III.-Квантовая-механика (1109680), страница 109
Текст из файла (страница 109)
В сильных магнитных полях, когда 1АОН сравнимо с интервалами тонкой структуры или превышает их, расщепление уровней отклоняется от предсказываемого формулами (113.6), (113.7); это явление называют эффектом Нашека — Бака. ) Упомянем, что для вычисления среднего квадрата расстояния электронов от ядра нельзя пользоваться моделью Томаса — Ферми.
Хотя интеграл 1' пг Нг с плотностью Томаса-Ферми п(г) и сходится, но он сходится слишком медленно, в связи с чем получающиеся значения сильно отличаются от эмпирических. ) При Я = ь д О недиагональные матричные элементы от ум о, для переходов о, Ь,,г †го, б,,г х 1, вообще говоря, отличны от нуля.
564 ГЛ ХУ движение В мАГнитнОм пОле Вычисление энергии расщепления весьма просто в случае, когда зесмановское расщепление велико по сравнению с интервалами тонкой структуры, но, конечно, по-прежнему, мало по сравнению с расстояниями между различными мультиплетами (так что в гамильтониане (113.2) можно по-прежнему пренебречь третьим членом по сравнению со вторым). Другими словами, энергия в магнитном поле значительно превышает взаимодействие спин орбита'). Поэтому в первом приближении можно этим воздействием пренебречь. Тогда сохраняется не только проекция полного момента,но и проекции Мг.и ЛХЕ орбитального момента и спина, так что расщепление определяется формулой ЬЬ = )гвН(МЛ + 2ЛХз).
(113.13) Мультиплетнос расщепление накладывается на расщепление в магнитном поле. Оно определяется средним значением оператора АЬЙ (72.4) по состоянию с данными ЛХй, Мс (мы рассматриваем мультиплетное расщепление, связанное со взаимодействием спин-- орбита). При заданном значении одной из компонент момента средние значения двух других равны нулю. Поэтому ЬЯ = ЛХГ Мя, так что в следующем приближении энергия уровней определяется формулой 118 = )гвН(МЛ + 2Мз) + АМЕМя. (113.14) Вычисление зеемановского расщепления в общем случае произвольного (не Х Я) типа связи невозможно. Можно лишь утверждать, что расщепление (в слабом поле) линейно по полю и пропорционально проекции Му полного момента, т. е.
имеет вид гзЕ = )ггзд„гНЛХу, (113. 15) где д„у некоторые коэффициенты, характерные для данного терма (буквой п обозначаем совокупность квантовых чисел, кроме .1, характеризующих терм). Хотя эти коэффициенты, каждый в отдельности, и не могут быть вычислены, оказывается возможным получить полозную в применениях формулу, определяющую их сумму, взятую по всем возможным состояниям атома с данной электронной конфигурацией и данным полным моментом.
По определению, и уМу = (пЯМу')ь + 2Я,~пЯМя). ) Для промежуточных случаев, когда влияние магнитного поля сравнимо со взаимодействием спин — орбита, вычисление расщепления в общем виде невозможно (для случая Я = 1/2 расчет приведен в задаче 1). 1112 АТОМ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ Величины же пс1 2Мх (где дсг,2 — множитель Ланде (113.7), отвечающий Х Я-связи) являются диагональными гиатричными элементами ахьхМх = (~Й1Мх)й + 2~=)БАМА вычисленными по другой полной системе волновых функций.
Функции каждой из этих систем получаются из другой системы линейным унитарным преобразованием. Но такое преобразование оставляет неизменной сумму диагональных элементов матрицы Я 12). Отсюда следует, что ,у,вгьХМХ =ч~ уньХМХ или, поскольку и„2 и д~х,х от М2 не зависят, (113.16) Суммирование производится по всем состояниям с данным значением Х, которые возможны для данной электронной конфигурации. Это и есть искомое соотнопгение. Задачи 1. Определить расщепление терма с о = 1/2 при эффекте Пашена — Бака. Р е ш е н и е.
