компонент 2в спиноров первого ранга.
Задачи 1. Определить спиновую волновую функцию нейтральной частицы со спином 1/2, находящейся в однородном магнитном поле, постоянном по направлению, но меняющемся по величине по произвольному закону Н11). Р е ш е н и е. Волновой функцией будет спинор 2)г, удовлетворяющий волновому уравнению /йф' = — 2рНвф". Ж Выбирая направление поля в качестве оси 2, переписываем это уравнение в спинорных кОмпонентах Отсюда гд' = сл ехр ( — / Н сЫ), = сг ехр ( — — / Н 41) . Постоянные см сг должны быть определены из начальных условий и условия норллировки ~ф", -'Р )ф ! = 1. 2. То же в однородном магнитном поле, постоянном по величине, но с направлением, равномерно вращающимся лс угловой скоростью ы) вокруг оси в, образуя с ней угол д.
Р е ш е н и е. Магнитное поле имеет составляющие Н, = НЕ1пдсовый Нв = НвйпВявлл, Н, = Нсовд, и из 11) получим систему уравнений: = лглн/сов В 2/г -Р япд е В ), р = немн/япВ.е' чф' — совВ р ), где шн = /лН/Ь. Подстановка — 2/г л ,г , л/г г = с лг, р = е' лг приводит эти уравнения к системе линейных уравнений с постоянными коэффициентами, решая которые, получим 1 — Л/2 йг/2 — йг/2) = е ' 1сле' + сге 2 2 ° л/2 = 2ын япде' сл е' йг/2 сг е — йн2 й -Ь ы -Ь 2ын сов В й — ш — 2ын сов В где й = фш -~- 2ын сов В)2 -Ь 4ы~~ яп В. 570 движение В мАГнитнОм НОле ГЛ ХЧ я 115.
Плотность тока в магнитном поле Выведем квантовомеханическое выражение для плотности тока при движении заряженной частицы в магнитном поле. Будем исходить из формулы') бН = — — / 1бАЛГ, с / (115. Ц определяющей изменение функции Гаегильтона распределенных в пространстве зарядов при варьировании векторного потенци- ала') .
В квантовой механике сс надо применять к среднему значению гамильтониана заряженной частицы; (115.2) Произведя варьирование и ие|ея в виду, что бН = го1бА, находим бН = т'* — (рбА+ бАр) +,АбА т Л'— 2тс гпс — — го1 бА т'иге' Лг. (115.3) Член с рбА преобразуем, интегрируя по частям: (интеграл по бесконечно удаленной поверхности, как обычно, ис- чезает). Интегрирование по частям производим также и в по- следнем члене в (115.3), воспользовавптись известной формулой векторного анализа аго1Ь = — Г11е~аЬ)+ ЬГО1а.
бб = — / 16АдК 1 Г. с Бесконечно же малое изменение функции Гамильтона равно взятому с об- ратным знаком изменению функции Лагранжа (см. 1, 2 40). ) Б этом параграфе 1 будет обозначать плотность электрического тока: плотность потока частиц, умноженную на их заряд е. г ) Функция Лагранжа для заряда в магнитном поле содержит член (е/с)ЕА или, представляя заряд распределенным по пространству, (1/с) 1 )АЛ'. Изменение функции Лагранжа прн варьировании А, следовательно, равно 2 115 плотность токя в мягнитном полн Интеграл от члена с о1т исчезает, так что остается г Ф*вФ го15А Л' = 5Аго1(Ф*вФ) с1К В результате окончательно получаем бН = — / БА(Ф~Ф* — Ф*~Ф) Л'+ 2тс 1 г +, / АБАФФ*сЛг — и / БАго1(Ф*вФ) с~К тс в у Сравнив с (115.1), находим следующее выражение для плотности тока: з = — [(~7Ф*)Ф вЂ” Ф*'7Ф] — — АФ'Ф + пого1(Ф*вФ).