Магнитное поле и взаимодействие спин — орбита должны учитываться в теории возмущений одновременно, т. е. оператор возмущения имеет вид ) 12 — АЯ 2- рв(Х + 28„)Н. В качестве исходных волновых функций нулевого приближения мы выберем функции, соответствующие состояниям с определенными значениями Хо Я = 1/2, Мь, Мз (ь задано, ЛХь = — Хо..., ХЛ ЛХз = ~1/2). В возмущенных состояниях сохраняется лишь сумма ЛХ = Мз = Мь -~- ЛХз 1г коммутативно с Х ), так что компонентам расщепленного терма можно приписывать определенные значения М. Значения ЛХ = Х(Х т 1/2) могут быть осуществлены лишь одним способом — соответственно с ~ЛХАЛХэ) = ~Х 1,12) и ~ —. Х, — 1/2). Поэтому поправки к энергии состояний с этими М равны просто диагональным матричныъ2 элементам (ЛХЕЛХэ~Ъ'~2ГХГМЕ) с указанными значениями )МАМя).
Остальные значения ЛХ могут быть осуществлены двумя способами: ~ЛХ вЂ” 1/2, 1/2) и ЛХ + 1/2, — 1/2). Каждому М соответствуют здесь два различных значения энергии, определяющихся из секулярного уравнения, составленного из матричных элементов для переходов между этими двумя состояниями. ) Мы не пишем в 1г члена, пропорционального (ЬЯ) (взаигподействие спин — спин). Надо, однако, иметь в виду, что для спина о = 1/2 выраже- 2 ние (ЬЯ), в силу специфических свойств матриц Паули (см. з 55), сводится к выражению ЬЯ и поэтому включено в написанную формулу.
566 ГЛ Х1 ДНИ!КЕНИЕ В МАГНИТНОМ Г!ОЛЕ Матричные элементы от ЬЯ вычисляются непосредствснныл! перемножени- ем матриц 1МЕ(Ь(ЛХ!.) и (ЛХЕ~Б~ЛХЕ~) и равны ЖМЕМ,~ЬВ~М,М,) = МЕМ,, 1ЛХ -~ 1(2, — 1(2(ЬЯ~М вЂ” 1/2,1(2) = 1ЛХ вЂ” 1((2, 1(2~ЬБ(М -~ 1(2, — 1((2) = '(! ~ И ~ '(2(( — '(2( 2 В отсутствие магнитного поля терм представляет собой дублет с рассто- янием между компонентами = А1ь -(- Ц(2) (см. (72.6)). Выберем нижний из этих уровней в качестве начала отсчета энергии.
Тогда окончательные формулы для уровней в магнитном поле имеют вид Е = е ~ рвН1Ь + Ц при ЛХ = ЦЬ + 1((2), 1(2 е р, НЛХ1 Е = -+„ЕНЛХ* ~-( +„,Н )+ — ' 2 2Ь-11 ~ при М =- Ь вЂ” Ц(2,, — (Ь вЂ” 1/2). При двН((е « 1 получается 2(о -~ Ц =е+двНМ вЂ” —, Е =рвНМ вЂ” —— 2Ь-~1 2ЬХ1 в согласии с формулами (113.6), !113.7) (в которых надо положить Я = Ц(2, Х = Ь Л 1(2). При двНХЕ » 1 Е =- рвН1М х 1(2) -> — х 2 2Ь-Г1 в согласии с 1113.14). 2. Определить зеемановское расщепление термов двухатомной молеку- лы в случае а.
Р е ш е н и е. Магнитный момент, происходящий от движения ядер, очень чал по сравнению с магнитным моментоь! электронов. Поэтому воз- мущение от магнитного поля для молекулы надо писать, как для системы электронов, т. е, по-прежнему в виде Гг =- рвН1Ь+ 2Й), где Ь, Б — электрон- ные орбитальный и спиновый моменты. Усрсдняя возмущение по элоктронному состоянию, получим в случае а рвНН,1Л -Г 2Е) = рвНН,ай — Л). Среднее значение от и по вращению молекулы есть диагональный матрич- ный элемент йЛХ (ХЛХ~Г(, ХМ) = — й — —, Х(уж Ц где М Г— е ЛХ! 1матричный элемент вычисляется по приведенному матрично- му элементу, даваемому формулой 187.4) с заменой Л, Л вЂ” 1 Х, й). Таким образом, искомос расщепление равно й12й — Л) з1Х+ Ц 3.