(115.4) Подчеркнем, что хотя это выражение и содержит в явном виде секторный потенциал, оно,как и следовало, вполне однозначно. В этом легко убедиться прямым вычислением, заметив, что одновременно с калибровочным преобразованием векторного потенциала, согласно (111.8), надо произвести также и преобразование волновой функции согласно (111.9). Легко проверить также, что ток (115.4) вместе с плотностью зарядов р = е]Ф] удовлетворяет, как и следовало, уравненикг непрерывности — + с11тз = О. д,г дг Последний член в (115.4) дает вклад в плотность тока, происходящий от магнитного момента частицы. Он имеет вид сго1 пт, где и Ф*:Ф (115.5) есть пространственная плотность магнитного момента. Выражение (115.4) представляет собой среднее значение плотности тока. Его можно рассматривать как диагональный матричный элемент некоторого оператора оператора плотности тока ь Этот оператор проще всего записать в представлении вторичного квантования, что сводится к замене Ф и Ф* операторами Ф и Фт (причем, согласно общему правилу, Фт должен стоять в каждом члене слева от Ф).
Можно определить и недиагоналъные матричные элементы этого оператора: 1 = — "[(17Ф*„)Ф вЂ” Ф"„17Ф ] — — 'АФ„*Ф + — "стой(Ф„*вФ ), 2т " тс " я (115. 6) ГЛАВА ХЪ1 СТРУКТУРА АТОМНОГО ЯДРА й 116. Изотопическая инвариантность В настоящее время еще нс сугцествует законченной теории так называемых ядерных сил — сил, действующих между ядерными частицами (нуклона.ии) и удерживающих их вместе в составе атомного ядра. В связи с этим при описании ядерных сил приходится пока в значительно большей степени апеллировать к опыту, чем это было бы необходимо при наличии последовательной теории.
Два относящихся к нуклонам типа частиц отличаются, прежде всего, своими электрическими свойствами, поскольку протоны (р) имеют положительный заряд, а нейтроны (и) электрически нейтральны. В то жс время тс и другис имеют одинаковый спин 1/2, а их массы почти равны (масса протона составляет 1836,1, нейтрона 1838,6 электронных масс). Это сходство оказывается не случайным. Несмотря на различие в электрических свойствах, протон и нейтрон являются частицами, очень похожими друг на друга, и это сходство имеет фундаментальное значение. Оказывается, что если отвлечься от относительно слабых электрических сил, то силы взаимодействия двух протонов очень похожи на силы, действующие между двумя нейтронами. Это свойство называют зарядовой симметрией ядерных сил') .
С точностью до соблюдения этой симметрии можно, в частности, утверждать, что системы двух протонов (рр) и двух нейтронов (пп) обладают одинаковыми по своим свойствам состояниями. При этом, разумеется, существенно, что как протоны, так и нейтроны подчиняются одинаковой статистике (статистике Ферми), и потому для систем рр и пп допустимы лишь состояния с одинаковой симметрией волновых функций ф(гы о1, .гз, пй) антисимметричные по отношению к одновременной перестановке координат и спинов частиц.
') Оно проявляется, в частности, в близости свойств (энергии связи, энергетического спектра и т.п.) так называемых зеркальных ядер, т.е. ядер, отличающихся друг от друга заменой всех протонов нейтронами и наоборот. изотопическля инВАРИАнтнооть Зарядовая симметрия оказывается, однако, лишь одним из проявлений еще более глубокого физи геского сходства между протоном и нейтроном, полу гившим название изотопической инвариангпноспти ') .
Эта более глубокая закономерность приводит к существованию аналогии не только между системами рр и пп (получающимися друг из друга заменой всех протонов на нейтроны и наоборот), но и системой рп., состоящей из различных частиц. Разумеется, полной аналогии здесь вообще не может быть, поскольку возможные состояния системы рп, как состоящей из нетождественных частиц, во всяком случае не должны ограничиваться состояниями с антисимметричными волновыми функпиями.
Оказывается, однако, что среди возможных состояний системы рп имеются состояния, с болыпой точностью совпадающие по своим свойствам с состояниями систем двух одинаковых нуклонов'): эти состояния описываются, естественно, антисимметричными волновыми функциями (остальные же состояния системы рп описываются симметричными волновыми функциями и отсутствуют у систем рр и пп).
Изотопическая инвариантность, как и зарядовая симметрия, справедлива лишь при условии пренебрежения электромагнитным взаимодействием. Другим источником ее приближенности является отличие, хотя и неболыпое, в массах нейтрона и протона; точное соблюдение симметрии между нейтронами и протонами подразумевало бы, разумеется, точное совпадение их масс') . Для описания изотопической инвариантности можно ввести удобный формальный аппарат.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