То же в случае Ь. Р е ш е н и е. Диагональные матричные элементы (ЛКХ~ 1Г~ЛКХ), определяющие искомое расщепление, можно было бы вычислить по общим правилам, изложенным в з 87. Однако проще произвести вычисление более наглядным образом. Усредняя оператор возмущения по орбитальному и электронному состояниям, получим рвН1Лн, -(- 28,) 567 3 114 АТОМ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ (оператор спина этим усреднением не затрагивается).
Далее, усредняем по вращению МОлекулы (среднее значение от и, определяется с помощью (87.4)); л 2 рвН вЂ” — — К -1- 25.) . ~,К(К 4- Ц Наконец, усредняем по спиновой волновой функции; после полного усреднения средние значения векторов могут быть направлены лишь по единственному сохраняющемуся вектору полного момента 3. Поэтому получаем (ср.
(113.5)) " [ ' (КЗ)+ (83)~М (ЛХ: — Л42) или окончательно Л дв з (э -~. Ц ( 2К(К -> Ц (7(1+ Ц+ К(К+ Ц вЂ” Я(Я+ Ц)+ + (7(7 4- Ц вЂ” К(К + Ц + Я(8 + Ц]) НЛХ. 4. Диамагнитный атом находится во внешнем магнитном поле. Определить напряженность индуцированного магнитного поля в центре атома. Р е ш е н и е.
При Я = ь = 0 линейное по полю возмущение в гамильтониане вообще отсутствует, и поточу в волновой функции атома отсутствует поправка первого порядка по магнитному полю. Индуцированное внешним магнитным полем изменение 4 электронного тока в атоме связано (в том же первом приближении по Н) лишь с добавлением члена (~е~/тс)А к операторам скорости электронов. Поэтому имеем ) е2 е2 4' = — р — А = — р (Нг), (Ц тс 2шс где р — электронная плотность в атоме. Напряженность магнитного поля, создаваемая этим добавочным током в центре атома, есть 1 1' (г1') С Г (ср. ниже (121.8)). Подставив сюда (Ц и произведя под знаком интеграла усреднение по направлениям г,получим 2 Н...=- — ',Н / ~Л = ',2,(0)Н, (2) Зтс / Г Зтс где у,(0) — потенциал поля, создаваеъюго электронной оболочкой атома в его центре.
В модели Томаса — Ферми 22,(0) = — 1,80Ячэтеэ/й~ (см. (70.8)), так что / эх 2 Н„= — 080~ — ) Яч Н=- — 32 10 У~Н. Лс ') Это выражение соответствует ларморовой прецессии электронной оболочки атома вокруг направления внешнего магнитного поля (см. П, 3 45). 568 движение В мАГнитнОм пОле ГЛ ХЧ ~ 114. Спин в переменном магнитном поле Й = --'" вя в (114.1) (выписана лишь та часть гамильтониана, которая зависит от спина). В однородном поле этот оператор не содержит явно координат') . Поэтому волновая функция частицы распадается на произведение координатной и спиновой функций. Из них первая есть просто волновая функция свободного движения; нас интересует ниже только спиновая часть.
Покажем, что задача о частице с произвольным моментом я может быть сведена к более простой задаче о движении частицы со олином 1/2 (Е. Мщогапа). Для этого достаточно воспользоваться приемом, который мы уже применили в ~ 57. Именно, вместо одной частицы со спином з можно формально ввести систему из 2я «частиц» со спином 1/2. Оператор в при этом представляется в виде суммы 2, в операторов спина этих «частиц», а волновая функция в виде произведения 2з спиноров первого ранга. Гамильтониан (114.1) распадается тогда на сумму 2з независимых гамильтонианов: Й = ~ Й., Й.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
